博弈分析及其應用

1、博弈分析及其應用1引言在社會生活和經(jīng)濟、軍事活動中,經(jīng)常碰到各種各樣具有競爭或利益相對抗的現(xiàn)象,如下棋、打撲克、為爭奪市場展開的廣告戰(zhàn)、軍事斗爭中雙方兵力的對壘等,競爭的各方總是希望擊敗對手,取得盡可能好的結果,都想用自己最好的戰(zhàn)術去取勝,這就是博弈現(xiàn)象.博弈現(xiàn)象實際上是一類特殊的決策,在關于不確定型的決策分析中,決策者的對手是“大自然,它對決策者的各種策略不產(chǎn)生反響,更沒有報復行為.但在博弈現(xiàn)象中,代替“大自然的是有理性的人,因而任何一方做出決定時都必須充分考慮其他對手可能作出的反響.博弈論的英文名為GameTheory,又稱對策論,用比擬簡短的話來概括,所謂博弈是指局中人按一定規(guī)那么,在充

2、分考慮其他局中人可能采取的策略的根底上,從自己的策略集中選取相應策略,并從中得到回報的過程.盡管博弈論中研究的問題形形色色,但任何一個博弈問題都包含以下三個要素：1 .局中人(players)是指參與競爭的各方,它可以是一個人,也可以是一個集團,但局中人必須是有決策權的主體,而不是參謀或附屬人員.局中人可以有兩方,也可以有多方.當存在多方的情況下,局中人之間可以有結盟和不結盟之分.2 .策略(strategies)是指局中人所擁有的對付其他局中人的手段、方案的集合.在靜態(tài)博弈中,策略必須是一個獨立的完整的行動,而不能是假設干相關行動中的某一步.例如一次乒乓球男子團體比賽中,包括兩名單打和一對雙

3、打選手出場,比賽前提交的名單除規(guī)定出場球員姓名之外,兩名單打還必須明確誰是第一單打,誰是第二單打,這樣不同單打和雙打隊員的出場搭配以及兩名單打隊員的不同排序構成了不同的策略.相應每個局中人的策略選擇形成的策略組稱為一個局勢.3 .收益函數(shù)(payofffunction)指一局博弈后各局中人的輸贏得失,通常用正的數(shù)字表示局中人的贏得,負的數(shù)字表示局中人的損失.博弈論研究決策主體的行為在發(fā)生直接相互作用時,人們如何進行決策以及這種決策的均衡問題.博弈論是研究理性的決策之間沖突與合作的理論.在博弈論分析中,一定場合中的每個對弈者在決定采取何種行動時都策略地、有目的地行事,他考慮到他的決策行為對其他人

4、的可能影響,以及其他人的行為對他的可能影響,通過選擇最正確行動方案,來尋求收益或效用的最大化.由于在現(xiàn)實生活中人們的利益沖突與一致具有普遍性,因此,幾乎所有的決策問題都可以認為是博弈.博弈論在政治學、軍事學、生物進化學、心理學、社會學、倫理學、經(jīng)濟學等許多領域都有著廣泛的應用.在經(jīng)濟學中博弈論作為一種重要的分析方法已滲透到幾乎所有的領域,每一領域的最新進展都應用了博弈論,博弈論已經(jīng)成為主流經(jīng)濟學的一局部,對經(jīng)濟學理論與方法正產(chǎn)生越來越重要的影響.正由于如此,1994年瑞典皇家科學院決定將諾貝爾經(jīng)濟學獎授予了納什(JohnNash)、哈薩尼(JohnSanyi)和澤爾騰(ReinhardSelt

5、en)三位博弈理論家和經(jīng)濟學家,表彰他們在博弈論理論和應用研究方面作出的杰出奉獻.目前博弈論在定價、招投標、談判、拍賣、委托代理以及很多重要的經(jīng)營決策中得到應用,它已成為現(xiàn)代經(jīng)濟學的重要根底.博弈中有關局中人的策略集、收益函數(shù)等構成了博弈的信息.按局中人對信息掌握情況,可區(qū)分為完全信息博弈和不完全信息博弈.按局中人采取行動的次序,當同時采取行動或在互相保密情況下采取行動,稱這種情況為靜態(tài)博弈.如果局中人采取行動有先后,后采取行動的人可以觀察到前面人采取的行動,那么屬于動態(tài)博弈.綜合上述,博弈可分為完全信息靜態(tài)博弈,完全信息動態(tài)博弈,不完全信息靜態(tài)博弈和不完全信息動態(tài)博弈.當然按局中人是否結盟情

