二項式定理知識點總結(jié)

1、、二項式定理：a bn的二項展開式，其中各項的系數(shù)Cnk（k對二項式定理的理解：1）二項展開式有n 1項（2）字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由 第一項開始，次數(shù)由 0 逐項加 1 到nn逐項減 1 到 0；字母b按升冪排列，從、二項展開式的通項：Tk 1Cnkan kbkk n k k二項展開式的通項Tk 1Cnkan kbk（k 0,1,2,3 n）是二項展開式的第k 1項，它體現(xiàn)了 二項展開式的項數(shù)、 系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律， 是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特 定項（如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)等方面有廣 泛應(yīng)用對通項Tk 1Cnkan kb

2、k(k 0,1,2,3 n)的理解：1） 字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同2）a與b的次數(shù)之和為n3） 在通項公式中共含有a,b, n,k,Tk 1這 5 個元素，知道 4 個元素便可求第 5 個元素a bnCn0anCn1an 1bk n k kCna bCnnbn（n N）等號右邊的多項式叫做3）二項式定理表示一個恒等式，對于任意的實數(shù)a, b，等式都成立，通過對a,b取不同的特殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設(shè)a 1，b1 xnCn0 xnC1nxk n kCnxCnnxn(nN）4）要注意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式a bn展開，得到一個多項式；另一方面，也可將展開

3、式合并成二項式nab0,1,2,3 n）叫做二項式系數(shù)。例 1Cn13Cn29Cn33n 1Cnn等于（）例 2. （1 ）求（12x)7的展開式的第四項的系數(shù)；(2)求(x193-)9的展開式中x3的系數(shù)及二項式系數(shù)x三、二項展開式系數(shù)的性質(zhì):1對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即2增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。n如果二項式的幕指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大，即n偶數(shù)：CnmaxC；n 1n 1如果二項式的幕指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大，即CmaxC/ CF3二項展開式的各系數(shù)的和等于2n，令a

4、 1，b 1即c：C：Cn(1 1)n2n；4奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，令a 1，b1即Cn例題：寫出(X y)11的展開式中:(1 )二項式系數(shù)最大的項；(2)項的系數(shù)絕對值最大的項；(3 )項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項;(4)二項式系數(shù)的和；(5)各項系數(shù)的和nnA.4B。3 44n1D.4nC0C；,c：Cn 1Q2cn，cnC：C；2n四、多項式的展開式及展開式中的特定項(1)求多項式(印a2an)n的展開式，可以把其中幾項結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項式，再利用二項式定理展開。例題：求多項式(x2厶2)3的展開式x(2)求二項式之間四則運算所組成的式子展開式中的特定項，可以先

5、寫出各個二項式的通 項再分析。例題：求(1 X)2(1 X)5的展開式中X3的系數(shù)n例題：如果在濃2?x的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求展開式中的 有理項?！舅季S點撥】 求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數(shù)法確定k五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定727例題：已知(1 2x) a0a1x a2x La7x,求：(2)aia?a5a?；(3)|a。| |印| L |a?|.的展開式的常數(shù)項。(1)aia2L a7；(2 )求六、二項式定理的應(yīng)用:1、二項式定理還應(yīng)用與以下幾方面:(1)進(jìn)行近似計算(2 )證明某些

6、整除性問題或求余數(shù)(3)證明有關(guān)的等式和不等式。如證明：2n2n n 3,n N取2n1 1n的展開式中的四項即可。2、各種問題的常用處理方法(1) 近似計算的處理方法當(dāng) n 不是很大，|x|比較小時可以用展開式的前幾項求(1 x)n的近似值。例題：(1.05)6的計算結(jié)果精確到的近似值是( )A.B.C.D.(2)整除性問題或求余數(shù)的處理方法1解決這類問題，必須構(gòu)造一個與題目條件有關(guān)的二項式2用二項式定理處理整除問題，通常把幕的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)k的和或差的形式，再利用二項式定理展開，這里的k通常為 1，若k為其他數(shù)，則需對幕的底數(shù)k再次構(gòu)造和或差的形式再展開，只考慮后面(或者是某項)

