小學(xué)奧數(shù)：容斥原理之重疊問(wèn)題(二).專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

1、7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）.題庫(kù)page 5 of 7教師版目眥悵教學(xué)目標(biāo)1 . 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2 .掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.目眥蚱知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問(wèn)題在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)， 不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè) 數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：AUB A B AI B（其中符號(hào)“ U”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“ I ”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思.）則稱(chēng)這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱(chēng)容斥原理.圖示

2、如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AIB,即陰影面積.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AIB,即陰影面積.先包含把多加了 1次的重疊部分 AI B減去.重疊部分AI B計(jì)算了 2次，多加了 1次;2.再排除A B AI B包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A B的并集AUB的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合 A、B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求 A B （意思是把A B的一 切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起 ）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去C AI B （意思是“排除”了重復(fù)

3、計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）.二、三量重疊問(wèn)題A類(lèi)、B類(lèi)與C類(lèi)元素個(gè)數(shù)的總和A類(lèi)元素的個(gè)數(shù) B類(lèi)元素個(gè)數(shù) C類(lèi)元素個(gè)數(shù)既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù) 既是B類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù) 同時(shí)是 A類(lèi)、B類(lèi)、C類(lèi)的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為： AU BUC A B C AIB BIC AIC AI BIC,圖示如下：1 .先包含：重疊部分2.再排除：重疊部分圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).AAIAAIB CB、BI C、C I A重疊了 2次，多加了 1次.B C AI B BI C AI CB I C重疊了 3次，但是在進(jìn)行 ABCAI B BI

4、 C AI C計(jì)算時(shí)都被減掉了.在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.3.再包含：A B C AI B BI C AI C AI B I C .刖1崛 例題精講模塊一、三量重疊問(wèn)題【例1】 一棟居民樓里的住戶每戶都訂了2份不同的報(bào)紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報(bào)紙，其中甲報(bào) 30份，乙報(bào)34份，丙報(bào)40份，那么既訂乙報(bào)又訂 丙報(bào)的有 戶?！究键c(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 總共有（30+34 + 40） 2=52戶居民，訂丙和乙的有 52-30=22戶?！敬鸢浮?2戶【例2】 某班學(xué)生手中分別拿紅、黃

5、、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人,手中有黃旗的共有 26人，手中有藍(lán)旗的共有 18人.其中手中有紅、黃、藍(lán)三種 小旗的有6人.而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有3人，那么這個(gè)班共有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】如圖，用A圓表示手中有紅旗的，B圓表示手中有黃旗的，C圓表示手中有藍(lán)旗的.如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、 黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為：（34 26 18） （9 4 3） 6 2 50

6、（人）.【答案】50人【鞏固】某班有42人，其中26人愛(ài)打籃球，17人愛(ài)打排球，19人愛(ài)踢足球，9人既愛(ài)打 籃球又愛(ài)踢足球，4人既愛(ài)打排球又愛(ài)踢足球，沒(méi)有一個(gè)人三種球都愛(ài)好，也沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)好.問(wèn)：既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的有幾人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星 【題型】解答【解析】由于全班42人沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)好，所以全班至少愛(ài)好一種球的有42人.根據(jù)包含排除法，42 （26 17 19） （9 4既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的人數(shù)）0,得到既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的人數(shù)為：49 42 7（人）.【例3】 四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng).其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人 參加了語(yǔ)文

7、小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的 3. 5倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的 7倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人 數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加白人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有10人.求參加文藝小組的人數(shù).【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】 設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A,參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合B,參加文藝小組的學(xué)生組成集合 G三者都參加的學(xué)生有 z人.有|AU BUC=46,|A=24,|B=20, C =3.5 , AI C =7|AIBIC ,BIC=2|AI BI C| , |AI B| =10.因?yàn)?|AUBUC| |A|B|C|AI

8、 B|AI C| |BI C| |AI BI C|,所以 46=24+20+7x-10-2 x-2x+x,解得 x=3, 即三者的都參加的有 3人.那么參加文藝小組的有 3 7=21人.【答案】21人【鞏固】五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng).其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加 美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組的有9人，語(yǔ)文、美術(shù)、自然 3科興趣小組都參加的有4人.求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù).【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【解析】設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A,參加美術(shù)興趣

9、小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的人組成集合 C.|A=25, IB =35, IC =27, BI C =12, |AI B| =8, AI C =9,| AI BI C| =4.|aubuc| = |a| |b| |c| |ai b| |ai c| |bi c| |ai bi c .所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62 ,而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng).即這個(gè)班有 62人.【答案】62人【鞏固】 光明小學(xué)組織棋類(lèi)比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行，參加圍棋比賽的有42人，參加中國(guó)象棋比賽的有 55人，參加國(guó)際象棋比賽的有 33人，同時(shí)參加了圍

