離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度PPT課件

1、2021/3/912.3 離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度 前面討論連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度及其相前面討論連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度及其相關(guān)性質(zhì)，并得出重要的關(guān)系式關(guān)性質(zhì)，并得出重要的關(guān)系式:(:(維納維納辛欽公式辛欽公式) ) 隨著快速傅里葉變化隨著快速傅里葉變化( (FFT) )算法出現(xiàn)以及數(shù)字信算法出現(xiàn)以及數(shù)字信號(hào)處理號(hào)處理( (DSP) )芯片的飛速發(fā)展，對(duì)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程芯片的飛速發(fā)展，對(duì)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的研究就顯得非常重要。的研究就顯得非常重要。2021/3/92一一 離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度1 平穩(wěn)平穩(wěn)離散離散時(shí)間隨機(jī)

2、過(guò)程的相關(guān)函數(shù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)X(n)為為廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)離散離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，或簡(jiǎn)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，或簡(jiǎn)稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值。稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值。 X(n)可以可以看作對(duì)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行采樣得到的信號(hào)，看作對(duì)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行采樣得到的信號(hào)，采樣間隔采樣間隔 ，即，即 。 X(n)自相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為: :)()()(mTnTXnTXEmRX簡(jiǎn)寫(xiě)為：簡(jiǎn)寫(xiě)為： )()()(mnXnXEmRXsT( )( )|st nTX nX t2021/3/932 平穩(wěn)平穩(wěn)離散離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度 序列序列 的傅里葉變換存在的的傅里

3、葉變換存在的充要條件充要條件是是滿足絕對(duì)可和條件：即滿足絕對(duì)可和條件：即 定義定義 的功率譜密度為序列的功率譜密度為序列 的傅的傅里葉變換，并記為里葉變換，并記為 )(mRX( )XmRm )(nX)(mRX)(XS( )( )jm TXXmSRm e1( )( )2jm TXXRSed2021/3/94是頻率為是頻率為 的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為 T是隨機(jī)序列相鄰各值的時(shí)間間隔。是隨機(jī)序列相鄰各值的時(shí)間間隔。22qT 奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率 )(XS因?yàn)橐驗(yàn)?為周期函數(shù)，周期為為周期函數(shù)，周期為)( XS2qdeSmRTjmXqXqq)(21)(在在 時(shí)時(shí)0m1(

4、 )(0)( )2qqXXqE X nRSd2021/3/953 譜分解譜分解 z變換定義變換定義 在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義為散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義為 的的z變變換換，并記為，并記為 ，即，即 )(mRX zSX mmXXzmRzS)(式中式中,()( )j Tj TXXzeSeS11( )( )2mXXDRmSz zdzj 式中，式中，D為在為在 的收斂域內(nèi)環(huán)繞的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點(diǎn)逆平面原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。 zSX 為為 的逆的逆z變換變換)(mRX zSX 202

5、1/3/96 性質(zhì)：性質(zhì)： 1( )()XXSzSz（因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)?）)()(mRmRXX 譜分解定理譜分解定理 設(shè)設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過(guò)程，具有有是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過(guò)程，具有有理功率譜密度函數(shù)理功率譜密度函數(shù) 。則。則 可分解為：可分解為： zSX zSX )()(1zBzBzSX)()()()()(11MMzzzzCzB)()()()()(1111111MMzzzzCzB其中其中包含了包含了單位圓之內(nèi)單位圓之內(nèi)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)包含了包含了單位圓之外單位圓之外的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)2021/3/97例例 設(shè)設(shè) ，求，求 和和( ),1mXRmaa( )XS

6、z( )XS解解10221111( )(1)1()(1)(1)(1)(1)()()mmmmXmmSzaza zazzazazzazaazaaaazazaazz將將 代人上式，即可求得代人上式，即可求得j Tze11( )2cosXaaSaaT2021/3/98連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 離散時(shí)間離散時(shí)間 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)( )X t( )X n( )cR( )R m( )S( )cSFTDFT2021/3/99連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間確知信號(hào)確知信號(hào)離散時(shí)間離散時(shí)間確知信號(hào)確知信號(hào)( )S t( )S