6、況,博弈還可區(qū)分為合作博弈和非合作博弈.合作博弈是一種解決多利益主體協(xié)調行動產(chǎn)生效益分配問題的有效數(shù)學模型.合作是指參與者從自己的利益出發(fā),選擇行動,但選擇行動的結果對各方都有利.合作博弈研究的問題就是要找到一種效益分配方式,能促使所有利益主體合作.基于合作博弈理論的收益分配是希望通過聯(lián)合從事某項活動,使每個人的收益比單獨從事這項活動或作小范圍聯(lián)合時的收益多.當代世界,合作與競爭共存成為時代的主題,而企業(yè)間各種形式的合作聯(lián)盟更成為當今經(jīng)濟界競爭的熱點模式.組成合作聯(lián)盟進行合作創(chuàng)新已經(jīng)成為越來越多企業(yè)的選擇.在社會活動中的假設干實體,為了在日益劇烈的競爭中爭得一席之地,也為了獲得更多的經(jīng)濟或社會

7、效益,相互合作結成聯(lián)盟或集團.這種合作通常是為了利益,是非對抗性的,確定合理分配這些效益的最正確方案是促成合作的前提.2多人合作博弈概念在日常生活及社會經(jīng)濟活動中,一個人或集團為了克服自身弱點如力量或財力有限,尋求與他人集團進行合作,結成一個聯(lián)盟,以完成單個人或集團所不能完成的事,這就是多人合作博弈.該聯(lián)盟一旦形成,就作為一個整體共同采取行動,其目標是使聯(lián)盟獲得最大利益.一旦博弈完畢,可以根據(jù)某種事先商定的契約以及各個局中人本身的奉獻大小,分配共同所得的利益.聯(lián)盟的數(shù)學定義是：設有n個局中人N=1,2,n進行博弈,所謂一個聯(lián)盟就是N的一個非空子集S.為方便起見,有時稱空集.也是一個聯(lián)盟.n個局

8、中人共能形成2n個聯(lián)盟.一旦聯(lián)盟S形成,組成聯(lián)盟S的局中人不再關心自己的特殊利益,而為整個聯(lián)盟的最大利益去努力.因此,他們主要關心聯(lián)盟S所能獲得的最大值.所有聯(lián)盟S所獲得的最大值都確定以后,整個博弈就完全清楚.這樣的博弈可以用特征函數(shù)加以描述：定義1口給定N=12,nA合作n人博弈記為=h,v】,N上的特征函數(shù)v是定義在2'上的實值函數(shù),滿足：V=0,vSUTvS+vTST=0,S,TuN.1對于一個聯(lián)盟S,vS的值可以通過以下方式獲得：S中局中人形成聯(lián)盟為使S獲得最大利益而努力,這時最糟的情況是剩下的所有局中人N-S形成一個聯(lián)盟和S抗衡,這樣可看成是兩個局中人S與N-S在進行非合作博

9、弈,vS就是在上述兩人非合作博弈中,S所獲得的最大收入.對于合作博弈,局中人之間可以相互協(xié)商,共同采取使全體都有利的策略,如果某些局中人對采取某些特定策略不滿意,可以事先訂立契約,等博弈完了以后再進行補償,以便大家共同采取的策略使聯(lián)盟總體的利益到達最大.因此,博弈完畢后,如何分配共同形成的總體聯(lián)盟N所得的收入v(N墩是合用博弈研究的主要任務.v(S)的一種分配方案由n維向量X=x1,x2,xj表示,為表示局中人i的所得.顯然,對每一個局中人i來說,它至少期望得到的為滿足：xi之v(i)iwN.(2)(2)稱為個體合理性條件；還有一個必須滿足的條件是：nZxi=v(N)(3)i4(3)稱為群體合

10、理性條件.(2)、(3)合到一起就得到一種分配方案.當所有n個局中人均參與合作時,N="2,n為最大的一個聯(lián)盟,記v(N)為最大的聯(lián)盟成果,如何將v(N9配給各局中人？一個很自然的方法就是依據(jù)各局中人給聯(lián)盟帶來的奉獻來分配.設X為第i個局中人從v(N)中獲得的分配,i=1,2,n那么有：x1=v(1),x2=岫2%v(1),x3=v(l,2,3)v(a2),)xn=vN)-vN'n.然而上述的分配通常與局中人編號的次序有關,如把局中人n,n-1,2,1的編號改為1：2：,n',那么有新的分配方案：x=v小),x2=v'n,n-1J-v'n；1x3=v&

