基于排隊論的簡單實際應用

1、基于排隊論的簡單實際應用 摘要：排隊論(Queuing Theory) ，是研究系統(tǒng)隨機聚散現(xiàn)象和隨機服務系統(tǒng)工作過程的數(shù)學理論和方法，又稱隨機服務系統(tǒng)理論，為運籌學的一個分支。本文根據(jù)排隊論進行了一個簡單的實際應用討論。根據(jù)該辦公室的電話系統(tǒng)狀況得知其服從排隊論模型規(guī)律，用表示在時刻t，服務系統(tǒng)的狀態(tài)為n（系統(tǒng)中顧客數(shù)為n）的概率。通過輸入過程，排隊規(guī)則，和服務機構的具體情況建立關于的微分差分方程求解。令把微分方程變成差分方程，而不再含微分了，因此這樣意味著把當作與t無關的穩(wěn)態(tài)解。關于標準的M/M/s模型各種特征的規(guī)定于標準的M/M/1模型的規(guī)定相同。另外規(guī)定各服務器工作是相互獨立（不搞協(xié)作

2、）且平均服務率相同于是整個服務機構的平均服務率為；令只有當時才不會排成無限的隊列，成這個系統(tǒng)為服務強度，各顧客服務時間服從相同的負指數(shù)分布.關鍵詞：泊松分布，指數(shù)分布，概率，期望，Little公式基于排隊論的簡單介紹 ：較為經(jīng)典的一種排隊論模式，按照前面的Kendall記號定義，前面的M代表顧客(工具)到達時間服從泊松分布，后面的M則表示服務時間服從負指數(shù)分布，1為僅有一個打磨機。 蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基于“隨機數(shù)”的計算方法。這一方法源于美國在第一次世界大戰(zhàn)進研制原子彈的“曼哈頓計劃”。該計劃的主持人之一、數(shù)學家馮&#

3、183;諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。 排隊論研究的基本問題（1）排隊系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷:即判斷一個給定的排隊系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊 理論進行研究。 （2）系統(tǒng)性態(tài)問題:即研究各種排隊系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊長分布、等待時間 分布和忙期分布等統(tǒng)計指標,包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。（3）最優(yōu)化問題：即包括最優(yōu)設計(靜態(tài)優(yōu)化)，最優(yōu)運營（動態(tài)優(yōu)化）。問題的陳述：辦公室有三條電話線可以打進，也就是說在任意時刻最多能打進接待三通話者來訪，打進的電話是隨機的，其時間服從上午九點至下午五點的均勻分布，每次電話的持續(xù)時間是均值為6分鐘的隨

4、機變量，經(jīng)理關心由于占線而可能打不進來的人數(shù)。他們當中有人稍后可能重撥電話，而其他人則可能放棄通話，一天中接通的電話平均數(shù)是70。1、問題的提出：請仿真這個辦公室的電話系統(tǒng)并給出如下估計：（1） 無電話占線，有一條、兩條占線和三條占線的時間百分比； （2） 沒有打進電話的人所占的百分比。（3） 若辦公室再新裝一部電話，你怎樣修改模型？改進這一模型還需要其他什么信息？2、問題的分析：這是一個多服務臺混合制模型M/M/s/K，顧客的相繼到達時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布（即顧客的到達過程為Poisson流），服務臺的個數(shù)為s，每個服務臺的服務時間相互獨立，且服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，系統(tǒng)的空間為K。3、

5、背景的分析：在辦公室三部電話系統(tǒng)的前提下，研究其工作情況，無電話占線、有一個、有兩個、三個都占線所占的時間百分比，為保證顧客源不致過多的流失，能夠接通更多的電話，比較研究是否應該新增加一臺電話。4、建立的模型：假設：顧客的相繼到達時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，服務時間服從參數(shù)的負指數(shù)分布，表示在時刻t，服務系統(tǒng)的狀態(tài)為n（系統(tǒng)中顧客數(shù)為n）的概率，平穩(wěn)狀態(tài)隊長N即系統(tǒng)中的顧客數(shù)其期望值，平穩(wěn)狀態(tài)排隊長,指系統(tǒng)中排隊等待服務的顧客數(shù)其期望值為，逗留時間指平穩(wěn)狀態(tài)顧客在系統(tǒng)中的停留時間，記它的期望值為，等待時間指平穩(wěn)狀態(tài)顧客在系統(tǒng)中排隊等待的時間，期望值記作，表示當系統(tǒng)處于n時新來顧客的平均到達率，

