現(xiàn)代光學(xué)的基礎(chǔ)

1、1.費(fèi)馬原理表述及數(shù)學(xué)表達(dá)式為的原理：光線沿光程為平穩(wěn)值的路徑傳播。即:P -q n(r)ds平均值2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：利用物像等 光程性原理 求由聚光纖 維薄片制成 的微透鏡焦 距公式利用物像等 光程性有p -pL(QMQ') l(qoq')L(QMQ') nQM nMQ'n. (s )2 h2 n (x)2h2L(QOQ ) ns n x由于是薄片微透鏡，所以s,r,x于是h2 2r , .(s )h2s(1代入光程方程 ns（1r s廠sn'x(1),.(x )2 h2x(1rn _sr sn s（恰巧被消除）3.躍遷型光纖數(shù)值孔徑公式的推導(dǎo)及應(yīng)用&#

2、39;r x nx'r x nxnn_sxn令s像方焦距或稱后焦距 f rn n令s物方焦距或稱前焦距N.A n0sin 0 , n： n；（o為外界入射光束與軸線之間的最大孔徑角）4. Maxwell電磁理論微分方程組H0t平面波u（r,t）Acos( tF-kro)U(二t)Ae k reikt（設(shè)。0)復(fù)振幅u（r,t）AeikrAei(kxxkyy kzz)球面波u (r,t)cos( rtk ro)U (r ,t)ai ikF erei t(設(shè) 00)ik (cos x cos y cos z)Ae5.平面波、球面波的波函數(shù)復(fù)數(shù)表示及復(fù)振幅表達(dá)式復(fù)振幅U（P）ik rai2y

3、eik x2 y22zz2z （發(fā)散球面波）U(P)U(P)ai eera ik r e ，rrik r、x2y2 z2（匯聚球面波）.(x冷)2 (y y。)2（z z0）2 （軸外源點(diǎn)）6.平面波，球面波的波前函數(shù)的描述及識(shí)別平面波波前函數(shù) （z=0）平面上）Ux , y ) Aeik sin x球面波波前函數(shù)U （x, y）ra U （x, y） 1e rik rik rx2y2r2（發(fā)散球面波）（匯聚球面波）例題：已知一列波長(zhǎng)為 的光波在（x， y）接受面上的波前函數(shù)為U (x, y )其中常量f的單位為mm 1，試分析與波前函數(shù)相Ae i2 fx聯(lián)系的波的類型與特征。解：由上式可見(jiàn)該

4、波前因子是一個(gè)線性相因子， 故可斷定它代表了一列平面波， 為了進(jìn) 一步確定該平面波的傳播方向，現(xiàn)將波前函數(shù)改寫(xiě)為含波數(shù)k的形式U (X,y)AeAeik ( f x )可見(jiàn)這是一列傳播方向平行(X, z)面，即ky 0的平面波與z軸夾角 滿足sinf 或 k x2它表示向下傾斜，傾角為 的平行光束，由于光的波長(zhǎng)已被確定為故波矢的z分量kz為方程 k2 k； k2 (2 )2 確定為 kz k2 k； 2 .f27傍軸條件，遠(yuǎn)場(chǎng)條件傍軸條件z2遠(yuǎn)場(chǎng)條件z例題1對(duì)于光波，設(shè)波長(zhǎng)500nm橫向范圍1mm約定 >>取為50倍，試分別求出傍軸條件下縱向距離 Zp和遠(yuǎn)場(chǎng)條件的zf解：根據(jù)上面兩

5、式分別求得zp、50501mm1cmzf50 250()50(2 103) 1mm 100m顯然此時(shí)Zf>>Zp,這源于光波極短，以致帶來(lái)了高倍率。例題2對(duì)于聲波，設(shè)波長(zhǎng)1m,橫向范圍10cm,則縱向距離zp和zf分別為多少2 10zp . 5070cmzf 50 zf 5050() 10cm 50cmp 100可見(jiàn)此時(shí)Zp>Zf傍軸條件包含了遠(yuǎn)場(chǎng)條件，這源于聲波長(zhǎng)軸長(zhǎng)以致小于1例題3 一臺(tái)天文望遠(yuǎn)鏡，其物鏡口徑為 2160cm,用以觀察遠(yuǎn)方星體，問(wèn)多遠(yuǎn)的星體星光射到該望遠(yuǎn)鏡，可以被看成是一束平行光？解：這是一個(gè)求遠(yuǎn)場(chǎng)距離的問(wèn)題，設(shè)光波長(zhǎng)為550nm,即550 10 6mm于