11、#39;-n,n-1,n-2；)v'-n,n-1；),)xn=vN)-vN-1.對于局中人其它編號的次序均有對應的分配方案,由于n個局中人編號的次序共有n!種,所以對應的分配方案也有n!種.為此取各局中人分配的平均值作為局中人的平均奉獻.記中i(v必第i個局中人的平均奉獻,那么有：R(v)=1£V(S；Ui)_v(S：小=1,2,n.(4)n!二其中n為由1,2,n組成的所有n級排列,£為針對所有的n!個不同n級排列求和,S'=j|nj<,顯然S：為排列打中排在i之前的那些局中人組成的聯(lián)盟,將滿足S；=S排列歸為一類,(4)式可以表示為：nS!S-1!

12、*(v)=ZV(S)v(SGRi=1,2,n,(5)i.Sn!其中S為N中包含V的所有子集,S為子集S中局中人的人數(shù).可以證實：n£*(v)=v(N)(6)i1(6)式說明各局中人在聯(lián)盟中的平均奉獻Q(v)之和等于聯(lián)盟的總“成果.定義23標中(v)=(%(v嚴2(v),(v)為合作n人博弈的Shapley彳直.在多人合作博弈中,利用Shapley值法解決分配問題是一種比擬公正、合理且行之有效的方法.本文的目的是探討Shapley值法在利益分配問題,費用分攤問題,及如何確定組合預測權系數(shù)中的應用.下面就通過實例來說明Shapley值法在這些方面的具體應用.3利益分配問題隨著科學技術進步

13、和信息技術的迅速開展,世界市場已由過去的相對穩(wěn)定變成動態(tài)多變的特征,由過去的局部競爭演變成全球范圍的競爭.在此情景下,以最快的速度推出產(chǎn)品、以最好的質量、最低的本錢和最優(yōu)的效勞滿足不同用戶的需求成為每個企業(yè)認真解決的問題.于是越來越多的企業(yè)紛紛尋找合作伙伴,結成聯(lián)盟,利用各方優(yōu)勢以更好地適應快速變化的市場要求.各企業(yè)結成聯(lián)盟后獲得了更大的收益,如何利用Shapley值把聯(lián)盟的整體收益合理地分配給各個企業(yè),下面給出一實例.設現(xiàn)有三家企業(yè)A、B、C為了抓住某一市場機遇,決定實施聯(lián)盟生產(chǎn)某種新產(chǎn)品投入市場,聯(lián)盟成功后將獲得一批可觀的收益,現(xiàn)如何用Shapley值分配這一聯(lián)盟收益.讓我們先看在特定場合

14、單家企業(yè)生產(chǎn)或兩家聯(lián)盟生產(chǎn)以及三家聯(lián)盟生產(chǎn)的收益情況(見表1).表1聯(lián)盟博弈收益表單位：萬元企業(yè)收益A120B80C40A+B(A、B企業(yè)聯(lián)盟)240A+C(A、C企業(yè)聯(lián)盟)280B+C(B、C企業(yè)聯(lián)盟)200A+B+C(A、B、C企業(yè)聯(lián)盟)480由表中可以看出,兩家聯(lián)盟比單家生產(chǎn)合算,三家聯(lián)盟比兩家聯(lián)盟合算,按Shapley值法計算：.120240-80280-40480-200cp(A=+*'*'+=200,312313c80240-120200-40480-280一八:B=140,312313.c40280-120200-80480-240一八中(C)=+-'+=

15、140.3123134費用分攤問題在我國區(qū)域經(jīng)濟中中小型制造企業(yè)數(shù)量很大,行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟有利于企業(yè)抵御風險、降低本錢、提升市場競爭力.行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟中企業(yè)協(xié)作的形式有多種,基于行業(yè)信息網(wǎng)絡的行業(yè)聯(lián)合采購是聯(lián)盟企業(yè)協(xié)作的重要手段之一.在聯(lián)合采購中,各采購企業(yè)通過合作使得在滿足各自采購目標時的采購總費用(YH、于各采購企業(yè)單獨采貝時的采購總費用(X),每個采購企業(yè)都希望自身分配的收益越大越好,分攤的聯(lián)合采購本錢費用越少越好.下面就用Shapley值法對聯(lián)合采購費用進行合理分攤計算.先給出一些符號定義：C(S)：聯(lián)盟S的總采購費用；M=11,2,m：'：企業(yè)采購物資的集合；y=(y1,yn戶

