2018年高考全國一卷理科數學答案及解析

1、2018 年普通高等學招生全國統一考試（全國一卷）理科數學參考答案與解析一、選擇題：本題有12 小題，每小題5 分，共 60 分。1、設z=，則 |z|=A、 0B、C、 1D、【答案】C【解析】由題可得z （- i ） 2i i ，所以 |z|=1【考點定位】復數2、已知集合A=x|x 2-x-2>0 ，則A=A、 x|-1<x<2B、 x|-1 x 2C、 x|x<-1 x|x>2D、 x|x-1 x|x2【答案】B【解析】由題可得CRA=x|x 2-x-2 0，所以 x|-1 x 2【考點定位】集合3、某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實

2、現翻番，為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是：A、新農村建設后，種植收入減少。B、新農村建設后，其他收入增加了一倍以上。C、新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍。D、新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半。【解析】由題可得新農村建設后，種植收入37%*200%=74%>60， %【考點定位】簡單統計4、記Sn為等差數列an的前n 項和，若3S3=S2+S4， a1=2，則a5=A、 -12B、 -10C、 10D、 12【答案】B【解析】3*（a1+a1+d+a1+2d）=（

3、a1+a1+d） （a1+a1+d+a1+2d+a1+3d） ，整理得:2d+3a1=0 ; d=-3 a5=2+（5-1）*（-3）=-10【考點定位】等差數列求和5、設函數f （ x） =x3+（a-1）x 2+ax，若f （ x）為奇函數，則曲線y=f （ x）在點（0， 0）處的切線方程為：A、 y=-2xB、 y=-xC、 y=2xD、 y=x【答案】D【解析】f（ x）為奇函數，有f（ x） +f（ -x） =0整理得 :f （ x） +f （ -x ） =2*（a-1）x 2=0 a=1f （ x） =x3+x求導 f （ x） =3x2+1f （ 0 ） =1 所以選 D【考點

4、定位】函數性質：奇偶性；函數的導數6、在ABC中，AD為 BC邊上的中線，E 為 AD的中點，則=A、A11AD為 BC邊上的中線AD= AB AC22111E 為 AD的中點AE= AD AB AC2441131EB=AB-AE= AB -（ABAC）AB AC44447、某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖，圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為11A，圓柱表面上的點N 在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到的路徑中，最短路徑的長度為1【解析】將圓柱體的側面從A點展開：注意到B點在 圓周處。4AAB最短路徑的長度為AB= 22 + 42:圓柱體的展開圖形，最短路徑8. 設

5、拋物線C： y2=4x 的焦點為F，過點(-2 ， 0)且斜率為的直線與C交于M， N兩點，則·=A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】拋物線C： y2=4x 的焦點為F(1,0)2直線MN的方程: y ( x2)3消去 x 整理得：y2-6y+8=0 y=2 或 y=4M、 N 的坐標(1， 2) ， ( 4， 4)則·=(0,2) · (3,4)=0*3+2*4=8【考點定位】拋物線焦點向量的數量積如果消去，計算量會比較大一些，您不妨試試。9. 已知函數f(x)=g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2 個零點，則a 的取值范圍是A. -1， 0)B.

6、 0 ， +)C. -1 ， +)D. 1 ， +)【答案】C【解析】根據題意：f(x)+x+a=0 有兩個解。令M(x)=-a,?+ ? ? 0N(x)=f(x)+x = ?+?+? ?> 00?+ 1 > 0? 0分段求導：N (x)=f(x)+x = 1說明分段是增函數?？紤]極限位置，圖形如下：+ 1 > 0?> 0M(x)=-a 在區(qū)間 (- ，+1上有 2個交點。 a 的取值范圍是C. -1 ， +)【考點定位】分段函數、函數的導數、分離參數法10. 下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為。直角三角形ABC的斜

7、邊BC，直角邊AB， AC. ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為。在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1， p2， p3，則A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3A整個區(qū)域的面積：S 1+S半圓BC=S 半圓AB+S半圓AC+S ABC根據勾股定理，容易推出S 半圓BC=S 半圓AB+S 半圓AC S1=S ABC故選A【考點定位】古典概率、不規(guī)則圖形面積11. 已知雙曲線C：漸近線的交點分別為A.B.3-y 2=1， O為坐標原點，F 為 C的右焦點，過F的直線與C的兩條M， N. 若OMN為直角三角形，則MN =C.D.4

