專題復(fù)習(xí)(六)圖形操作問題

1、專題復(fù)習(xí)（六）圖形操作問題圖形操作問題是當今中考命題的熱點，是數(shù)形結(jié)合思想的拓展與升華，這類中考題，立足基礎(chǔ)，突出創(chuàng)新與數(shù)學(xué)思想方法的考察.它有助于學(xué)生發(fā)展空間觀念和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).解決這類題目，要求大家積極參與操作、實驗、觀察、猜想、探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論全過程，有效地提高解答操作題的能力.題型之一折疊與翻折問題（2015·孝感）如圖.四邊形ABCD是矩形紙片.AB2.對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN、MN，延長MN與BC與點G.有如下結(jié)論：ABN60°；AM1；Q

2、N；BMG是等邊三角形；P為線段BM上一動點；H是BN的中點，則PNPH的最小值是.其中正確結(jié)論的序號是.【解析】首先根據(jù)EF垂直平分AB，可得ANBN；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得ABBN，據(jù)此判斷出ABN為等邊三角形，即可判斷出ABN60°.故正確；首先根據(jù)ABN60°，ABMNBM，求出ABMNBM30°；然后在RtABM中，根據(jù)AB2，AMAB·tan30°2×.故不正確；首先根據(jù)EFBC，QN是MBG的中位線，可得QNBG；然后根據(jù)BGBMAB÷cosABM2÷，QN×，結(jié)論不正確；根據(jù)ABMMBN

3、30°，BNMBAM90°，推得MBGBMGBGM60°，即可推得BMG是等邊三角形.即結(jié)論正確；首先根據(jù)BMG是等邊三角形，點N是MG的中點，判斷出BNMG，即可求出BN的大??；然后根據(jù)P與Q重合時，PNPHPNPEEN，據(jù)此求出PNPH的最小值是.即結(jié)論正確.故答案為.圖形的折疊與翻折都屬于全等變換，即操作前后的兩個圖形是全等的，這就為解決問題提供了很多邊、角相等的條件.另外折疊和翻折還是軸對稱變換，解決問題時還可以運用軸對稱的性質(zhì)1.（2015·汕尾）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若AB4，BC2，那么線段EF的長為（

4、）A.2 B. C. D.第1題圖第2題圖2.（2015·無錫）如圖，RtABC中，ACB90°，AC3，BC4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段BF的長為（）A. B. C. D.3.（2015·呼和浩特）如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB8，AD6，將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則CEF的面積為（）A. B. C.2 D.44.（2015·自貢）如圖，在矩形ABCD中，AB4

5、，AD6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC邊上的動點，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連接BD，則BD的最小值是（）A.22 B.6 C.22 D.45.（2015·瀘州）如圖，在ABC中，ABAC，BC24，tanC2，如果將ABC沿直線l翻折后，點B落在邊AC的中點E處，直線l與邊BC交于點D，那么BD的長為（）A.13 B. C. D.12第5題圖第6題圖6.（2015·河南）如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點，把EBF沿EF折疊，點B落在B處，若CDB恰為等腰三角形，則DB的長為.7.（2015&#

6、183;南充）如圖，矩形紙片ABCD，將AMP和BPQ分別沿PM和PQ折疊（APAM），點A和點B都與點E重合；再將CQD沿DQ折疊，點C落在線段EQ上點F處.（1）判斷AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪幾對相似三角形？（不需說明理由）（2）如果AM1，sinDMF，求AB的長.8.（2015·東營）如圖，兩個全等的ABC和DEF重疊在一起，固定ABC，將DEF進行如下變換：（1）如圖1，DEF沿直線CB向右平移（即點F在線段CB上移動），連接AF、AD、BD，請直接寫出SABC與S四邊形AFBD的關(guān)系；（2）如圖2，當點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為正方形，那么AB

7、C應(yīng)滿足什么條件？請給出證明；（3）在（2）的條件下，將DEF沿DF折疊，點E落在FA的延長線上的點G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sinCGF的值.題型之二分割與剪拼問題（2013·淄博）矩形紙片ABCD中，AB5，AD4.（1）如圖1，四邊形MNEF是在矩形紙片ABCD中裁剪出的一個正方形，你能否在該矩形中裁剪出一個面積最大的正方形，最大面積是多少？說明理由；（2）請用矩形紙片ABCD剪拼成一個面積最大的正方形.要求：在圖2的矩形ABCD中畫出裁剪紙，并在網(wǎng)格中畫出用裁剪出的紙片拼成的正方形示意圖（使正方形的頂點都在網(wǎng)格的格點上）.【思路點撥】（1）要在矩形紙片中

