二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題（講義）

1、二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題（講義）一、知識(shí)點(diǎn)睛解決“二次函數(shù)中存在性問(wèn)題”的基本步驟：_研究確定圖形，先畫圖解決其中一種情形_.先驗(yàn)證的結(jié)果是否合理，再找其他分類，類比第一種情形求解_.結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，畫圖或推理，對(duì)結(jié)果取舍二、精講精練1.如圖，已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=-x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn).若以AB為直角邊的PAB與OAB相似，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)2.拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ/BC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ（1）若含45角的直角三角板如圖所示放置，其中一

2、個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式；（2）若含30角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上（點(diǎn)D不與點(diǎn)Q重合），另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)3.如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上，且OD10，OB8將矩形的邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C恰好與x軸上的點(diǎn)A重合（1）若拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，則該拋物線的解析式為_；（2）若點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MNx軸于點(diǎn)N是否存在點(diǎn)M，使AMN與ACD相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由4.已知拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P（1，k）

3、在直線BC：y=x3上，若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5.拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與直線y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)兩點(diǎn)如圖，線段MN在直線AB上移動(dòng)，且，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與x軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)Q以P、M、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請(qǐng)求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由三、回顧與思考_【參考答案】一、知識(shí)點(diǎn)睛畫圖分析分類討論 驗(yàn)證取舍二、精講精練1.解：由題意，設(shè)OA=m，則OB=2m；當(dāng)BAP=90時(shí)，BAPAOB或BAPB

4、OA；若BAPAOB，如圖1，可知PMAAOB，相似比為2：1；則P1（5m，2m），代入，可知，若BAPBOA，如圖2，可知PMAAOB，相似比為1：2；則P2（2m，），代入，可知，當(dāng)ABP=90時(shí)，ABPAOB或ABPBOA；若ABPAOB，如圖3，可知PMBBOA，相似比為2：1；則P3（4m，4m），代入，可知，若ABPBOA，如圖4，可知PMBBOA，相似比為1：2；則P4（m，），代入，可知，2.解：（1）由拋物線解析式可得B點(diǎn)坐標(biāo)（1，3）.要求直線BQ的函數(shù)解析式，只需求得點(diǎn)Q坐標(biāo)即可，即求CQ長(zhǎng)度.過(guò)點(diǎn)D作DGx軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DFQP于點(diǎn)F.則可證DCGDEF.則DG=

5、DF，矩形DGQF為正方形.則DQG=45，則BCQ為等腰直角三角形.CQ=BC=3，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）可得BQ解析式為y=x+4.（2）要求P點(diǎn)坐標(biāo)，只需求得點(diǎn)Q坐標(biāo)，然后根據(jù)橫坐標(biāo)相同來(lái)求點(diǎn)P坐標(biāo)即可.而題目當(dāng)中沒(méi)有說(shuō)明DCE=30還是DCE=60，所以分兩種情況來(lái)討論.當(dāng)DCE=30時(shí)，a）過(guò)點(diǎn)D作DHx軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DKQP于點(diǎn)K.則可證DCHDEK.則，在矩形DHQK中，DK=HQ，則.在RtDHQ中，DQC=60.則在RtBCQ中，CQ=，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1+,0）則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+.代入可得縱坐標(biāo).P（1+,）.b）又P、Q為動(dòng)點(diǎn)，可能PQ在對(duì)稱軸左側(cè)，與上一種情形

6、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.由對(duì)稱性可得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1,）當(dāng)DCE=60時(shí)，a)過(guò)點(diǎn)D作DMx軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DNQP于點(diǎn)N.則可證DCMDEN.則，在矩形DMQN中，DN=MQ，則.在RtDMQ中，DQM=30.則在RtBCQ中，CQ=BC=，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，0）則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+.代入可得縱坐標(biāo).P（1+,）.b）又P、Q為動(dòng)點(diǎn)，可能PQ在對(duì)稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.由對(duì)稱性可得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1,）綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+,），（1,），（1+,）或（1,）.3解：（1）AB=BC=10，OB=8在RtOAB中，OA=6A（6，0）將A（6，0），B（0，-8）代入拋物線

7、表達(dá)式，得，（2）存在：如果AMN與ACD相似，則或設(shè)M（0m6）1）假設(shè)點(diǎn)M在x軸下方的拋物線上，如圖1所示：當(dāng)時(shí)，即如圖2驗(yàn)證一下：當(dāng)時(shí)，即（舍）2）如果點(diǎn)M在x軸上方的拋物線上：當(dāng)時(shí)，即M此時(shí),AMNACDM滿足要求當(dāng)時(shí)，即m=10（舍）綜上M1,M24.解：滿足條件坐標(biāo)為：思路分析：A、M、N、P四點(diǎn)中點(diǎn)A、點(diǎn)P為頂點(diǎn)，則AP可為平行四邊形邊、對(duì)角線；(1)如圖，當(dāng)AP為平行四邊形邊時(shí)，平移AP；點(diǎn)A、P縱坐標(biāo)差為2點(diǎn)M、N縱坐標(biāo)差為2；點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為0點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2或-2當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2時(shí)解：得又點(diǎn)A、P橫坐標(biāo)差為2點(diǎn)M的坐標(biāo)為：、當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-2時(shí)解：得又點(diǎn)A、P橫坐標(biāo)差為