8、【答案】B【解析】右焦點 ,OF= 3 + 1=2，漸近線方程y=± 3xNOF= MOF =30°3在 Rt OMF中，OM=OF*co s MOF=2*cos=3°0在 Rt OMN中，MN=O?Mtan ?=? 3*tan(30【考點定位】雙曲線漸近線、焦點概念清晰了，秒殺！ 有時簡單的 “解三角”計算量很大。3°+ 30°)=3也行， 甚至雙曲線都不用畫出來。如果用解方程，12. 已知正方體的棱長為1 ，每條棱所在直線與平面 所成的角都相等，則 截此正方體所得截面面積的最大值為A.C.D.【答案】A【解析】GH=22如圖平面 截正方體所

9、得截面為正六邊形，此時，截面面積最大，其中邊長截面面積S=6× 3 ×（2） 2=42截面3ABD交集為3， AC交集為34，選A二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13. 若 x， y 滿足約束條件則 z=3x+2y 的最大值為【答案】6z=3x+2y 經過點（2， 0）時，Zmax=3*2+0=6n 項和 . 若 Sn=2an+1，則S6=.14. 記 Sn為數列an的前【答案】-63S1=2a1+1=a1 a1 =-1n>1 時，Sn=2an +1， Sn-1 =2an-1 +1 兩式相減：Sn-S n-1 =an=2an-2a n-1 an

10、=2an-1an=a1× 2n-1= ( -1 )×2n-1S6=( -1 )×( 2 -1 ) =-6315. 從 2 位女生，4 位男生中選3 人參加科技比賽，且至少有1 位女生入選，則不同的選法共有種 . （用數字填寫答案）【答案】16C21C42 + C22C14=2× 6+1× 4=16【考點定位】排列組合16. 已知函數f（ x） =2sinx+sin2x ，則f（ x）的最小值是.【答案】- 32 3 f( x) =2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)考慮到 f （ x）為奇函數，可以

11、求f （ x）最大值. 將 f（ x）平方：f2( x) =4sin 2x(1+cosx) 2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3 (4/3) × ( ( 3-3cosx )4 464 27+ 3(1+cosx)/4 )= 3 × ( 4 ) = 4當 3-3cosx=1+cosx 即 cosx = 12時，f2（ x）取最大值f（ x） min= 2【考點定位】三角函數的極值，基本不等式的應用【其他解法】：求導數解答f（ x） =2sinx（1+cosx） 看成單位圓中一個三角形面積求解。. 解答題：共 70 分。 解答應寫出

12、文字說明、證明過程或演算步驟。第 17 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據要求作答。60 分。17. （ 12分）AB=2， BD=5.在平面四邊形ABCD中，ADC=90°，A=45°，1）求cos ADB；2）若DC= ，求 BC.（ 1 ）在ABD中，由正弦定理得BDABsin ? sin ?2sin ADB=ABsin ADB/BD=5ADB<90°cos ?=?1 - 225= 2532（2）由題設及（1 ）可知cos BDC=s in AD=B5在BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD&#

13、215; DC× cos BDC2=25+8-2× 5×× 2=255BC=518. （ 12 分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E， F 分別為AD， BC的中點，以DF為折痕把 ?DFC折起，使點C到達點P的位置，且 PF BF.（ 1）證明：平面PEF平面ABFD；（ 2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.【答案】【解析】 （ 1 ）由已知可得PF BF ， BF EF BF平面PEF又 BF在平面ABFD上平面PEF平面ABFD（2）PH EF，垂足為H，由（1 ）可得，PH平面ABFD DP與平面ABFD所成角就是PDH.CD2=PD2=DH

14、2 +PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+（ EF-HF） 2 +PH2CF2=PF2=HF2+PH2設正方形ABCD的邊長為 2. 上面兩個等式即是：22=12+（ 2-HF） 2+PH212=HF2+PH2解方程得HF=1 PH= 32233在 Rt PHD中 ,sin PDH=PH/PD=/2= .【考點定位】立體幾何點、直線、面的關系19、 （ 12分）設橢圓C：+y2=1 的右焦點為F， 過 F 的直線 l 與 C交于A， B兩點，點 M的坐標為（2， 0） .（ 1）當l 與 x 軸垂直時，求直線AM的方程；（ 2）設O為坐標原點，證明：OMA= OMB.【答案】【解析】 （

15、1 ）由已知可得F（ 1， 0） ，直線 l 的方程為x=1由已知可得,點 A的坐標為（1， 22）或（1， 22）直線AM的方程為y= 2 x+ 2或 y= 2 x 2（2）當 l 與 x 軸重合，. OMA= OM=B00當 l 與 x軸垂直，OM 為 AB的垂直平分線，所以 OMA= OMB當 l 與 x軸不重合且不垂直，設直線l 的方程為y=k（x-1） （k 0）點 A（x1,y1）,B（x2,y2） ， x1<2,X2<2,則直線MA、 MB 的斜率之和?1?2?(?1?- 1) ?(?2?- 1) 2?1?2?- 3?1+ ?2? +4?KMA+KMB=?1- 2+?