8、裁剪出的一個正方形面積最大，則所裁剪的正方形的邊長最大只能等于原長方形的寬；（2）先根據(jù)剪拼前后所得正方形的面積和原長方形的面積相等求出正方形的邊長為2，從而借助勾股定理在網(wǎng)格中確定4和2作為直角邊構(gòu)造直角三角形，將原長方形剪成4個直角邊為4和2的直角三角形和4個邊長為1的小正方形，然后把直角三角形的斜邊作為新正方形的邊長，通過旋轉(zhuǎn)等圖形變換拼出新正方形.【解答】（1）能.要在矩形紙片ABCD中裁剪出的一個正方形面積最大，則所裁剪的正方形的邊長最大只能等于原長方形的寬，即4，所以最大面積是16.（2）由剪拼前后所得正方形的面積和原長方形的面積相等可知，剪拼成的面積最大的正方形的邊長是2.所以先

9、將長方形的長邊分為4和1兩部分，然后將4×4的大正方形部分剪成4個斜邊為2的直角三角形，將1×4的長方形剪成4個邊長為1的小正方形，具體剪法如下圖：解決有關(guān)圖形的裁剪和剪拼問題，關(guān)鍵是要分清裁剪和剪拼的區(qū)別，裁剪只包含“剪”的過程，而剪拼既包含“剪”的過程，又包含“拼”的過程，兩者有著本質(zhì)的區(qū)別，正確區(qū)分二者的意義是正確解決本題的關(guān)鍵.解決剪拼問題的突破口是剪拼前后的圖形的面積不變.1.（2015·寧德）如圖1，已知AC是矩形紙片ABCD的對角線，AB3，ACB30°.現(xiàn)將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把ABC沿著AD方向平移，得到圖2中ABC，當四邊

10、形AECF是菱形時，平移距離AA的長是（）A.B.C.2D.2.（2015·杭州）如圖，在四邊形紙片ABCD中，ABBC，ADCD，AC90°，B150°，將紙片先沿直線BD對折，再將對折后的圖形沿從一個頂點出發(fā)的直線裁剪，剪開后的圖形打開鋪平，若鋪平后的圖形中有一個是面積為2的平行四邊形，則CD.3.（2015·南昌）（1）如圖1，紙片ABCD中，AD5，SABCD15，過點A作AEBC，垂足為E，沿AE剪下ABE，將它平移至DCE的位置，拼成四邊形AEED，則四邊形AEED的形狀為（）圖1圖2A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形（2）如圖2

11、，在（1）中的四邊形紙片AEED中，在EE上取一點F，使EF4，剪下AEF，將它平移至DEF的位置，拼成四邊形AFFD.求證四邊形AFFD是菱形；求四邊形AFFD兩條對角線的長.題型之三學(xué)具操作問題（2015·宜昌）如圖，已知點A（4，0），B（0，4）.把一個直角三角尺DEF放在OAB內(nèi)，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動，其中EFD30°，ED2，點G為邊FD的中點.（1）求直線AB的解析式；（2）如圖1，當點D與點A重合時，求經(jīng)過點G的反比例函數(shù)y（k0）的解析式；（3）在三角尺滑動的過程中，經(jīng)過點G的反比例函數(shù)的圖象能否同時經(jīng)過點F？如果能，求出

12、此時反比例函數(shù)的解析式；如果不能，說明理由.【思路點撥】（1）已知A、B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；（2）利用三角板60°的角，易得點G的坐標，利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)題意，設(shè)點F的橫坐標為t，然后將點F、G的坐標用含t的式子表示出來，再使點F、G的橫縱坐標的乘積相等，列方程求解，有解則表示反比例函數(shù)能同時經(jīng)過點F、G；無解則表示不能.【解答】（1）A（4，0），B（0，4），直線AB的解析式為yx4.（2）在RtDEF中，EFD30°，ED2，EF2，DF4.點D與點A重合，D（4，0），F(xiàn)（2，2），G（3，）.反比例函