6、是遠(yuǎn)場(chǎng)距離應(yīng)該是zf 50彳 502160 62.16m4.24 105km這個(gè)距離與月球距離/550 10 653.8 10 km 相近2 2 ik (4X y )例題4已知一光波的波長(zhǎng)為k，觀測(cè)平面(xy)上的波前函數(shù)為 U(x, y) e D試分析與此波前函數(shù)相系的波長(zhǎng)的類型與特征解：由前函數(shù)可見(jiàn)波前僅含二次項(xiàng)因子故可以斷定它代表了一列傍軸波，中心在 上,由相同因子的負(fù)號(hào)斷定它是匯聚球面波，2 2ik(x ?)D 2()準(zhǔn)形式類似U (x, y) e8x軸為確定匯聚中心位置，將波前函數(shù)改為標(biāo)a1 ik 蘭一(準(zhǔn)形式u (x, y) - ezy2ikze )于是斷定該傍軸匯聚球面波的中心位

7、置坐標(biāo)為(0,0，D8)8.楊氏雙孔干涉條紋間距公式及應(yīng)用楊氏雙孔干涉條紋間距公式x d例題 在雙孔干涉實(shí)驗(yàn)中，采用氦氖激光束，其波長(zhǎng)為633nm雙孔間隔d1mm縱向距離D-2m，求條紋間距3362 10(633 10 )mm 1.3mmD 2 103解 帶入間距公式x 2 10d9.衍射巴比涅原理及應(yīng)用如果已知某一孔型屏的衍射場(chǎng)，則應(yīng)用巴比涅原理，就能直接求其互補(bǔ)屏的衍射場(chǎng)10. 半波帶半徑公式及應(yīng)用k Rbk ,k 1 R bRb設(shè)光波長(zhǎng) 600nm , R 1m , b 3m 得 10.67 mm33 0.67 1.16nm100.100 0.676.7mm 由此可見(jiàn)相鄰兩個(gè)半波帶半徑之

8、差k k1 k隨k數(shù)增加而減少，亦即半波帶越來(lái)越密例題2 設(shè) 600nm ,2.00mmR1m試問(wèn)該圓孔包含的半波帶數(shù)目至少是幾個(gè)1 1用公式k ()少半波帶數(shù)為kmR(2.0)2(1 103) (600 10 6)6.7 這個(gè)數(shù)接近一奇數(shù)7,該圓孔嚴(yán)格的包含7R 2個(gè)時(shí)的縱向距離為6十1034-mm7 600 10 6 103420m11. 細(xì)致矢量圖解法及應(yīng)用12. 波帶片的類透鏡公式及應(yīng)用菲涅爾波帶片有若干實(shí)焦點(diǎn)與虛焦點(diǎn)，表明它既有類似會(huì)聚透鏡的功能，又有類發(fā)散透鏡的功能，所以，當(dāng)物點(diǎn)發(fā)射球面波照明波帶片時(shí),就能產(chǎn)生若干像點(diǎn).所以由公式11k 2Rb當(dāng)b1滿足k=1時(shí),則b1便是第一相距

9、，即:11Rb121右端；21/ f1故上式改寫(xiě)為111 f1Rb1該式與透鏡物像距公式完全類似，同樣的我們可以獲得第二個(gè)相距b2與物距R的關(guān)系式1 1如下一1 f2Rb2例題：對(duì)一張經(jīng)典菲涅爾波帶片的制作提出兩點(diǎn)設(shè)計(jì)要求：(1) 對(duì)波長(zhǎng)為633nm的氦氖激光,其第一焦距為400mm,(2) 主焦點(diǎn)的光強(qiáng)為自由光強(qiáng)的104倍問(wèn)：(1) 待制作的波帶片，其第一個(gè)半波帶的半徑為多少？(2) 這張波帶片至少應(yīng)該有多大的有效半徑？解(1)根據(jù)第一焦距公式f1,得第一個(gè)半波帶半徑為1 . f1400 633 10 6 mm 0.50mm設(shè)焦點(diǎn)光強(qiáng)為I為自由光強(qiáng)10的N倍，即I=NI 0 ,相應(yīng)的振幅倍率

