拋物線專題復習講義及練習

1、拋物線專題復習講義及練習知識梳理1.拋物線的標準方程、類型及其幾何性質 ()：標準方程圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點 （0，0）離心率2.拋物線的焦半徑、焦點弦的焦半徑;的焦半徑； 過焦點的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長度為2p. AB為拋物線的焦點弦，則 ，=重難點突破重點:掌握拋物線的定義和標準方程，會運用定義和會求拋物線的標準方程，能通過方程研究拋物線的幾何性質難點: 與焦點有關的計算與論證重難點:圍繞焦半徑、焦點弦，運用數(shù)形結合和代數(shù)方法研究拋物線的性質1.要有用定義的意識問題1：拋物線y=4上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是( ) A. B. C. D. 0點撥：拋物

2、線的標準方程為，準線方程為,由定義知，點M到準線的距離為1，所以點M的縱坐標是2.求標準方程要注意焦點位置和開口方向問題2：頂點在原點、焦點在坐標軸上且經(jīng)過點（3，2）的拋物線的條數(shù)有 點撥：拋物線的類型一共有4種，經(jīng)過第一象限的拋物線有2種，故滿足條件的拋物線有2條3.研究幾何性質，要具備數(shù)形結合思想，“兩條腿走路”問題3：證明：以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切點撥：設為拋物線的焦點弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，點分別是點在準線上的射影，弦的中點為M，則，點M到準線的距離為，以拋物線焦點弦為直徑的圓總與拋物線的準線相切熱點考點題型探析考點1 拋物線的定義題型 利用定義,實現(xiàn)拋物線上的點到焦

3、點的距離與到準線的距離之間的轉換例1 已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和的最小值為 【解題思路】將點P到焦點的距離轉化為點P到準線的距離解析過點P作準線的垂線交準線于點R，由拋物線的定義知，當P點為拋物線與垂線的交點時，取得最小值，最小值為點Q到準線的距離 ,因準線方程為x=-1,故最小值為3【名師指引】靈活利用拋物線的定義，就是實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的轉換，一般來說,用定義問題都與焦半徑問題相關【新題導練】1.已知拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且、成等差數(shù)列， 則有 （）A B C D. 解析C 由拋物線定義，

4、即： 2. 已知點F是拋物線的焦點,M是拋物線上的動點,當最小時,M點坐標是 ( )A. B. C. D. 解析 設M到準線的距離為,則，當最小時，M點坐標是，選C考點2 拋物線的標準方程題型:求拋物線的標準方程例2 求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：(1)過點(-3,2) (2)焦點在直線上【解題思路】以方程的觀點看待問題，并注意開口方向的討論.解析 (1)設所求的拋物線的方程為或, 過點(-3,2) 拋物線方程為或,前者的準線方程是后者的準線方程為 (2)令得，令得， 拋物線的焦點為(4,0)或(0,-2),當焦點為(4,0)時, ，此時拋物線方程;焦點為(0,-

5、2)時 ，此時拋物線方程. 所求拋物線方程為或,對應的準線方程分別是.【名師指引】對開口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導練】3.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合,則的值 解析4. 對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上； 焦點在x軸上；拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5； 由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫合適條件的序號）解析 用排除法，由拋物線方程y2=10x可排除，從而滿足條件.5. 若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與Y軸的交點，A為拋物線上一點,且，求

6、此拋物線的方程解析 設點是點在準線上的射影，則，由勾股定理知，點A的橫坐標為，代入方程得或4，拋物線的方程或考點3 拋物線的幾何性質題型：有關焦半徑和焦點弦的計算與論證例3 設A、B為拋物線上的點,且(O為原點),則直線AB必過的定點坐標為_.【解題思路】由特殊入手，先探求定點位置解析設直線OA方程為,由解出A點坐標為解出B點坐標為，直線AB方程為,令得，直線AB必過的定點【名師指引】（1）由于是填空題，可取兩特殊直線AB, 求交點即可；（2）B點坐標可由A點坐標用換k而得。【新題導練】6. 若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則實數(shù) 解析-17.過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點A、B,若A、B在拋物

7、線準線上的射影為,則 ( ) A. B. C. D. 解析C基礎鞏固訓練1.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于，則這樣的直線（ ）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.1條或2條 D.不存在解析C ，而通徑的長為42.在平面直角坐標系中，若拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為5，則點P的縱坐標為（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用拋物線的定義，點P到準線的距離為5，故點P的縱坐標為43.兩個正數(shù)a、b的等差中項是，一個等比中項是，且則拋物線的焦點坐標為( ) A B C D解析 D. 4. 如果，是拋物線上的點，它們的橫坐標依次為，F(xiàn)是拋