7、 n采樣采樣香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理2021/3/910平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理其中，其中， 為采樣周期，為采樣周期， 為在為在 時(shí)對(duì)時(shí)對(duì) 的采樣。的采樣。sin()( )()()()()ccscsscsnncstnTs ts nTs nTSatnTtnT),(cc1/2scTf設(shè)設(shè) 為一確知、連續(xù)、帶限的實(shí)信號(hào)，其為一確知、連續(xù)、帶限的實(shí)信號(hào)，其頻帶范圍頻帶范圍 ，當(dāng)采樣周期，當(dāng)采樣周期 時(shí)時(shí) 即頻率即頻率 時(shí)，時(shí)， 可唯一由其可唯一由其抽樣點(diǎn)抽樣點(diǎn) 確定（恢復(fù)）。確定（恢復(fù)）。)(ts)(ts2(2)scccfff()ss nTnTt )(tssT()ss nT2021

8、/3/911連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間確知信號(hào)確知信號(hào)離散時(shí)間離散時(shí)間確知信號(hào)確知信號(hào)( )S t( )S n采樣采樣香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理)()(nTSnSsin()( )()()ccssncstnTs ts nTtnT2021/3/912連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程( )X t( )X n 采樣采樣2021/3/9132 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程的采樣定理的采樣定理( )( )0XcXSS其其它它12sccTf)(tX)(tXsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtn()sX nT 是均方意義下的極限（均方極限）：是均方意義下

9、的極限（均方極限）：若若 ，則表示，則表示 ， 即，在即，在 時(shí)，時(shí)，Y(t)和和X(t)的均方誤差趨于零。的均方誤差趨于零。( )lim( )NX tY t2lim( )( ) 0NE X tY tN lim2021/3/914 的帶寬也是有限。的帶寬也是有限。sin()( )()cXXsncnRRnTna()( ),( )j aj aXXXRaSeSe)(aRXsin()()()cXXsncnRaRnTan令令 ，則，則asin()( )()()cXXsncanRRnTaan 對(duì)對(duì) ， 對(duì)對(duì) 應(yīng)用香農(nóng)采樣定理應(yīng)用香農(nóng)采樣定理 帶寬有限，帶寬有限， 是是帶限確定信號(hào)帶限確定信號(hào)，由香農(nóng)，由香

10、農(nóng)采樣定理可知采樣定理可知)(XR( )( )XXRS)(XS是確知函數(shù)，維納是確知函數(shù)，維納-辛欽定理：辛欽定理： )(XR2021/3/915sin()( )()NcsnNctnX tX nTtn令令lim( )( )()sin()()()0NcXsXssncEX tX tX mTtnRtmTRnTmTtn，則則這說(shuō)明，這說(shuō)明，( )( )X tX t)(mTX正交正交 又又 是是 的線性組合，的線性組合，sin()( )()NcsnNctnX tX nTtn)(mTXN正交正交( )( )X tX t)(tX2021/3/916即即 lim( )( )( )0NEX tX tX t(4)

11、又又 lim( )( )( )0NEX tX tX t(5)2lim( )( )lim( )( )( )lim( )( )( )0NNNEX tX tE X tX tX tE X tX tX t即即sin()( )lim( )lim()NcsNNnNctnX tX tX nTtn2021/3/9172lim( )( )0NEX tX tsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtnsin()( )()cXXsncnRRnTnsin()()()cXXsncnRaRnTansin()( )()()cXXsncanRRnTaan lim( )( )( )0NEX tX tX t(4)

12、lim( )( )( )0NEX tX tX t(5)2021/3/918連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程( )X t( )X nsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtn采樣采樣( )()X nX nT自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)( )cR( )R m( )S( )cSFTDFT2021/3/919三三 功率譜密度的采樣定理功率譜密度的采樣定理 若平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間實(shí)隨機(jī)過(guò)程若平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間實(shí)隨機(jī)過(guò)程 ，其自相關(guān)函數(shù)，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為和功率譜密度分別記為 和和 ，對(duì)，對(duì) 采樣后所采樣后所得離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程得離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程 ， 的自相關(guān)函的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為數(shù)和功率譜密度分別記為 和和 ，則有，則有)(cR)(cS( )cXt( )()sX nX nT)(nX)(mR)(S( )( )()()()()( )|scscscscmTR mE X n X nmE XnT XnTmTR mTR1( )(2)cqqnssSSnTT( )cXt2021/3/920連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程( )X t( )X n