數學選修1-2課標解讀

1、數學選修12課標解讀2.1統計案例1.知識內容的整體定位本部分內容是學生在初中階段和高中數學必修課程已學習統計的基礎上，通過對典型案例的討論，了解和使用一些常用的統計方法，進一步體會運用統計方法解決實際問題，認識統計方法在決策中的作用。本部分內容的課程標準要求都是了解，因此教學中要注意難度的把握，宜采用案例教學的方式。本部分的內容公式多，但重點應放在通過統計案例，讓學生了解回歸分析和獨立性檢驗的基本思想及其初步應用，對于其理論基礎不做要求，避免學生單純記憶和機械套用公式。教學中，應鼓勵學生經歷數據處理的過程，培養(yǎng)他們對數據的直觀感覺，認識統計方法的特點(如統計推斷可能犯錯誤，估計結果的隨機性)

2、，體會統計方法應用的廣泛性。應盡量給學生提供一定的實踐活動機會，可結合數學建模的活動，選擇一個案例，要求學生親自實踐。教學中，應鼓勵學生使用計算器、計算機等現代技術手段來處理數據，有條件的學校還可運用一些常見的統計軟件解決實際問題。在統計案例中，還應介紹所學統計方法在社會生活中的廣泛應用，以豐富學生對數學文化價值的認識。2.課程標準的要求北京市的要求：通過典型案例，學習下列一些常見的統計方法，并能初步應用這些方法解決一些實際問題。（1）通過對典型案例 (如“肺癌與吸煙有關嗎” 等)的探究，了解獨立性檢驗 (只要求2×2列聯表) 的基本思想、方法及初步應用。（2）通過對典型案例(如“人

3、的體重與身高的關系”等)的探究，了解回歸的基本思想、方法及其初步應用。課標的要求：通過典型案例，學習下列一些常見的統計方法，并能初步應用這些方法解決一些實際問題。（1）通過對典型案例 (如“肺癌與吸煙有關嗎” 等)的探究，了解獨立性檢驗 (只要求2×2列聯表) 的基本思想、方法及初步應用。（2）通過對典型案例 (如“質量控制” “新藥是否有效”)的探究，了解實際推斷原理和假設檢驗的基本思想、方法及初步應用。（3）通過對典型案例(如“昆蟲分類”等)的探究，了解聚類分析的基本思想、方法及其初步應用。（4）通過對典型案例(如“人的體重與身高的關系”等)的探究，進一步了解回歸的基本思想、方法

4、及其初步應用。注意兩種要求的區(qū)別3.課程標準要求的具體化和深廣度分析（1）通過對典型案例 (如“肺癌與吸煙有關嗎？” 等)的探究，了解獨立性檢驗 (只要求2×2列聯表) 的基本思想、方法及初步應用的意義。通過典型案例“肺癌與吸煙有關”的探究1）認識分類變量。通過案例學習，認識性別、商品、吸煙、肺癌等都是分類變量。性別變量取男、女兩個值，吸煙變量可取吸煙、不吸煙兩個值，商品可以取一級、二級、三級等。2）根據問題會列獨立分類變量（只要求）的列表。3）根據列聯表，會用三維柱形圖或二維條形圖粗略判斷兩個分類變量是否有關系。4）會根據列聯表數據計算的觀測值，并根據觀測值查表確定在多大程度上可以

5、認為兩個分類變量有關系。5）理解獨立性檢驗的基本思想：要確認“兩個分類變量有關系”成立的可信程度，首先假設該結論不成立，即假設結論“兩個分類變量沒有關系”成立。在該假設下構造的隨機變量應該很小，如果由觀測數據計算得到的的觀測值很大，則在一定程度上說明假設不合理，根據隨機變量的含義，可以通過概率的值查表評價該假設不合理的程度。6）能用獨立性檢驗的基本思想、方法解決一些實際問題。在統計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關系的一種統計方法。課標明確規(guī)定“只要求”學生學習、了解列聯表的獨立性檢驗的基本思想、方法及其初步應用。實際解決問題時，可以用三維柱形圖或二維條形圖進行粗略判斷。用三維柱形圖，

