線性變換的矩陣表示式

1、    §5   線性變換的矩陣表示式上節(jié)例10中，關(guān)系式                       簡(jiǎn)單明了地表示出中的一個(gè)線性變換. 我們自然希望中任何一個(gè)線性變換都能用這樣的關(guān)系式來(lái)表示. 為此，考慮到（為單位坐標(biāo)向量），即     

2、0;               ，可見(jiàn)如果線性變換有關(guān)系式，那么矩陣應(yīng)以為列向量. 反之，如果一貫個(gè)線性變換使，那么必有關(guān)系式          總之，中任何線性變換，都能用關(guān)系式表示，其中.把上面的討論推廣到一般的線性空間，我們有定義7   設(shè)是線性空間中的線性變換，在中取定一個(gè)基，如果這個(gè)基在變換下的象（用這個(gè)基線性表示）為  &#

3、160;      記 ，上式可表示為                    ，                  （5）其中    

4、60;                ，那么，就稱(chēng)為線性變換在基下的矩陣 .顯然，矩陣由基的象唯一確定.如果給出一個(gè)矩陣作為線性變換在基下的矩陣，也就是給出了這個(gè)基在變換下的象，那么根據(jù)變換保持線性關(guān)系的特性，我們來(lái)推導(dǎo)變換必須滿足的關(guān)系式：中的任意元素記為，有 ，即                

5、        （6）這個(gè)關(guān)系式唯一地確定一個(gè)變換，可以驗(yàn)證所確定的變換是以為矩陣的線性變換.總之。以為矩陣的線性變換由關(guān)系式（6）唯一確定.定義7和上面一段討論表明，在中取定一個(gè)基以后，由線性變換可唯一確定一個(gè)矩陣，由一個(gè)矩陣也可唯一地確定一個(gè)線性變換，這樣，在線性變換與矩陣之間就有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.由關(guān)系式（6），可見(jiàn)與在基下的坐標(biāo)分別為               

6、;     即按坐標(biāo)表示，有      .例11                在中，取基                求微分運(yùn)算的矩陣 .解    

7、0;所以在這組基下的矩陣為  .例12                在中，表示將向量投影到平面的線性變換，即                     ，（1）       取基為，求的矩陣

8、；（2）       取基為，求的矩陣 .解    （1）            即                     （2）      

9、60;     即   由上例可見(jiàn)，同一個(gè)線性變換在不同的基下有不同的矩陣，一般地，我們有定理3   設(shè)線性空間中取定兩個(gè)基:,由基到基的過(guò)度矩陣為，中的線性變換在這兩個(gè)基下的矩陣依次為和，那么.     證   按定理的假設(shè)，有  可逆；及         ，         

10、  ，于是    ，因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以                        證畢這定理表明與相似，且兩個(gè)基之間的過(guò)度矩陣就是相似變換矩陣.例13              

11、;  設(shè)中的線性變換在基下的矩陣為                          ，求在基下的矩陣.解   :   即              ，求得   于是在基下的矩陣為定義8   線性變換的象空間的維數(shù)，稱(chēng)為線性變換的秩.顯然，若是的矩陣，則的秩就是.,若的秩,則的核的維數(shù)為.