隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差

1、第9講 隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差教學(xué)目的：1.掌握隨機變量的數(shù)學(xué)期望及方差的定義。2.熟練能計算隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差。教學(xué)重點：1隨機變量的數(shù)學(xué)期望For personal use only in study and research; not for commercial use2隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4方差的定義For personal use only in study and research; not for commercial use5方差的性質(zhì)教學(xué)難點：數(shù)學(xué)期望與方差的統(tǒng)計意義。教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時。For personal use only in study

2、and research; not for commercial use教學(xué)過程：第三章 隨機變量的數(shù)字特征§3.1 數(shù)學(xué)期望For personal use only in study and research; not for commercial use在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的，而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了。因此，在對隨機變量的研究中，確定其某些數(shù)字特征是重要的，而在這些數(shù)字特征中，最常用的

3、是隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差。1離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望 我們來看一個問題：某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察。車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機變量，如何定義X取值的平均值呢？若統(tǒng)計100天，32天沒有出廢品，30天每天出一件廢品，17天每天出兩件廢品，21天每天出三件廢品。這樣可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個數(shù)能作為X取值的平均值嗎？可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27。對于一個隨機變量X，若它全部可能取的值是， 相應(yīng)的概率為 ，則對X作一系列觀察(試驗)所得X的試

4、驗值的平均值是隨機的。但是，如果試驗次數(shù)很大，出現(xiàn)的頻率會接近于，于是試驗值的平均值應(yīng)接近由此引入離散隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義。 定義1 設(shè)X是離散隨機變量，它的概率函數(shù)是 如果 收斂，定義X的數(shù)學(xué)期望為也就是說,離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和。例1 某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門。若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)試開次數(shù)為X，則， 于是2. 連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望為了引入連續(xù)隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義，我們設(shè)X是連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)為，把區(qū)間分成若干個長度非常小的小區(qū)間，考慮隨機變量X

5、落在任意小區(qū)間內(nèi)的概率，則有=由于區(qū)間的長度非常小，隨機變量X在內(nèi)的全部取值都可近似為，而取值的概率可近似為。參照離散隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義，我們可以引入連續(xù)隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義。定義2 設(shè)X是連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)為。如果收斂，定義連續(xù)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為也就是說,連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分。由連續(xù)隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義不難計算：若，即X服從上的均勻分布,則若X服從參數(shù)為若X服從3.隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，而是X的某個函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說的數(shù)學(xué)期望，應(yīng)該如何計算呢？這就是隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望計算問題。一

6、種方法是，因為也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來。一旦我們知道了的分布，就可以按照數(shù)學(xué)期望的定義把計算出來，使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)的分布，一般是比較復(fù)雜的。那么是否可以不先求的分布，而只根據(jù)X的分布求得呢？答案是肯定的，其基本公式如下：設(shè)X是一個隨機變量，則當(dāng)X是離散時, X的概率函數(shù)為；當(dāng)X是連續(xù)時，X的密度函數(shù)為。該公式的重要性在于，當(dāng)我們求Eg(X)時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了，這給求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來很大方便。4.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C 。（2）若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X)。（3

7、）。推廣到n個隨機變量有。（4）設(shè)X、Y相互獨立，則有 E(XY)=E(X)E(Y)。推廣到n個隨機變量有 5.數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例2 求二項分布的數(shù)學(xué)期望。解 若 ，則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù)，現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望。若設(shè) i=1,2，n則，因為 ，所以，則可見，服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機變量X的數(shù)學(xué)期望是np 。需要指出，不是所有的隨機變量都存在數(shù)學(xué)期望。例3 設(shè)隨機變量X服從柯西分布,概率密度為 求數(shù)學(xué)期望。解 依數(shù)學(xué)期望的計算公式有 因為廣義積分不收斂，所以數(shù)學(xué)期望不存在。§3.2 方差前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是

8、隨機變量一個重要的數(shù)字特征。但是在一些場合下，僅僅知道隨機變量取值的平均值是不夠的，還需要知道隨機變量取值在其平均值附近的離散程度，這就是我們要學(xué)習(xí)的方差的概念。1. 方差的定義 定義3 設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望存在，若存在，則稱 (3.1)為隨機變量X的方差，記作，即。方差的算術(shù)平方根稱為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作，即由于與X具有相同的度量單位，故在實際問題中經(jīng)常使用。方差刻畫了隨機變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度，若X的取值相對于其數(shù)學(xué)期望比較集中，則其方差較??；若X的取值相對于其數(shù)學(xué)期望比較分散，則方差較大。若方差=0，則隨機變量X 以概率1取常數(shù)值。由定義1知，方差是隨機變量X的函數(shù)的數(shù)

9、學(xué)期望，故當(dāng)X離散時, X的概率函數(shù)為；當(dāng)X連續(xù)時，X的密度函數(shù)為。計算方差的一個簡單公式： 證 請用此公式計算常見分布的方差。例4 設(shè)隨機變量X服從幾何分布，概率函數(shù)為, k=1,2,n其中0<p<1，求。解 記q =1-p +E(X)2. 方差的性質(zhì)（1）設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0。（2）若C是常數(shù),則。（3）若與 獨立，則 。證 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及求方差的公式得 可推廣為：若,，相互獨立，則（4） D(X)=0 P(X= C)=1， 這里C =E(X)。請同學(xué)們思考當(dāng)與不相互獨立時， 下面我們用例題說明方差性質(zhì)的應(yīng)用。例5 二項分布的方差。解 設(shè), 則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù)。若設(shè) i=1,2，n則是n次試驗中“成功”的次數(shù)，故 ， 由于相互獨立，于是= np(1- p)。例6 設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，,則標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量 證明 ,。 證 由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知 僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zweck