7、一、二項就可以了3要注意余數(shù)的范圍，對給定的整數(shù)a,b(b 0)，有確定的一對整數(shù)q和r，滿足a bq r，其中b為除數(shù)，r為余數(shù)，r 0, b，利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)， 要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù) 例題：求201363除以 7 所得的余數(shù)A. 0 B。2 C。71例題：當(dāng)n N且n1,求證2(1-)n3n【思維點撥】 這類是二項式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試-、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的例題：若n為奇數(shù)，則7nC：7n1C27n 2cn17被 9 除得的余數(shù)是（）等，那么正整數(shù) n

8、等于1 17.設(shè)(3x3+x2)n展開式的各項系數(shù)之和為t，其二項式系數(shù)之和為h,若 t+h=272，則展開式的 x2項的系數(shù)是( )A.1B. 12C. 2D. 3&在(1 x x2)6的展開式中x5的系數(shù)為( )A. 4B. 5C. 6D. 71.在 x103的展開式中,x6的系數(shù)為2.27C：B.27C：oc.9C6oD9C4。已知a b 0,b4a,a bn的展開式按a 的降幕排列, 其中第 n 項與第n+1 項相A. 4B.C. 10D. 113.n的展開式的第三項與第二項的系數(shù)的比為11 : 2,則n是A. 10B. 1112D.134. 5310被 8 除的余數(shù)是A. 1B. 2

9、C.D.5.6的計算結(jié)果精確到的近似值是A.B.C.D.n6.二項式2：x1(nN)的展開式中,v X前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項的項數(shù)是B. 2C.D. 4已知(、a9.(勿1遲)展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和等于1024,則所有項的系數(shù)中最大的值是當(dāng) x=2000 時，(1-x)1999除以 2000 的余數(shù)是 1 .A. 330B . 462C.680D.79010 . (、_X 1)4(x1)5的展開式中，4x的系數(shù)為()A .40B . 10C.40D.4511.二項式(1+sinx)n的展開式中，末尾兩項的系數(shù)之和為 則 x在0 , 2n內(nèi)的值為二、填空題：本大題滿分1

10、6 分，每小題 4 分，各題只要求直接寫出結(jié)果 219913.(x2)9展開式中x9的系數(shù)是2x14.若2x .34aoa/a4X4，貝 V a。a?a42aja32的值為-16 .對于二項式(1-x)1999，有下列四個命題:-|-r u-t -r-10009991展開式中000= C1999x2展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1 ；3展開式中系數(shù)最大的項是第1000 項和第 1001 項;三、解答題：本大題滿分 74 分.57,且系數(shù)最大的一項的值為-，2( )A.或一 B6312 .在(1 +x)5+(1 +x)6+(1 +x)7的展開式中,含x4項的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n 5的A.第 2

11、項B.第 11 項C.第 20 項D.第 24 項15 .若(x3x2)n的展開式中只有第 6 項的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項其中正確命題的序號是.（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）L117.（ 12 分）若（6x6）n展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.Vx（1）求n的值；（2）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？1n18. （12 分）已知（丄2x）的展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37,求展式中二項式4系數(shù)最大的項的系數(shù).19. （12 分）是否存在等差數(shù)列an，使a1C0na2cna3c2anQ；n 2n對任意n N*都成立？若存在，求出數(shù)列an的通項公式；若不存在，請說明理由20.（ 12 分）某地現(xiàn)有耕地 100000 畝，規(guī)劃 10 年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%，人均糧食占 有量比現(xiàn)在提高 10%。如果人口年增加率為 1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到 1 畝） ？21.(12 分)設(shè) f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN)，若其展開式中，關(guān)于x 的一次項系數(shù)為11,試問：m n 取何值時，f(x)的展開式中含 x2項的系數(shù)取最小值，并求出這個最小 值22. (14 分