6、表示當系統(tǒng)處于n時，整個系統(tǒng)的平均服務率，s是系統(tǒng)中并行服務的臺數(shù)，s為系統(tǒng)的服務強度。Little公式為：，顧客撥打這三部電話是等可能性的。模型形式：為求平穩(wěn)分布，考慮系統(tǒng)處的任一狀態(tài)n。假設記錄了一段時間內(nèi)系統(tǒng)進入狀態(tài)n和離開狀態(tài)n的次數(shù)，則因為“進入”和“離開”是交替發(fā)生的，所以這兩個數(shù)要么相等要么相差1。但就這兩件事件平均發(fā)生率來說，可以認為是相等的。即當系統(tǒng)運行相當時間而達到平衡狀態(tài)后，對任一狀態(tài)n來說，單位時間內(nèi)進入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時間內(nèi)離開該狀態(tài)的平均次數(shù)應該相等，這就是系統(tǒng)在統(tǒng)計平衡下的“流入=流出”原理。根據(jù)這一原理，可得到任一狀態(tài)下的平衡方程如下：0 1 2 n-1

7、n 由上述平衡方程，可求得0： 1： 2： n： 記 n=1，2，則平穩(wěn)狀態(tài)的分布為： n=1，2，由概率分布的要求有于是上式只有當分母級數(shù)收斂時才有意義，即當時，才能由上述公式得到平穩(wěn)狀態(tài)的概率分布。由上面推導知本電話系統(tǒng)模型中有：于是其中由平穩(wěn)分布，n=0,1,2,，K,可得平均排隊長為：為求平均隊長，由得到由系統(tǒng)的空間的有限性，必須考慮顧客的有效到達率。對多服務臺系統(tǒng)有=再利用Little公式為：平均被占用的服務臺數(shù)（也就是正在接受服務的顧客的平均數(shù)）為：因此，又有模型求解：題中該辦公室系統(tǒng)可看成M/M/3/3排隊模型，其中平均到達率：= 0.146人/分鐘；平均服務率：=人/分鐘服務強

8、度：=0.982于是可得空閑(無電話占線)的概率=0.381=38.1%有一條占線的概率 =0.9820.381=0.375=37.5%有兩條占線的概率 =0.184=18.4%有三條占線率的概率 0.158=0.06=6.0%系統(tǒng)的顧客損失率為=0.06，即有6%的呼叫不能接通，即沒有打進電話的人占6%。系統(tǒng)的相對通過能力Q=1-=0.94，即有94%的呼叫可以接通。系統(tǒng)的絕對通過能力A=Q=0.1460.94=0.137，即每分鐘可接通0.137次（每小時8.23次）呼叫。被占用的中繼線的平均數(shù)為：=0.982×0.94=0.923（條）通道利用率：=0.308=30.8%4、結

9、果分析：工作時間內(nèi)，接通電話的總時間（三部電話）為：6×70=420（分鐘），由于三部電話相互獨立，打進的電話是隨機的，其時間服從上午九點至下午五點的均勻分布則知三部電話的空閑率直觀上看其和為：p=×3=3/8=0.375與模擬的結果0.381相差不大。5、討論模型的優(yōu)缺點：優(yōu)點在于能巧妙的利用排隊論的理論及概率學里邊的函數(shù)分布規(guī)律（泊松分布、指數(shù)分布等）將一個看似離散隨機的電話系統(tǒng)賦予數(shù)學的推導，得出一套基本可行方案，對實際問題的研究和解決提供參考依據(jù)。缺點在于實際問題中顧客往往會選擇撥打三部電話當中的第一部，當?shù)谝徊空季€時才會去撥第二部或第三部，這樣第一部電話的忙時的概率相對另外兩部來說要高很多，還有顧客打來電話很有可能在一段時間內(nèi)會很多，這樣的時間也許會延續(xù)很長因而模型估計的三條都占線的概率可能偏小導