16、RN卻：其中RN股是聯(lián)盟N購置的所有物資的集合,yi=(yi1,yim戶RM,其中y0是企業(yè)i購置物資j的數(shù)量,iwn,jwm；Pj(y)：購置第j種物資,數(shù)量為y時的價格；fi(k)：企業(yè)i采購物資k次時的交易費用,fS(k)為聯(lián)盟S聯(lián)合采購k次的交易費用.物資采購中,采購費用包括采購的交易費用和采購物資的實際費用兩局部.采購的交易費用是指一次物資采購中,采購主體(單個企業(yè)或行業(yè)采購中央)發(fā)布消息、組織招投標等進行輔助交易的費用,而采購物資的實際費用是指采購物資的實際數(shù)量和實際采購價格之積.行業(yè)聯(lián)合采購中,聯(lián)盟S的采購總費用為：mC(S)=fS&S)+£pj(ySjkySj

17、.(7)j1對所有白聯(lián)盟S都算出C(S),就得到行業(yè)聯(lián)合采購的一個n人合作博弈(N,C).Shapley值法的行業(yè)聯(lián)合采購的費用分攤計算公式為：Ui=£(n-S|)(S|-1)C(sjc(s_ij(8)sn!s.二N(8)式中Ui表示企業(yè)i聯(lián)合采購時的分攤采購費用,C(S-?)表示企業(yè)i沒有參加聯(lián)盟S時的采購費用,C(S)-C(S-)】表示企業(yè)的邊際費用(也稱可別離費用),即企業(yè)i參加到聯(lián)盟S中至少應承當?shù)馁M用(最小分攤費用).下面舉一實例說明Shapley值法在行業(yè)聯(lián)合采購中的費用分攤計算.某行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟中有四家企業(yè)擬聯(lián)合采購兩類物資,假定企業(yè)單獨均能采購這兩類物資并可任意結盟進

18、行聯(lián)合采購.描述如下：N=1,2,3,4：局中人為四家企業(yè)；M=A,B：有兩類采購物資；P(N?。篜(N)=1,2M3M4,1,2M1,3M1,4t2,3M2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,234H1,2,3,4.對每一個聯(lián)盟SwP(N),其采購費用函數(shù)C(S)可由(7)式算出.在本實例中,不失一般性,假定企業(yè)單獨采購或聯(lián)盟聯(lián)合采購均能一次采購完所需物資,并且四個企業(yè)單獨采購的交易費用均相等,即：f1(1)=f2(1)=f3(1)=f4(1)=2000元.(9)而所有聯(lián)盟的采購費用也相等,即：fS(1)=3000元,SwP(N阻|S>1.(10)在本實例中,不失一般性,價格函數(shù)pj

19、(y)假定為購置數(shù)量的線性函數(shù),其表達式為：Pjmax,yyjminPj(y)=bj-ajy,yjmin<y<yjmax.(11)、Pjmin,yyjmax式中,Pjmax和Pjmin分別是第j種物資在最小購置量(yjmin懷口最大購置量Ojmax)時的最高、最低價格.本實例中,設PAmax,PAmin,yAmax,yAmin分別為90元、60元、160單位和40單位,PBmax,PBmin,yBmax,yBmin分別為100元、60元、150單位和50單位.因此可分別算出物資A、B的價格函數(shù):因此可算出所有聯(lián)盟SwPN期采購費用如表2所示.表2各種聯(lián)盟采購物資數(shù)量單位及采購費用元

20、表盟S類別口、1儲口1,2七,31,4匕,3物資A5030103080608040物資B8030205011010013050價格A87.590909080858090價格B88100100100768068100費用CS1341577004900970017760161001824011600續(xù)表2各種聯(lián)盟采購物資數(shù)量單位及采購費用元表界盟S類別、,、2,43,41,2,31,2,41,3,42,3,41,234物資A6040901109070120物資B8070130160150100180價格A859077.572.577.582.570價格B88926860608060費用CS1514