8、物線的焦點，若成等差數(shù)列且，則=（ ）A5 B6 C 7 D9 解析B 根據(jù)拋物線的定義，可知（，2，n），成等差數(shù)列且,=65、拋物線準線為l，l與x軸相交于點E，過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，ABl，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于（ ）A B C D解析 C. 過A作x軸的垂線交x軸于點H，設，則，四邊形ABEF的面積=6、設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為 解析. 過A 作軸于D，令，則即，解得綜合提高訓練7.在拋物線上求一點，使該點到直線的距離為最短，求該點的坐標解析解法1：設拋物線上的點，點到直線的

9、距離，當且僅當時取等號，故所求的點為解法2：當平行于直線且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點為所求，設該直線方程為，代入拋物線方程得，由得，故所求的點為9. 設拋物線（）的焦點為 F，經(jīng)過點 F的直線交拋物線于A、B兩點點 C在拋物線的準線上，且BCX軸證明直線AC經(jīng)過原點O證明:因為拋物線（）的焦點為，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設為，代人拋物線方程得 若記，則是該方程的兩個根，所以因為BCX軸，且點C在準線上，所以點C的坐標為，故直線CO的斜率為即也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O10.橢圓上有一點M（-4，）在拋物線（p>0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點.（1）求

10、橢圓方程；（2）若點N在拋物線上，過N作準線l的垂線，垂足為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）上的點M在拋物線（p>0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點.c=-4，p=8M（-4，）在橢圓上由解得：a=5、b=3橢圓為由p=8得拋物線為 設橢圓焦點為F（4，0），由橢圓定義得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=，即為所求的最小值.參考例題：1、已知拋物線C的一個焦點為F（，0），對應于這個焦點的準線方程為x=-.（1）寫出拋物線C的方程；（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求AOB重心G的軌跡方程；解：（1）拋物線方程為：

11、y2=2x. （4分）（2）當直線不垂直于x軸時，設方程為y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.設A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.設AOB的重心為G（x，y）則，消去k得y2=為所求， （6分）當直線垂直于x軸時，A（，1），B（，-1）， （8分）AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.綜合得，所求的軌跡方程為y2=， （9分）拋物線專題練習一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1如果拋物線y 2=ax的準線是直線x=-1，那么它的焦點坐標為（ ）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1,

12、0）2圓心在拋物線y 2=2x上，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是（ ）Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03拋物線上一點到直線的距離最短的點的坐標是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）4一拋物線形拱橋，當水面離橋頂2m時，水面寬4m，若水面下降1m，則水面寬為（ ）AmB 2mC4.5mD9m5平面內過點A（-2，0），且與直線x=2相切的動圓圓心的軌跡方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，

13、拋物線上點（-5，m）到焦點距離是6，則拋物線的方程是（ ）A y 2=-2xB y 2=-4x C y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x7過拋物線y 2=4x的焦點作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A8B10C6 D48把與拋物線y 2=4x關于原點對稱的曲線按向量a平移，所得的曲線的方程是（ ）ABCD 9過點M（2，4）作與拋物線y 2=8x只有一個公共點的直線l有（ ）A0條B1條C2條D3條10過拋物線y =ax2(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、

14、q，則等于（ ）A2aB C4a D 二、填空題11拋物線y 2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點到AB的距離為 12拋物線y =2x2的一組斜率為k 的平行弦的中點的軌跡方程是 13P是拋物線y 2=4x上一動點，以P為圓心，作與拋物線準線相切的圓，則這個圓一定經(jīng)過一個定點Q，點Q的坐標是 14拋物線的焦點為橢圓的左焦點，頂點在橢圓中心，則拋物線方程為 一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號12345678910答案ADABCBACCC二填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）112 12 13（1，0） 14 三、解答題15已知動圓M與直線y =2相切，

15、且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程 解析：設動圓圓心為M（x，y），半徑為r，則由題意可得M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C（0，-3）為焦點，以y=3為準線的一條拋物線，其方程為16已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M（3，m）到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值（12分）解析：設拋物線方程為，則焦點F（），由題意可得 ，解之得或， 故所求的拋物線方程為，17動直線y =a，與拋物線相交于A點，動點B的坐標是，求線段AB中點M的軌跡的方程(12分)解析：設M的坐標為（x，y），A（，），又B得 消去，得軌跡方程為，即19如圖，直線l1和l2相交于點M，l1l2，點Nl1以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等若AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立適當?shù)淖鴺讼担笄€段C的方程(14分)解析：如圖建立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點由題意可知：曲線C是以點N為焦點，以l2為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點設曲線段C的方程為， 其中分別為A、B的橫坐標， 所以， 由，