25等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)目標(biāo)：掌握等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式及公式證明思路； 會(huì)用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式解決有關(guān) 等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。重點(diǎn)、難點(diǎn)：等比 數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)，靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問(wèn)題國(guó)際象棋起源于印度，相傳國(guó)王要獎(jiǎng)勵(lì)國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他想要什么，發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第第1格放1粒麥，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，以后每格是前一格粒數(shù)的 2倍。國(guó)王覺(jué)得這個(gè)要求不高，答應(yīng)了。如果千粒重40克，目前世界年度小麥產(chǎn)量 6億噸，判斷國(guó)王能滿(mǎn)足他的要求嗎？如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個(gè)數(shù)列，我們可以得到一個(gè)等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是1,公比是2,求第一個(gè)格子 到第64個(gè)格子

2、各格所放的麥粒數(shù)總合就是求這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和。這個(gè)數(shù)很大，超過(guò)了般地，設(shè)等比數(shù)列 a! ,a2,a3, an它的前n項(xiàng)和是Sn a! a2 a3an根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ann 1ae，上式可以寫(xiě)成Sna1ae2aqn 2aqn 1兩邊乘公比q，可得qSnag2aq3aqn 1a1兩式相減，得(1q)Sna1nag當(dāng)q 1時(shí)，Sna1(11qn)q(q 1)，因?yàn)閍naN 1a1anq，有 Sn 1 n (q 1)1 q當(dāng)q=1時(shí)，Snna1有了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，就可以解決剛才的問(wèn)題。由 a11,q2,n64可得Sn印(1 qn)= 1 (1 264)“64.= =2 1。1 q

3、1 21.84 1019。國(guó)王不能實(shí)現(xiàn)他的諾言。例1 (1)求等比數(shù)列的丄,丄，丄，丄前8項(xiàng)和.2 4 8 161111求等比數(shù)列的一,一,一，一前n項(xiàng)和2 4 8 161 11 1求等比數(shù)列的一，一，一，丄前n項(xiàng)和2 48 16(4)a 1=27,a 9=1/243,q<0,求前 8 項(xiàng)的和今起，大約幾年可使總銷(xiāo)售量達(dá)到30000臺(tái)（結(jié)果保留到個(gè)位）？解：依據(jù)題意可得，從第1年起，每年的銷(xiāo)售量組成一個(gè)等比數(shù)列1.6.5000 11 1n其中 a1 5000,q 1 10% 1.1, Sn30000,于是得到30000.化簡(jiǎn)得 1.1n14 -16的前n項(xiàng)的和1 1.1兩邊取常用對(duì)數(shù)，得

4、nlg1.1=lg1.6 ，得nig 1.6 5答：約5年可以使總銷(xiāo)售量量達(dá)到ig 1.10.041臺(tái)30000例 3 (1)求數(shù)列 11, 21, 31,248分析：Sn=1 1+21+31 + +n2482=(1 +1)+(2+21)+(3+41)+ +(n+8=(1+2+3+n)+(-2+ + 丄)=2nn(n 1)1 1-(1-n) =22 =22 1=-( n22n 2n 2)答案：2（n222)（2） 求和：（X+丄）y(X2y2)n(X1)(其中 X M 0, y解：當(dāng) xm0, xm 1,y m 1 時(shí)，(x+1-)y(x)=(X+X 2+Xn、+(丄-4y y+ +)=x(1

5、 xn)1 X丄)y1Xn 1yn 1n 1 ny y；1+ -2X分析：注意至»( xn+丄 )2=an=x2n+nX122求(X+) +(X -X)2+-+（xn+丄）2的值nX1 +2,且x 2n與（ l）2n為等比數(shù)列，故可考慮拆項(xiàng)法X2nX解：Sn=(x2+x4+X2n)+( -12X+ 芻)+(2 2)2 當(dāng) x=± 1 時(shí),Xn個(gè) 2S n=n+n+2n=4n.當(dāng)x工土 1時(shí)，S=x2(12n、x )2X1 12 (1 2F)XX+2n=1X2z 2n2n 2(X 1)(XX (x 1)1)2n例4 (1)若數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為S=an 1(a豐0),則這個(gè)

6、數(shù)列是A.等比數(shù)列 B.等差數(shù)列 C.等比或等差數(shù)列D.非等差數(shù)列分析：若 a=1,貝U S=0, an=0貝U an為等差數(shù)列；若 a豐1,則n 1 nn n 1an 1 Sn1 Sna aa(aa J=a, a n為等比數(shù)列n n 1 nma.Sn Sn 1 a a a a在等比數(shù)列中，若 SlG=10,S 20=30,則S30=.解法:由 Sio=a1+a2+ +a10=10,S20=a1+a2+a20=10+q (a1+a2+a1o)=(1+q 10) 10=30 q10=2,q 20=4,S 30=S20+a21+a30=S20+q20(a 1+a?+a10)=70.解法二：在等比數(shù)

7、列中，S0,S20 S0,S30 S20成等比數(shù)列，又S10=10,S20一 S10=20, S30一 S20=40, - S30=40+S20=40+30=70.答案：70aaa 已知等差數(shù)列a n的公差d豐0,且a1,a3,a 9成等比數(shù)列，求 13a?84a10分析：T a1,a 3,a 9成等比數(shù)列,( a1+2d) 2=a1(a 1+8d)即 a1=d,a1a3a9 d3d9d13a2a4a102d4d10d16 數(shù)列a n中，Sn=1+kan(k豐0,k豐1)(1)證明數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)求通項(xiàng)an；(3)當(dāng) 禾口 a/+a22+an2.分析：由于條件中涉及(1)證明：T S