21、0130401881520575189751677522200利用Shapley值法計算公式8求行業(yè)聯(lián)合采購的費用分攤,得:90,Pa(y)=?100-%460,y<4040<y<160,y.160100,Pby=120-Ln60,y.502y5,50:二y<150y.150(12)一1341511760-770016100-4900r(18240-9700U1二一44318815-1160020575-1514018975-1304022200-16775434二8742.08同理可得,U2=4837.08,U3=2743.75,U4=5877.09.由此可以看出,對

22、聯(lián)盟奉獻少采購物資少的企業(yè)分攤的采購費用相對較少,將獲得更多收益,因此是一種根據(jù)企業(yè)對聯(lián)盟奉獻大小來分攤費用的方法.5組合預測權系數(shù)確實定預測是根據(jù)以往及現(xiàn)在的信息,采取一定的方法或技術,對事物的未來開展趨勢和結果進行估計或推測.組合預測就是綜合利用各種預測方法所提供的信息,以適當?shù)募訖嗥骄问降贸鼋M合預測模型.組合預測最關心的問題就是如何求出加權平均系數(shù),使得組合預測模型更加有效地提升預測精度.設某社會經(jīng)濟現(xiàn)象的指標序列的觀察值為xt|t=1,2,M,設有n個單項預測方法對其進行預測,n個單預測方法用N=1,2,n表示,那么N為組合預測方法的局中人集合.N中的任一子集Sw2'形成組合

23、預測方法的一個聯(lián)盟,假設干個局中人結成聯(lián)盟后,這個聯(lián)盟作為一個整體進行組合預測就是希望盡可能多的降低組合預測誤差,本文采用誤差平方和這個指標來反映預測精度.設Xit為第t時刻的預測值,記e=%-%為第i種預測方法在第t時刻的預測誤差,i=1,2,n,t=1,2,M.設Xt=l1Xit+l?X2t+lnXnt為Xt的組合預測值,li,l2,ln為各種預測方法的加權n系數(shù),且滿足£li=i,li至0,i=1,2,n.設et為第t時刻組合預測誤差,那么有：i1nnet=XtXt=Eli(xtXit)=工liej(13)I 4i1組合預測模型的誤差平方和為：MMnnJ(N)=2et2=Z1t

24、Zlilje©.(14)II tmimjm記E=(£eitejt),L二儲(,lnT,1T=(1,1,11M,稱矩陣E為組合預測模,t1mm型的誤差信息矩陣,稱L為組合預測模型加權系數(shù)向量,那么以組合預測誤差平方和的非負權最優(yōu)組合預測模型可寫為：-l-minJN=LTEL7TL=1(15)L>0令v(S)=-J(S),v(S)為特征函數(shù),J(S演示聯(lián)盟S進行組合預測所得的預測誤差平方和,v(S)表示J(S沖目反數(shù).由于預測誤差平方和越大,預測精度越低,所以VS颼大,說明預測精度越高.由Shapley值即可1t算第i種單項預測方法同聯(lián)盟合作的平均奉獻*(v),考慮到v(

25、N)為誤差平方和的負值,需將*(v版如下歸一化處理可得組合預測的加權系數(shù)1i,12,ln：liZ辿NJ,i=1,2,n.(16)jJjvn顯然它們滿足£li=i,li至0,i=1,2,n.i1組合預測權系數(shù)確定的合作博弈方法計算步驟：1根據(jù)組合預測誤差信息矩陣對角線上的元素,采用某種正權組合方法,如方差倒數(shù)加權法,均方差倒數(shù)加權法等給出初始的組合預測權系數(shù)的估計.2根據(jù)14式計算各種聯(lián)盟合作的特征函數(shù).3根據(jù)5式計算各種預測方法的所獲得的平均分配,即Shapley值.4根據(jù)16式對各種單項預測方法的所獲得的平均分配做歸一化處理即得組合預測權系數(shù).下面用一實例來說明.設某組合預測問題有N=七,2,3三種單項預測方法組合而成.其預測誤差的信息矩陣為：835E=©L=344：546_其中01,32,43分別是1,2,3這三種單項預測方法的預測誤差平方和.本例采用方差倒數(shù)加權法,其一般計算公式為：eii|en,e22,ein.17所以根據(jù)17式1,2,3這三種單項預測方法在組合預測中的加權系數(shù)