10、為A . N A0JO4 A0102 A0 50A,由于有半數(shù)的半波帶被遮蔽，故應(yīng)露出的幫波帶序號(hào)為1,3,5,99,亦即最外圍的半波帶序號(hào)為99或100它決定了這條半波帶的有效尺寸100- k 1- 100 0.50mm 5.0mm13. 單縫夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度函數(shù)及圖樣特征衍射強(qiáng)度函數(shù)1( )|。( 一)2 I。Ao Ao在公式中作為一個(gè)參考值，用1(0) I °為最大值,稱其為零級(jí)衍射峰,其位置正是幾何光學(xué)像點(diǎn)位置一等光程方位(2) 零點(diǎn)位置.sinxx函數(shù)存在一系列零點(diǎn),當(dāng)x k , 1, 2, sin x*=o,這在單縫衍射中表現(xiàn)為，當(dāng) sin k , k 1, 2，衍射強(qiáng)度

11、1( )0,出現(xiàn)暗點(diǎn)，上式成為單縫衍射零點(diǎn)條件(3) 次極大，sin x. x函數(shù)在相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間存在一個(gè)極大值，其位置和數(shù)值可由微分方程d( sin x. x)/dx 導(dǎo)出(4) 半波帶寬度°,零級(jí)衍射斑的角范圍，其零級(jí)衍射峰與鄰近暗點(diǎn)之間的角方位只差值給以度量，稱其為零級(jí)衍射的半角寬度，即 010,在平行光正入射條件下，00,1 sin 1.故得單縫夫瑯禾費(fèi)衍射的零級(jí)衍射半角度寬度為0.:或 0(5) 單縫寬度的的影響，表現(xiàn)為兩個(gè)方面，一是影響半角寬度 0,比如縫寬a擴(kuò)大為2a則0壓縮為 0 /2,二是影響零級(jí)衍射峰值I 0 ,這是因?yàn)榉逯导垂鈴?qiáng)參考值I 0 ,正比于面積(a

12、b)的平方，比如縫寬a擴(kuò)大為2a,則10增強(qiáng)為4 10(6)波長(zhǎng)的影響，一是影響半波帶寬度0 ,二是影響零級(jí)衍射峰值10 .例題1.在單縫夫瑯 禾費(fèi) 試驗(yàn)中，光波長(zhǎng) 600nm透鏡焦 距f 200mm單縫寬度a15 m,求零級(jí)斑的半角寬度和屏幕上顯示的零級(jí)斑的幾何線寬解：根據(jù)半角寬度公式得60600 100.04rad用半角寬度估算屏幕上零級(jí)15斑的幾何線寬1丨10200 0.04mm 8mm例題2在單縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中，入射的平行光中含有兩種波長(zhǎng)成分 ，紅光1 600nm,藍(lán)光2 400nm,且設(shè)兩者光強(qiáng)相等，即Ii I3 A2 A； 1試分析這二色光衍射圖樣的主要區(qū)別解：只要區(qū)別有兩點(diǎn)一

13、是紅光與藍(lán)光各自展開(kāi)的半角寬度不等二1 a二 600 =1.5 倍202 a 2400即紅光圖樣更為擴(kuò)展二是紅光與藍(lán)光衍射斑中心的強(qiáng)度不等*-22 jnm222也A22弓(型)245%I20A22160014. 圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射艾里斑半角寬度公式及應(yīng)用半角寬度公式 01.22 或D 0 1.22D人眼分辨本領(lǐng)與瞳孔直徑?jīng)Q定人眼分辨本領(lǐng)的是瞳孔 的直徑D ,它是可調(diào)的，其 正常范圍的2 8mm據(jù)此,可以估算出人眼最小可分辨角e 設(shè)550nmD 2mm,物防為空氣， 則e=1.221.22550nm3.3 10 4 rad 1'0.08mm 25cm 3.3mm 10mD2mm15. 馬呂