6、如果底面主對角線上兩個柱體高度的乘積與副對角線上兩個柱體高度的乘積不等，那么可以在某種程度上認為兩個分類變量有關。但是，只憑列聯表的數據和圖形下結論不夠確切，原因是列聯表中的數據是樣本數據，它只是總體的代表，具有隨機性。用列聯表檢驗的方法確定的結論，更能夠確切判斷在多大程度上適用于整體。運用獨立性檢驗的基本思想、方法解決實際問題得出的結論往往是有條件的，不能不顧條件，擴大適用范圍。（2）通過對典型案例(如“人的體重與身高的關系”等)的探究，了解回歸的基本思想、方法及其初步應用的意義。1）能夠根據問題給出的數據確定解釋變量和預報變量。2）能根據問題給出的數據畫出散點圖，并能根據散點圖判斷解釋變量

7、和預報變量線性相關還是非線性相關。3）根據散點分布情況，會確定回歸模型的類型。如果散點圖中的點分布在一條直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來建模；如果散點圖中的點分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，要對變量做適當的變換，再選用線性回歸模型來建模。4）能夠由問題給出的數據或問題轉化得到的數據求出回歸方程。5）會對模型擬合效果作殘差分析，會分析不同模型擬合效果。6）會用回歸的基本思想、方法解決一些實際問題。應用回歸模型解決實際問題進行預報時應注意模型的適用范圍。這一點是十分重要的，否則可能會出現嚴重的錯誤，或是十分可笑的結果。具體說應該注意以下四個方面：樣本數據是來自哪個總體的，預報時也僅適合這個總體。模

8、型的時效性，利用不同時間段的樣本數據建立的模型，只能用來對那個時間范圍的數據進行預報。建立模型時自變量的取值范圍決定了預報時模型的適用范圍，通常不能超出太多。在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。4.教學要求統計案例是新增內容，課標只要求通過對典型案例的探究，“了解”幾種統計方法的基本思想、方法及初步應用。我們知道，了解是“對知識的含義有感性、初步的認識，能夠說出這一知識是什么，能夠（或會）在有關的問題中識別它。”因此，統計案例的教學應該注意以下幾點。（1）以典型案例為教學載體，通過對案例的探究，認識統計方法的基本思想、方法，避免為講思想、方法把案例當思想、方法的例題。就是說通過案

9、例提出問題，研究案例尋求解決問題的方法，在探究案例問題的過程中體會統計方法的基本思想與方法，而不是先講一種統計的思想、方法，然后把案例作為應用的例題。（2）在過程中體會思想、方法。研究統計案例，不是為了記住案例或案例的結論。研究案例的目的，就是使學生經歷數據處理的過程，培養(yǎng)學生對數據的直觀感覺，認識統計方法的特點，體會統計方法應用的廣泛性以及對決策的作用；在分析探究案例的過程中體會、感悟案例所使用的統計的思想、方法，注意的問題。因此，統計案例的教學要展現解決問題的全過程，要讓學生積極主動地參與到案例探究的全過程，在過程中體會思想、方法。（3）在實踐活動中或解決實際問題的過程中體會幾種統計方法的

10、基本思想、方法、初步應用。案例介紹的統計方法，學生容易理解掌握，但案例設計的統計方法的基本思想、思想方法，學生不易理解。因此，在教學中，給學生提供一定的實踐活動的機會，結合數學建?；顒樱x擇幾個案例，要求學生親自實踐，在實踐活動過程中體會、感悟統計方法的基本思想、方法、初步應用效果會更好。（4）對于統計案例內容，只要求學生了解幾種統計方法的基本思想基礎及應用，對于其理論不作要求，避免學生單純記憶和機械套用公式進行計算。同時，教學中應鼓勵學生使用計算器、計算機等現代技術手段來處理數據，有條件的學校可運用一些常見的統計軟件解決實際問題。5.重、難點分析重點：建立回歸方程的思想和方法，獨立性檢驗的基

11、本思想。難點：對于回歸方程的理解，獨立性檢驗的思想。重、難點分析：（1）獨立性檢驗的基本思想和方法獨立性檢驗是統計學中檢驗兩個分類變量是否有關系的一種統計方法。要用獨立性檢驗解決實際問題，就必須對獨立性檢驗的基本思想和獨立性檢驗的方法有較深刻的認識。因此，獨立性檢驗的基本思想和方法是案例探究的重點內容。獨立性檢驗的步驟相對固定，但獨立性檢驗的統計思想，即獨立性檢驗的基本思想對學生來說比較難理解，是教學的難點。獨立性檢驗的思想來自于統計上的假設檢驗思想，它與反證法類似。假設檢驗和反證法都是先假設結論不成立，然后根據是否推出“矛盾”來判斷結論是否成立。但二者“矛盾”的含義不同，反證法中的“矛盾”是

