高級中學(xué)函數(shù)圖像全集匯總

1、指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù) y=aAx （a>0,且aw 1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù) 的定義域是Ro注意：L指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：.（I）定義域：R位點（。）即A“H J皮 （1）Zi R匕足增函數(shù)（4）6- R工是減函數(shù)規(guī)律：1.當(dāng)兩個指數(shù)函數(shù)中的 a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關(guān)于 y軸對稱、但這 兩個函數(shù)都不具有奇偶性。-4 -3 -2 I 23 42 .當(dāng)a>1時，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在 y軸的右側(cè)，圖像越靠近 y軸；當(dāng)0vav1時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，

2、圖像越靠近 y軸。在y軸右邊 底大圖高”；在y軸左邊 底大圖低”。Ox3 .四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a> 1時，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0vav1時, 圖像在R上是減函數(shù)。4 .指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較募式大小的方法：1 .當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2 .當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時要注意 分類討論；3 .當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，則需要引入中間量進(jìn)行比較；4 .對多個數(shù)進(jìn)行比較，可用 0或1作為中間量進(jìn)行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。在f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。對數(shù)函數(shù)

3、1 .對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-8, +8)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù) y=ax(a>0, aw 1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為y=log ax(a >0, aw 1).因為指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域為(-00, +oo),值域為(0, +oo),所以對數(shù)函數(shù) y=logax的 定義域為(0, +00),值域為(-OO, +OO).2 .對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0, aw 1)的性質(zhì)，我們在同一直角

4、坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log 2x, y=log 例，y=log 10x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草圖210由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0, awi)的圖像的特征和性質(zhì).見下表.圖象a> 1a< 1X=1K-io*ry I&gax (Oa<l)1 磨。)*性 質(zhì)(1)x >0(2)當(dāng) x=1 時，y=0(3)當(dāng) x>1 時，y>00<x<1 時，y<0(3)當(dāng) x>1 時，y<00<x<1 時，y>0(4)在(0, +8)上是增函

5、數(shù)(4)在(0, +8)上是減函數(shù)補(bǔ) 充性 質(zhì)設(shè) y1=logax y2=logbx 其中 a> 1, b> 1(或 0vav1 0vbv1)當(dāng)x>1時“底大圖低”即若a> b則y>y2當(dāng)0vxv 1時“底大圖圖”即若a>b,則yo>y2比較對數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類討論.(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助 1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)

6、函數(shù)一式y(tǒng)=ax(a>0, aw 1)y=log ax(a > 0, aw 1)定義域(-OO, +oo)(0, +00)值域(0, +8)(-OO, +OO)當(dāng)a>1時，當(dāng)a> 1時函的1( x 0)0(x 1)值ax 1( x 0)10g a x 0(x 1)變1(x 0)0(x 1)化當(dāng)0vav1時，當(dāng)0v av 1時，情1(x 0)0(x 1)況xa 1(x 0)10g a x 0(x 1)1(x 0)0(x 1)單調(diào)性當(dāng)a>1時，ax是增函數(shù)；當(dāng)a> 1時，logax是增函數(shù)；當(dāng)0vav1時，ax是減函數(shù).當(dāng)0vav 1時，logax是減函數(shù).圖像

7、y=ax的圖像與y=logax的圖像關(guān)于直線y=x對稱.號函數(shù)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)哥函數(shù)y xn隨著n的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分1 1類記憶的萬法.熟練掌握 y x ,當(dāng)n 2, 1, 一，一，3的圖像和性質(zhì)，列表如下.2 3從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點1,1 ,除原點外，任何幕函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何幕函數(shù)圖像都不過第四象限.小 11 a -,一,1, 2,3時，哥函數(shù)圖像過原點且在0,上是增函數(shù).3 2小1 一a -, 1, 2時，哥函數(shù)圖像不過原點且在0, 上是減函數(shù).2任何兩個幕函數(shù)最多有三個公共點.y xn奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)! 

8、7; 1TRgT _,T j. /；：,-31,產(chǎn)，. r1咨 1D5 l定義域RRR1#* ' F：J奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增減 性在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞減哥函數(shù)y x （X R,是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是：所有備函數(shù)y X （ x R,是常數(shù)）的圖像都過點（1,1） ;當(dāng) 2時函數(shù)y x的圖像都過原點（0,0）；當(dāng) 1時，y x的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如c2）；當(dāng)2,3時，y x的的圖像在第一象限是“ 凹型”曲線（如Cl）1當(dāng) 2時，y x的的圖像在第一象限是“ 凸型”曲

9、線（如c3）當(dāng) 1時，y x的的圖像不過原點（0，0）,且在第一象限是“下滑”曲線（如c4）當(dāng) 0時，哥函數(shù)y x有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點（0,0）,（1,1）;（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)，1時，圖象是向下凸的；01時，圖象是向上凸的；（4）在A象限內(nèi)，過點 （1,1）后, 圖象向右上方無限伸展。當(dāng) 0時，哥函數(shù)y x有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點（1,1）;（2）在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；（3）在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無限地接近；向右無限地與 X軸無限地接近；（4）在A象限內(nèi)，過點 ）后， 越大，圖象下落的速度越快。無論 取任何實數(shù)，幕函數(shù)y x