8、2點(diǎn)M的坐標(biāo)為：、(2)當(dāng)AP為平行四邊形邊對(duì)角線時(shí)；設(shè)M5（m,0）MN一定過(guò)AP的中點(diǎn)（0，-1）則N5（-m，-2）N5在拋物線上（負(fù)值不符合題意，舍去）綜上所述:符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為：5解：分析題意，可得：MPNQ，若以P、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，只需MP=NQ即可由題知：，故只需表達(dá)MP、NQ即可.表達(dá)分下列四種情況：如圖1，令PM=QN，解得：（舍去），；如圖2，令PM=QN，解得：（舍去），；如圖3，令PM=QN，解得：，（舍去）；如圖4，令PM=QN，解得：，（舍去）；綜上，m的值為、二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題（作業(yè)）1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+2

9、x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)（1）求直線AC的解析式及B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線lAC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A，P，Q，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2.如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(-4，3)，B(4，4)，交x軸于C、D兩點(diǎn)（1）求證：ACB是直角三角形；（2）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

10、明理由3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上若點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)4.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-3，0)，B(1，0)，過(guò)頂點(diǎn)C作CHx軸于點(diǎn)H（1）直接填寫：a=，b=，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQAC于點(diǎn)Q，當(dāng)PCQ與ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)【參考答案】1解：（1）由拋物線解析式y(tǒng)

11、=-x2+2x+3可得：A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，再由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線AC的解析式為：y=3x+3（2）由題意可得：PQAC且PQ=AC，如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QEx軸于點(diǎn)E，可證PEQAOCQE=OC=3故令y=-x2+2x+3=3，解得：x1=0(舍去)，x2=2故Q1(2，3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P下方時(shí)，同過(guò)點(diǎn)Q作QEx軸于點(diǎn)E，可證PEQAOCQE=OC=3故令y=-x2+2x+3=-3，解得：，故，綜上，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q1(2，3)、，2(1)證明：由拋物線的表達(dá)式，可得：C(-2，0)，D，如圖1，過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足

12、為E、F，則AE=3，EC=2，CF=6，BF=4且AEC=BFC=90AECCFBACE=CBFACE+BCF=CBF+BCF=90ACB=90即ACB是直角三角形（2）由題意得：，在RtACB中，由（1）可知：，故PHD也是直角邊的比為1:2的直角三角形，如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限拋物線上，即m-2時(shí)，i）解得：ii）解得：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限拋物線上，即m時(shí)，i）解得：（舍去）ii）解得：綜上，或時(shí)滿足條件.3.解：由可得，A(-8,),B(2,0).則8m2.當(dāng)G點(diǎn)在y軸上時(shí)，此時(shí)，如圖1過(guò)點(diǎn)A作CDy軸，過(guò)點(diǎn)P，G分別作x軸的平行線交CD于D、C兩點(diǎn)PADAGCAD=CG=2，則點(diǎn)

13、P在y=2這條直線上由可求得，.P1(，2),P2(，2)當(dāng)F點(diǎn)在y軸上時(shí)，此時(shí)，如圖2過(guò)點(diǎn)A作AHy軸，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交AH于H點(diǎn),交y軸于點(diǎn)E.此時(shí)PAHFPEEP=AH=m，即P（m，m）P在拋物線上，將P（m，m）代入拋物線解析式可得由可求得，.又-8m2，只取P3()綜上所述：P1(，2)，P2(，2)，P3().備注：圖1對(duì)應(yīng)P24.解：（1）由A（-3，0）、B（1，0）可知，a=-1，b=-2，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）；拋物線解析式：（2）若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，如圖1.此時(shí)QCPACH,所以只可能是QCP=HAC，即PCQCAH.過(guò)點(diǎn)Q作DEy軸，分別過(guò)點(diǎn)C、點(diǎn)P作x軸的平行線交DE于D點(diǎn),E點(diǎn).則CDQQEP，又DQC=HCA，D=AHC=90，CDQQEPAHC.設(shè)CD=m，則DQ=2m,又AHCCQP，.又CDQQEP，則QE=2m，EP=4m.由C（-1，4）可得P（-1+3m，4-4m）代入拋物線解析式可得，解得m1=0（舍去