12、指不符合邏輯的事實發(fā)生；而假設檢驗中的“矛盾”是指不符合邏輯的小概率事件的發(fā)生，即在結論不成立的假設下推出有利于結論成立的小概率事件的發(fā)生。小概率事件在一次實驗中通常是不會發(fā)生的，若在實際中這個事件發(fā)生了，說明保證這個事件為小概率事件的條件有問題，即結論應該在很大程度上成立。獨立性檢驗的這一基本思想離開具體案例是比較難理解的。（2）判斷刻畫模型擬合效果的方法在數學必修3的統計中，學生已經學習了兩個變量之間的相關關系，包括畫散點圖，求回歸直線方程、利用所求回歸直線方程進行預報等內容。預報結果的含義是什么，如何提高預報結果的精度，服務于我們的決策，這就是回歸分析要做的事情。搞清預報結果的含義就要搞

13、清殘差變量的含義；模型擬合效果越好，相應的分析預報結果的精度就越高。所以判斷刻畫模型擬合效果的方法是教學的重點內容。22推理與證明1.知識內容的整體定位“推理與證明”是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理與演繹推理。合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理）、試驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現結論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到

14、新的結論的推理過程，培養(yǎng)和提高學生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數學課程的重要目標。合情推理和演繹推理之間了解緊密、相輔相成。證明包括邏輯證明和試驗、實踐證明，數學結論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規(guī)則得出結論。在本模塊中，學生將通過對已學過知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的了解與差異；體會數學證明的特點，了解數學證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據的習慣。為了更好地理解整體定位，需要明確以下幾個方面的問題：（1）歸納推理歸

15、納推理是針對一類事物而言的，如圖（1）所示：A和B具有的共同的特性是否可以推廣到整個S？這就是一個從局部到整體的過程。例如，1）在統計學中，由一部分數據的特征數，推測出總體數據的特征數。2）解線性方程組時，由二元線性方程組的解法，推廣到多元線性方程組的解法。3）平面向量推廣到空間向量再推廣到向量空間。（2）類比推理類比推理是針對的兩類事物，如圖（2）所示，在A和B兩類事物中，A類中有性質成立，類中也有性質成立，A類中還有性質成立，那么B類中是否也有性質成立呢？通過兩類事物的類比可以對事物的性質有更深刻的理解，并且可以幫助進行邏輯推理。例如，1）平面幾何與球面幾何的類比。2）指數函數與對數函數的

16、類比。3）等式與不等式的類比。4）有理數與無理數的類比。5）數的運算與符號的運算的類比。6）平面上直角三角形三邊的關系與直三棱錐三個平面的關系的類比。SABqpq?pAB（圖1） （圖2）標準要求學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并經進一步尋求證據、給出證明或舉出反例”。也就是要求學生在獲得數學結論時要經歷合情推理到演繹推理的過程。合情推理的實質是“發(fā)現猜想證明”，因而關注合情推理能力的培養(yǎng)實際上就是希望教師能夠重視數學知識的產生和發(fā)展過程，發(fā)展學生的探究和創(chuàng)新精神。（3）對于“合情推理”和“演繹推理”，要通過具體的實例理解合情推理和演繹推理，不追求對概念的抽象表述。模塊中設置

17、的證明問題應選材于學生已學過的數學實例和生活中實例，了解和情推理的含義體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理，因此，應結合教材提供的具體實例組織教學，補充的實例也應該以“已經學過的數學實例和生活中的實例”為準，對證明的問題的難度也要加以控制。（4）結合已經學過的數學實例，讓學生了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。已知條件新的結論與要證明的結論是否吻合？結束綜合有關的公理、定理和已經得到的結論是否直接證明綜合法直接證明分析法要證明的結論論論得到使上面結果成立的充分條件新結果在已知條件下新結果是否成立？結束結合有關的公理、定理和已經得到的結論是否用新結果替