8、n=1+kak= 1時(shí)，求Sn與an的關(guān)系，因此，要考慮S S1=an(n > 2)的運(yùn)用，然后回答定義.得 Sn Sn- 1=kan kan-1(n > 2)S n 1 = 1+ ka n- 1 (k - 1)a n=kan 1,也an 1(常數(shù))(n> 2),k an是公比為的等比數(shù)列.k 1(2)解：.S1=a1=1+ka1, a1=)nkn1(nr1k21 解： an中 a1=,q=, an為首項(xiàng)為( -1k k 1k-)11當(dāng)k= 1時(shí)，等比數(shù)列an2的首項(xiàng)為一，公比為41.222- a1 +a2 + +an =42,公比為(止)2的等比數(shù)列.k 1A (1)n2=

9、 441 14(丄)n4評(píng)述:應(yīng)注意an= S1(n °的應(yīng)用.Sn Sn 1 (n 2)S3+ S= 2S9，求數(shù)列的公比 q;例5 (1)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,若 已知S是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證：a2,a 8,a 5成等差數(shù)列. 分析：由題意可得 Ss+S=2S,要證a2,a8,as成等差數(shù)列，只要證 a2+a5=2a&即可.證明：T S3,S9,S6 成等差數(shù)列， S3+S6 = 2S若 q=1,貝U S3=3ai, Se=6ai,S9=9ai，由等比數(shù)列中，ai豐0得 S3+S5M 2S),與題設(shè)矛盾q豐1 , 369ai

10、(1 q )ai(1 q )ai(1 q )日 a1 (1 q3) a1(i q6) 2a1 (1 q9)S3, S6, S91 q1 q1 q1 q 1 q1 q整理得 q3+q6=2q9，由 qz 0 得 1+q3=2q6又/ a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q 3), a2+a5=a1q 2q6=2a1q7=2a8, a2,a8,a5成等差數(shù)列.例6 設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b1=1,a 2+a4=b3,b 2b4=a3,分別求出an及bn的前10項(xiàng) 的和S10及0。例7設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列 a, 2a2, 3a3,，na：的前n項(xiàng)和；1(1) a=0時(shí)，S=0;

11、 (2) a豐 0 時(shí)，若 a=1，則 Sn=1+2+3+n= n(n 1)2若 az 1, S-aSn=a (1+a+an-1-na n), Sn=a_ 1 (n1)annan 1 (1 a)例8 求數(shù)列2x2,3x 3,4x 4,nx n,的前n項(xiàng)和.分析：可以通過(guò)錯(cuò)位相減的方法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題解：(1)當(dāng) x=0 時(shí)，Sn=0.1(2) 當(dāng) x=1 時(shí)，S=2+3+4+(n+1)=n(n+3).2(3) 當(dāng) x z 1 時(shí)，S=2x2+3x3+4x4+(n+1)x n+1345n+1n+2廠(chǎng)、xSn=2x+3x+4x + +nx +(n+1)x一得：(1 x) S=2x2+x3+

12、x4+ n+1x (n+1)x3 “ n+22 X (1=2x +1n 1 X )X(n+1)X n+2u 2x2 Sn=3 X(n 2)xn 2(1 x)2(nn 31)x又當(dāng)X=1時(shí)，Sn=0適合】n(n2 s=22x23)(X1)3 X(n 2)xn2(nn 31)X(X1)(1 x)2例9 (1)國(guó)家汽車(chē)產(chǎn)業(yè)振興規(guī)劃的政策極大地刺激了小排量汽車(chē)的銷(xiāo)售，據(jù)分析預(yù)測(cè)，某地今年小排量Z型車(chē)每月的銷(xiāo)量將以 10%勺增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，小排量R型車(chē)的銷(xiāo)量每月遞增 20輛，已知該地今年1月份 銷(xiāo)售Z型車(chē)和R型車(chē)均為60輛，據(jù)此推測(cè)，該地今年這兩款車(chē)的銷(xiāo)售總量能否超過(guò)3000輛？(參考數(shù)據(jù)：1.1 =3.1

13、)解：設(shè)該地今年第 n月Z型車(chē)和R型車(chē)的銷(xiāo)量分別為 an輛和bn輛.依題意an，bn分別是a1=60, 2011.04.30必修五2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第4頁(yè)共5頁(yè)公比q=1.1的等比數(shù)列，和bi=60,公差d=20的等差數(shù)列，設(shè) an的前n項(xiàng)和為S, S121260(1.1 1)1.1 112600(1.1 1) 12602040 , S12 T1233000bn的的前 n 項(xiàng)和為 Tn,260 1212(121)2綜上所述：可推測(cè)該地區(qū)今年這兩款車(chē)的總銷(xiāo)量能超過(guò)3000輛(2) 一個(gè)球應(yīng)從100米高處自由下落，每次著地后又跳回到原高度的一半落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng) 過(guò)了多少米？an，再結(jié)合數(shù)列相關(guān)性質(zhì)解題。思維分析：數(shù)列建模過(guò)程中，關(guān)鍵是建立遞推關(guān)系式，然而求出解：球第一次著地時(shí)經(jīng)過(guò)了 100米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過(guò)了 2 100 100米2因此球第十次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)的路程為10