10、棋和中國(guó)象棋比賽的有 18人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的有 10 人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有 5人，問(wèn)參加棋類(lèi)比賽的共有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)包含排除法，先把參加圍棋比賽的42人，參加中國(guó)象棋比賽的 55人與參加國(guó)際象棋比賽的33人加起來(lái)，共是42 55 33 130人.把重復(fù)加一遍同時(shí)參加圍棋 和中國(guó)象棋的18人，同時(shí)參加圍棋和國(guó)際象棋的 10人與同時(shí)參加中國(guó)象棋和國(guó)際 象棋的9人減去，但是，同時(shí)參加了三種棋賽的5人被加了 3次，又被減了 3次，其實(shí)并未計(jì)算在內(nèi)，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上，實(shí)際上參加棋類(lèi)比賽的共有： 13

11、0 (18 10 9) 5 98(人).或者根據(jù)學(xué)過(guò)的公式：AUBUC A B C AIB BIC AI C AI BI C ,參加棋類(lèi)比賽的總?cè)藬?shù)為：42 55 33 18 10 9 5 98(人).【答案】98人【例4】 新年聯(lián)歡會(huì)上，共有 90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出.如果只參 加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參加演奏、跳舞但沒(méi)有參加合唱的人多4人；50人沒(méi)有參加演奏；10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒(méi)有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒(méi)有參加跳舞的有 人.【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星

12、【題型】填空【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【解析】設(shè)只參加合唱的有x人，那么只參加跳舞的人數(shù)為 3x,由50人沒(méi)有參加演奏、10 人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒(méi)有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為50 10 40人，即x 3x 40,得x 10,所以只參加合唱的有10人，那么只 參加跳舞的人數(shù)為 30人，又由“同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人”，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有 3人，所以參加了合唱的人中“同時(shí)參加了演奏、合 唱但沒(méi)有參加跳舞的”有：40 10 10 3 17人.【答案】17人【鞏固】 六年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛(ài)好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng).其中，愛(ài)好 體育的55人，愛(ài)好文藝

13、的56人，愛(ài)好科學(xué)的51人，三項(xiàng)都愛(ài)好的15人，只愛(ài) 好體育和科學(xué)的4人，只愛(ài)好體育和文藝的 17人.問(wèn)：有多少人只愛(ài)好科學(xué)和文 藝兩項(xiàng)？只愛(ài)好體育的有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】只是A類(lèi)和B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)，有別于容斥原理H中的既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元數(shù)個(gè)數(shù).依題意，畫(huà)圖如下.設(shè)只愛(ài)好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)的有x人.由容斥原理，列方程得 55 56 51 (17 15) (4 15) (x 15) 15 100即 55 56 51 17 4 x 15 2 100111 x 100x 11只愛(ài)好體育的有：55 17 15 4 19(人).【答案】11人只愛(ài)好科學(xué)和文藝，19人只

14、愛(ài)好體育?！纠?】 在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，10個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中6個(gè)人帶了漢堡，6個(gè)人帶了雞腿，4個(gè)人帶了芝士蛋糕，有 3個(gè)人既帶了漢堡又帶了 雞腿，1個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕.2個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕.問(wèn): 三種都帶了的有幾人？ 只帶了一種的有幾個(gè)？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【解析】如圖，用A圓表示帶漢堡的人， B圓表示帶雞腿的人， C圓表示帶芝士蛋糕的人.根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)(帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)帶芝士蛋糕的人數(shù))(帶漢堡、雞腿的人數(shù) 帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù))三種都帶了的人數(shù)，即10 (6 6 4) (3 2 1)三種都帶了的人數(shù)，得三

15、種都帶了的人數(shù)為：10 10 0（人）. 求只帶一種的人數(shù)，只需從 10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即 10 （3 2 1） 4（人）.只 帶了一種的有4人.【答案】（1） 0人，（2） 4人【鞏固】盛夏的一天，有10個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂(lè)、雪碧、橙汁的各有 5人；可樂(lè)、雪碧都要的有 3人；可樂(lè)、橙汁都要的有 2人; 雪碧、橙汁都要的有 2人；三樣都要的只有 1人，證明其中一定有1人這三種飲料 都沒(méi)有要.【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)（要可樂(lè)的人數(shù) 要雪碧的人數(shù)要橙汁白人數(shù)）（要可樂(lè)、雪碧的