18、代要證明的結果要證明的結論否定要證明的結論把“否定要證明的結論”作為條件件得出新的結論結合相關的公理、定理或已得到的結論是否與已知條件或公理、定理矛盾結束是否間接證明反證法標準對“了解和情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理；了解直接證明的兩種基本方法和間接證明的一種方法”的要求是階段性要求，“體會并認識合情推理在數學發(fā)現中的作用，感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據的習慣”的要求是終結性要求。2.課程標準的要求（1）合情推理與演繹推理 結合已學過的數學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學發(fā)現中的作

19、用。 結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理。 通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的了解和差異。（2）直接證明與間接證明 結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。 結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點。（3）數學文化 通過對實例的介紹（如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨立宣言、牛頓三定律），體會公理化思想。 介紹計算機在自動推理領域和數學證明中的作用。3.課程標準要求的具體化和深廣度分析（1）如何認

20、識“了解合情推理的含義”對合情推理的含義的認識是指通過具體實例的推理過程的分析、體會、概括出合情推理的描述性定義和常用的歸納和類比的思維方法。例如，歌德巴赫把在數學研究中觀察到的式子在形式上改寫成：，發(fā)現了規(guī)律：偶數=奇質數+奇質數，于是他產生了一個想法：10，20，30，都是偶數，那么其他的偶數是否也有類似的規(guī)律呢？他進行了特例的驗證，概括出特例的規(guī)律特征，提出了猜想：任何一個不小于6的偶數都等于兩個奇質數之和。這個猜想的提出過程就是運用了經歷由部分到整體、由個別到一般的歸納推理過程。又如：在研究球體時，類比圓，發(fā)現球存在一些與圓類似的特征（如都具有完美的對稱性，都是到定點的距離為定長的點集

21、），因此，我們推測對于圓的特征，球也可能具有。如圓有切線推測球有切面等等。這種推理過程是由兩類對象具有的類似特征，由其中一類對象具有的某些已知特征推測另一類對象也具有這些特征，是由特殊到特殊的類比推理過程。（2）如何認識“能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學發(fā)現中的作用”的含義“能利用歸納和類比等進行簡單的推理”是指：對給定的具體問題，能夠通過計算、分析、比較、概括、推廣、歸納、觀察、推測、類比等手段或方法完成簡單的推理。例如：已知數列的第1項，且，試歸納出數列的通項公式?？梢愿鶕阎倪f推公式，算出數列的前幾項，觀察數列的前幾項和序號的關系，找出規(guī)律和共同特點，歸納出數

22、列的通項公式?！绑w會并認識合情推理在數學發(fā)現中的作用”的含義是指體會并認識合情推理具有猜測和發(fā)現新結論，探索和提供解決問題的思路和方法的作用；例如歐拉公式的發(fā)現就是在探求凸多面體的面、頂點、棱之間的數量關系時，運用合情推理發(fā)現的。（3）如何認識“體會演繹推理的重要性”的含義演繹推理是由一般到特殊的推理，“三段論”是演繹推理的一般模式。在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確。能夠運用演繹推理的“三段論”的思維模式證明數學問題，獲得數學結論。例如：證明函數在上是增函數。大前提是增函數的定義，小前提是，滿足增函數的定義，于是根據演繹推理的“三段論”，得在上是增函數。（5）如何認

23、識“了解合情推理和演繹推理之間的了解和差異”的含義歸納與類比是常用的合情推理。從推理形式上看，歸納是由部分到整體、由個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理。從推理所得結論看，合情推理的結論只是猜測，未必可靠，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確。合情推理與演繹推理都是認識世界的過程中需要的重要的思維方式，兩者緊密了解、相輔相成。（6）如何認識“了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點”的含義“了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點”是

24、指通過實例，對已學過的數學知識的證明方法的思考過程與特點進行分析與概括，即：綜合法是“順推法或由因導果法”，分析法是“逆推法或執(zhí)果索因法”。（7）如何認識“了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點”的含義“了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點”是指要明白反證法的適用情形和使用的邏輯規(guī)則，特別是明確應用逆向思維，推出與已知條件或假設或定義、公理、事實等矛盾是反證法的思考過程的特點。（8）如何認識“體會公理化思想”的含義“體會公理化思想”的含義是指通過介紹實例（如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨立宣言、牛頓三定律），使學生了解數學知識的產生和發(fā)展