14、斯定律及應(yīng)用2 2I p ( ) I 0 COS其中 I 0 A016. 部分偏振光通過(guò)偏振片后光強(qiáng)特點(diǎn)及數(shù)學(xué)描述當(dāng)一偏振片面對(duì)一束部分偏振光而旋轉(zhuǎn)時(shí)，透射光強(qiáng)必將變化，因?yàn)椴糠制窆獾钠窆獠痪哂休S對(duì)稱性，其他方向透射光強(qiáng)|p(),等于Im、Im按馬呂斯定律在 方向貢 獻(xiàn)之和(完全非相干疊加)即2 2Ip( ) ImCOS Im COS現(xiàn)將該式作如下改寫(xiě)2 2 2 2Ip( ) I m(COS Sin ) (Im I m)Sin即 Ip( ) Im (Im Im) COS其中，第一項(xiàng)是常數(shù)Im，在P旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不變，如同入射光為自然光那樣，第二 項(xiàng)是余弦平方項(xiàng)，具有入射光為線偏振光那樣的馬

15、呂斯定律形式。部分偏振光是一自然光與一線偏振光的混合17. 偏振度概念及應(yīng)用設(shè)一偏振片面對(duì)一束光而旋轉(zhuǎn)一周，獲得投射光強(qiáng)為最大值為IM ,光強(qiáng)極小值為Im，則入射光的偏振度被定義為p 5覽由此我們可以作出判斷I M I mp 1 入射光為線偏振光0 p 1 入射光為部分偏振光或橢圓偏振光p 0 入射光為自然光或圓偏振光例題1 一對(duì)偏振片R,P2其透振方向彼此正交，另有一偏振片P插入其間，透振方向?yàn)?。若一束光強(qiáng)為Io的自然光射入這個(gè)偏振片系統(tǒng)，問(wèn)最終透射光強(qiáng)為多少?解：若無(wú)中間那個(gè)偏振片，則透射光強(qiáng)為零，任何一偏振片經(jīng)一正交偏振片，最終透射 光強(qiáng)總是為零(消光)，現(xiàn)在有一偏振片 P置于其間，情

16、況就不同了，見(jiàn)圖先是自然光通過(guò) p ,透射光強(qiáng)為I1 1。/2,按馬呂斯定1律通過(guò)p的光強(qiáng)為Ip 11 COS2I 0 COS2I2 I p COS2IoCOS2 Sin221-Io(Sin2 )8再按馬呂斯定律，最終通過(guò)p2的透射光強(qiáng)為1當(dāng) 4 時(shí) I2- I012.5%8例題2 一束光含有兩個(gè)同頻線偏振成分， 其振動(dòng)方向夾角為a0，彼此間的相位差是隨機(jī) 變化的，當(dāng)一偏振片面對(duì)這束光旋轉(zhuǎn)時(shí)，試分析透射光強(qiáng)的變化-出現(xiàn)光強(qiáng)極大或極小的透振方向角 值，以及相應(yīng)的光強(qiáng)值解：如圖，分別將振幅矢量 Ai,A2向P投影，然后非相干疊加，得透射光強(qiáng)函數(shù)為lp( ) a2cos2A2cos2(2 0 2 )

17、1 112紜(1 cos2 ) li-(1 cos(2 o 2 )1 1(l1 l2)(12 cos2 l1 cos(2 0 2 )12 cos2 11 cos2 0cos2l1 sin 2 0sin2其中第二項(xiàng)括號(hào)式展開(kāi)為(h I2cos2 0)cos2l1sin2 0sin2l o cos(2o)這里Io . (I2 11 cos2 o)2 (hsin2。). I； 2I1I2COS2 0 I；arcta n(h sin 2 0 l211 cos2-)0最后結(jié)果表示為Ip( ) 2(|1 I2) 110 cos(20)這表明透射光強(qiáng)隨做周期性變化，其周期為，即0011當(dāng)aM_ J時(shí)，出現(xiàn)透射光強(qiáng)極大，Im-(11 1 2)l 0 ；2222當(dāng)am00J 時(shí)，出現(xiàn)透射光強(qiáng)極小，lm«|1 122 222218. 線偏振數(shù)密度概念及應(yīng)用引入線偏振數(shù)密度函數(shù)，反應(yīng)非軸對(duì)稱的角分布，有助于定量分析部分偏振光的偏振結(jié) 構(gòu)。（）一Y，（）即為線偏振數(shù)密度，即單位角范圍中包含的線偏振的數(shù)目。線偏振數(shù)密度用以分析自然偏振光自然光的片真結(jié)構(gòu)具有軸對(duì)