13、數(shù)y經(jīng)過點G，k3.反比例函數(shù)的解析式為y.（3）點F在直線AB上，可設(shè)F（t，t4）.又ED2，D（t2，t2）.G為邊FD的中點，G（t1，t3）.若過點G的反比例函數(shù)圖象也經(jīng)過點F，則（t3）（t1）（t4）t.解得t.（t4）t.經(jīng)過點G的反比例函數(shù)圖象能同時經(jīng)過點F，此時這個反比例函數(shù)的解析式為y.解決學(xué)具操作題關(guān)鍵要把握兩點：一是學(xué)具本身具備的特殊性，一般學(xué)具都是特殊的幾何圖形（等腰直角三角形、30°角的直角三角形、半圓、矩形等）；二是學(xué)具依附載體的方式以及與載體之間運動的規(guī)則.如本題：學(xué)具在一次函數(shù)圖象上做平移運動.1.（2014·泰安）將兩個斜邊長相等的一副

14、三角板紙片如圖1放置，其中ACBCED90°，A45°，D30°.把DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到D1CE1，如圖2，連接D1B，則E1D1B的度數(shù)為（）A.10° B.20° C.7.5° D.15°2.（2015·濟寧）將一副三角尺（在RtACB中，ACB90°，B60°；在RtEDF中，EDF90°，E45°）如圖擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C.將EDF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角（0°<<60°），DE交A

15、C于點M，DF交BC于點N，則的值為（）A. B. C. D.3.（2014·孝感調(diào)考）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點E，第24秒時，點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是度.4.（2015·徐州）如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限.其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB12 cm.（1）若OB6 cm.求點C的坐標；若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；（2） 點C與點O的距

16、離的最大值cm.參考答案1B2.B提示：根據(jù)折疊的性質(zhì)先得出ECF是等腰直角三角形，再得到BFD90°，再在RtBDF中利用解直角三角形得出答案3.C4.A5.A提示：過點A作AGBC于點G，過E點作EFBC于點F，利用等腰三角形性質(zhì)及三角函數(shù)求出AG和EF的長再在RtEDF中，利用勾股定理求出DE的長，即求出BD的長6.16或4提示：根據(jù)題意，若CDB恰為等腰三角形需分DBDC；CBCD；CBDB三種情況討論7.(1)有三對相似三角形，即AMPBPQCQD.(2)設(shè)APx，有折疊關(guān)系可得：BPAPEPx，ABDC2x，AM1.由AMPBPQ，得，即BQx2.由AMPCQD，得，即C

17、Q2.ADBCBQCQx22，MDADAMx221x21.又在RtFDM中，sinDMF，DFDC2x，解得x3或x(不合題意，舍去)AB2x6.8.(1)SABCS四邊形AFBD.(提示：SABCSACFSAFBSFDASDFBS四邊形AFBD)(2)ABC為等腰直角三角形，即ABAC，BAC90°.理由：F為BC的中點，CFBF.CFAD，ADBF.又ADBF，四邊形AFBD為平行四邊形ABAC，F(xiàn)為BC的中點，AFBC.平行四邊形AFBD為矩形BAC90°，F(xiàn)為BC的中點，AFBCBF.四邊形AFBD為正方形(3)正確畫出圖形如圖所示由(2)知，ABC為等腰直角三角形

18、，AFBC.設(shè)CFk，則GFEFCB2k.由勾股定理，得CGk.sinCGF.題型之二分割與剪拼問題1C2.2或42提示：四邊形紙片ABCD中，AC90°，B150°，D30°.如圖，根據(jù)題意對折、裁剪、鋪平后可有兩種情況得到平行四邊形：如圖1，剪痕BM、BN，過點N作NHBM于點H，易證四邊形BMDN是菱形，可求得CD2.如圖2，剪痕AE、CE，過點B作BHCE于點H，易證四邊形BAEC是菱形，易證BCDEHB，.CD42.綜上所述，CD2或42.3CAF平行且等于DF，四邊形AFFD是平行四邊形AE3，EF4，E90°，AF5.AD5，ADAF.四邊形AFFD是菱形如圖，連接AF，DF.在RtAEF中，AE3，EF9，AF