16、人數(shù)要可樂(lè)、橙汁的人數(shù)要雪碧、橙汁的人數(shù)） 三種都要的人數(shù)，即至少要了 一種飲料的人數(shù)為： （5 5 5） （3 2 2） 1 9（人）.10 9 1（人），所以其中有1人這三種飲料都沒(méi) 有要.【例6】 全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車(chē)，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn) 動(dòng)項(xiàng)目沒(méi)有人全會(huì)，至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不 是優(yōu)秀.若全班有 6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，那么， 數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？ 有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】 有6個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：25 6 19（人），即最多不會(huì)超過(guò)19人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.而

17、又因?yàn)闆](méi)人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有： （17 13 8） 2 19（人）至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.于是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只 能是19人，而這19人又不是優(yōu)秀，說(shuō)明全班25人中除了 19人外，剩下的6名不及 格，所以沒(méi)有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的.上面分析可知，及格的19人中，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：會(huì)騎車(chē)的一定有一部分會(huì)游泳，一 部分會(huì)滑冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車(chē)就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車(chē)就一 定會(huì)游泳，但既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車(chē).所以，全班有19 17 2（人）既會(huì)游泳又會(huì)滑冰.【答案】（1） 0人，（2） 2人【鞏固】 五年級(jí)一班共有 36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有A、B

18、、C、D、E五個(gè)小組，若參加 A組的有15人，參加B組的人數(shù)僅次于 A組，參加C組、D組的人 數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少，只有 4人.那么，參加 B組的有 人.【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】 參加B, C, D三組的總?cè)藬?shù)是36 15 4 17（人），C, D每組至少5人，當(dāng)C, D每組6人時(shí)，B組為5人，不符合題意，所以參加 B組的有17 5 5 7（人）.【答案】7人【例7】 五一班有28位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、自然課外小組中的一個(gè).其中僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒(méi)有同學(xué)僅參加語(yǔ)文或僅參加自然小組，恰有 6個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)與自然小組但不

19、參加語(yǔ)文小組，僅參 加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)是 3個(gè)小組全參加的人數(shù)的 5倍，并且知道3個(gè)小組全 參加的人數(shù)是一個(gè)不為 0的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的人有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】 參加3個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為 0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于 4,那么僅參加語(yǔ) 文與自然小組的人數(shù)則大于等于20,而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6個(gè)，這樣至少應(yīng)有30人，與題意矛盾，所以參加3個(gè)小組的人數(shù)為 2.僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)為10,于是僅參加語(yǔ)文與自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3個(gè)小組的人數(shù)一共是18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文以及僅參加數(shù)學(xué)的. 由于這兩 個(gè)人數(shù)

20、相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的有 5人.【答案】5人 【例8】 在一個(gè)自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數(shù)比只摘李子的人數(shù)多 3個(gè)；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒(méi)有摘李子者多4人；50個(gè)人沒(méi)有摘草莓；11個(gè)人摘了山莓和李子但沒(méi)有摘草莓；總共有60人摘了李子.如果參與采摘水果的總?cè)藬?shù)是 100,你能回答下列問(wèn)題嗎？有人摘了山莓；Z有_人同時(shí)摘了三種水果；有人只摘了山莓；有人摘了李子和草莓，而沒(méi)后摘山莓;有人只摘J草售.7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）.題庫(kù)教師版page 9 of 7【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【解析】如圖，根據(jù)題意有A 2cG

21、 C 3B E 4A D C 50D 11C D F G 60A B E 40代入求解：A 26, B 9, C 13, D 11, E 5, F 20 , G 16所以有 A D E G 26 11 5 16 58（人）摘了山莓；有16人同時(shí)摘了三種水果；有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而沒(méi)有摘山莓；有9人只摘了草莓.【答案】有58（人）摘了山莓；有16人同時(shí)摘了三種水果；有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而沒(méi)有摘山莓;有9人只摘了草莓.【例9】 某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競(jìng)技比賽，比賽一共只有三個(gè)項(xiàng)目，已知參加長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分別為10、15、20人，

22、長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星 【題型】解答【解析】由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有 2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有 3人參加其 它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有 4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為 x,只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y,只參加標(biāo)槍和跳高的有 z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組： 由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有 4人還參加別的項(xiàng)目， 假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的 人數(shù)為x,只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y,只參加標(biāo)槍和跳高的有 z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組：x y n 2x z n 3z y n 4將3條等式相加則有 2 (x+y+z) +3n=9,由這個(gè)等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，