16、2- 2= ?1?- 2 + ?2- 2 =(?1- 2)( ?2- 2)將 y=k(x-1) 代入橢圓C的方程得：( 2k2+1) x2-4k2x+(2k 2-2)=04?22?2- 2x1 +x2=2?2+1,x 1x2=2?2+14?3- 4?-12?3+8 ?3+4 ?2?1?2 - 3?1 + ?2 + 4?=2= 02?2+1從而KMA +KMB=0MA、 MB 的傾斜角互補， OMA= OMB綜上所述，OMA = OMB【考點定位】圓錐曲線20、 （ 12 分）某工廠的某、種、 產品成箱包裝，每箱 200 件， 每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合

17、格品，檢驗時，先從這箱產品中任取20 件產品作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品做檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為P（ 0<P<1） ，且各件產品是否為不合格品相互獨立。（ 1 ）記 20 件產品中恰有2 件不合格品的概率為f（ P） ， f（ P）求f（ P）的最大值點。（ 2）現對一箱產品檢驗了20 件，結果恰有2 件不合格品，以（1 ）中確定的作為 P 的值， 已知每件產品的檢驗費用為2 元， 若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付 25 元的賠償費用。（ i ） 若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX：（ i

18、i ） 以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？【答案】【解析】 （ 1） f（P）=C220P2（1-P）18=811C220（9P）2（1-P）18811C220×（9P?2+（210-P）?18） 20=811C220×1902019 ×9 18當 9P=1-P，即f（ P）的最大值點P0=0.1.f（ 0.1 ） =191×9019（2）令 Y表示余下的180 件產品中不合格品件數，依題意可知Y-B（180,0.1）,X=20*2+25Y=40+25Y EX=E（40+25Y）=40+25EY=490（ii）如

19、果開箱檢驗，檢驗費=200*2=400 元EX>400,應該對這箱余下的所有產品作檢驗。、數學期望【考點定位】隨機變量及分布：二項分布最值（基本不等式）21、 （ 12 分）已知函數.（ 1 ）討論的單調性；（ 2）若存在兩個極值點, 證明：.【答案】【解析】 （ 1 ） f（ x）的定義域為（0， +）1? ?2-?+1（ x）=- ?2 - 1 + ? -?22 =a -4（i） 若 a 2, 則 f （x）0，當且僅當a=2,x=1 時 f （x）=0，f（x）在（0，+）單調遞減。?± ?2- 4?=2?- ? 2- 4 x(0，?- ?2? - 4)(?+ ?2- 4

20、+）時，f ( x) <0x(?- ?2- 42?+ ?2- 42)時，f( x) >0（1） 若 a>2, 令 f （ x） =0得到，?- ?2- 4?+ ?2- 4?- ?2- 4 ?+ ?2- 4f(x)在x(0，?- ?2?-4) ,(?+ ?2?-4，+) 單調遞減,在(?- ?2?-4,?+?2?- 4)單調遞增。(2)由 (1)可得f(x)存在2 個極值點當且僅當a>2由于f(x)的極值點x1,x2 滿足 x2-ax+1=0 所以 x1x2=1 不妨設x1<x2,則x2>1 由于f x1 - f(x2 )x1 - x2?1?-? ?2?1?-

21、? ?2?- 2?2?- 1 + ?= - 2 + ?= - 2 + ?x1x2 -x1 - x2 -x1 - x2 -1/x2 - x2在直角坐標系xOy中，曲線C?的方程為y=k x +2. 以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C?的極坐標方程為p2+2p-3=0.（ 1） 求C?的直角坐標方程:（ 2） 若C?與C?有且僅有三個公共點，求C?的方程.【答案】【解析】 （ 1 ）由x=cos ,y=sin 得到C?的直角坐標方程：x2+y2 +2x-3=0即 （x+1） 2+y2=4（2）由（1）可知C2是圓心為A（ -1,0） ，半徑為2 的圓。由題設可知，C1 是過點B（ 0， 2）且關于Y軸對稱的兩條射線，且?+? 2 ?> 0 C1： =1-?+ 2? 0顯然， K=0時， C1與C2相切，只有一個交點。K>0 時，C1 與C2沒有交點。 C1 與 C2有且僅有三個交點，則必須滿足K<0且 y=kx+2（x&g