10、的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限對號函數(shù)0,+ 8）的圖象似符號“一b函數(shù)y ax （a>o,b>0）叫做對號函數(shù)，因其在（ x而得名，利用對號函數(shù)的圖象及均值不等式,當(dāng)x>0時，ax2、b （當(dāng)且僅當(dāng)ax . a時取等號），由此可得函數(shù)y ,abax 一 x(a>0,b>0,x C R+)的性質(zhì)：bi一皿一時，函數(shù)yabb ax (a>0,b>0,xC R )有取小值 21一,特別地，當(dāng) a=b=1b ）上是減函數(shù)，在區(qū)間（ ab時函數(shù)有最小值2。函數(shù)y ax - （a>0,b>0）在區(qū)間（0,x+ °°

11、）上是增函數(shù)。bb因為函數(shù)y ax (a>0,b>0)是奇函數(shù)，所以可得函數(shù) y ax (a>0,b>0,x e R-) xx的性質(zhì)：- b . bb 當(dāng)x 時，函數(shù)y ax (a>0,b>0,x C R )有取大值-2y ,特別地，當(dāng)a=b=1 :axa時函數(shù)有最大值-2。函數(shù)y ax (a>0,b>0)在區(qū)間(-°°, -、口)上是增函數(shù)，在區(qū)x' ab 間(-I一 , 0)上是減函 a奇函數(shù)和偶函數(shù)(1)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f( x)= (x).那么就稱f(x)為奇函數(shù).如果對于函數(shù)

12、f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x值，者B有f(-x)=f(x),那么就稱f(x)為偶函數(shù).說明：(1)由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，只有當(dāng)f(x)的定義域是關(guān)于原點成對稱的若干區(qū)間 時，才有可能是奇(2)判斷是不是奇函數(shù)或偶函數(shù)，不能輕率從事，例如判斷f(x)是不易的.為了便于判斷有時可采取如下辦法：計算f(x)+f( -x),視其結(jié)果而說明是否是奇函數(shù).用這個方法判斷此函數(shù)較為方便：f(x)(3)判斷函數(shù)的奇偶性時，還應(yīng)注意是否對定義域內(nèi)的任何x值，當(dāng)xW0時，顯然有f( x)= f(x),但當(dāng)x=0時，f(x)=f(x)=1 ,，f(x)為非奇非偶函數(shù).(4)奇函數(shù)的圖象特征是關(guān)于坐標(biāo)原點為對

13、稱的中心對稱圖形；偶函數(shù)的圖象特征是關(guān)于y軸為對稱軸的對稱圖形.(5)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用時，尤其要注意由它們的定義出發(fā)來進(jìn)行論證.例 如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在(0, +8)上是增函數(shù)，試判斷在( 8, 0)上的增減性.解設(shè) x1, x2 (-°°, 0),且 x1 V x2 V 0則有x1 >- x2>0,f(x)在(0, +8)上是增函數(shù)，.f(-x1)>f(-x2)又 f(x)是奇函數(shù)，f(x)= - f(x)對任意x成立，=f(x1) >- f(x2) .f(x1)<f(x2).f(x)在( 8, 0)上也為增函數(shù).由此

14、可得出結(jié)論：一個奇函數(shù)若在(0, +8)上是增函數(shù)，則在( 8, 0)上也必是增函數(shù)， 即奇函數(shù)在(0, +8)上與( 8, 0)上的奇偶性相同.類似地可以證明，偶函數(shù)在(0, +8)和( 8, 0)上的奇偶性恰好相反.時，f(x)的解析式解x< 0,- x>0.又f(x)是奇函數(shù)，f( x尸一f(x).偶函數(shù)圖象對稱性的拓廣與應(yīng)用我們知道，如果對于函數(shù)y = f(x)定義域內(nèi)任意一個X,都有 f( x)=f(x),那么函數(shù)y = f(x)就叫做偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān) 于y軸對稱，反之亦真.由此可拓廣如下：如果存在常數(shù)a, b,對于函數(shù)y = f(x)定義域內(nèi)任意一個x, a+x,

15、 b-x 仍在定義域丸且3 40他-班 那么函藪V = E的圖象關(guān)于直卷對稱鼻(這 樣的函數(shù)我們不妨稱之為廣義偶函數(shù))反之亦真.京+ k證明設(shè)Pg EW)是函數(shù)圖象上任一點，則它關(guān)于直線黑=一的對稱點為F(a+b-x , f(x),而 f(a +b x)=fa +(bx) =fb (b - x) =f(x),對稱點 P'(a+b-x ,f)仍在函數(shù)的圖象上，所以函數(shù)y二期)的圖象關(guān)于直線乂二土箸對稱.11反之，如符二電)的圖象關(guān)于直線戈二審對稱，設(shè)川+航通+瑞為圖象上 禽|l任一點，則它關(guān)于直縹=一的對禰點為Pfb 宜，因此，£(a+ = £(bX).以上拓廣簡記為：f(a +啰=f(b-啰O函數(shù)y =