25、過程，體會公理化思想的發(fā)展及對科學發(fā)現、社會進步的作用，進而發(fā)展學生的探究和創(chuàng)新精神。4.教學要求（1）恰當創(chuàng)設情境，促進學生的自主探索合情推理并非盲目地、漫無邊際地胡亂猜想，它是以數學中某些已知事實為基礎，通過選擇恰當的復習結構材料創(chuàng)設情境，引導學生觀察。體現知識的發(fā)生、發(fā)展過程，促進學生自主探索。并盡量將學生所熟悉的知識，通過歸納、類比的思想，逐步推廣到未知的知識領域。在中學數學的教學實踐中，通過恰當創(chuàng)設情境，引導學生觀察；精心設計實驗，激發(fā)學生思維；仔細設計問題，激發(fā)學生猜想；利用類比探討，加深知識理解；利用數學歸納，鞏固特殊到一般思維；利用演繹證明，揭露蘊涵性質等漸進地培養(yǎng)學生的數學思

26、維意識和合情推理能力。例 類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想。PEFDABC考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直，所以我們選取有三個面兩兩垂直地四面體，作為直角三角形的類比對象。讓學生分析比較：四面體兩邊交成1個直角3個面在一個頂點處構成3個直二面角直角邊面，和的面積和斜邊面的面積推測出結論：再用綜合法證明。體現出由推理到證明探究的完整過程。（2）教學中要讓學生感受探究的過程通過觀察問題和從問題發(fā)現到對問題解決的整個思維過程，讓學生真實地感受到數學的創(chuàng)造過程與任何其他學科的創(chuàng)造過程是一樣的，它同樣需要經歷觀察、試驗、歸納結論，最后再加以嚴格證明的一個完整的歸納推理的思維過

27、程。例如：關于凸多面體的“歐拉公式”的探究思路。（3）重視數學文化，讓學生感受演繹推理，初步體會公理化思想方法中學數學教材基本上是以演繹推理作為主要的推理模式，運用最普遍是“三段論”式的結構，它由兩個前提（分別稱為大前提、小前提）和一個結論構成。大前提是具有一般性的原理，如已知的公理、定理、定義、性質等；小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物，如命題中給出的已知條件；結論是根據兩個前提推出的判斷。其模式為：大前提：M是P小前提：S是M結 論：S是P盡可能地選取原始概念和一組不加證明的原始命題（公理、公設），以此為出發(fā)點，應用演繹推理，推出盡可能多的結論的方法，稱為公理化方法。5.重、難點分析推

28、理與證明貫穿高中數學的整個體系，它的系統學習是新課標教材的一個亮點，是對以前所學知識與方法的總結、歸納，并對后繼學習起到引領作用。合情推理具有猜測和發(fā)現新結論、探索和提供解決問題的思路和方法的作用；演繹推理則具有證明結論，整理和構建知識體系的作用，是公理化體系中的基本推理方法。兩者緊密了解、相輔相成，它們的學習有利于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力，形成和發(fā)展理性思維，使學生體會并認識合情推理在教學發(fā)現中的作用，體會證明的功能和特點及在數學和生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論之有據的習慣。因此準確把握概念，理解和情推理、演繹推理的了解與區(qū)別，理解直接證明與間接證明的方法和步驟是重點。如何通過對

29、命題進行觀察、比較、分析、類比、歸納，運用適當的方法對命題給予證明是難點。2.3數系擴充與復數的引入1.知識內容的整體定位根據課程標準的設計思路，對每一部分都有一個整體定位。為了更好地把握數系的擴充和復數的引入的要求，首先須明確整體定位。標準對這部分的定位如下：“數系擴充的過程體現了數學的發(fā)現和創(chuàng)造過程，同時體現了數學發(fā)生發(fā)展的客觀需求和背景，復數的引入是中學階段數系的又一次擴充。本部分知識的教學，可結合數學文化的學習，進行數系擴充的介紹，使學生感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的了解?！睘榱烁玫乩斫庹w定位，需要明確下面幾方面的問題：（1）“數系的擴充和復數的引入”在情感、態(tài)度、價值觀

30、以及過程與方法的定位上，關注的是以問題為載體，激發(fā)學生對于數系擴充原動力的認識，初步體會數學的文化價值，促進學生科學觀的形成。“數系的擴充和復數的引入”不能認同為“數的發(fā)展史”，二者內容和目標都不同，這一點須教師注意。（2）“數系的擴充和復數的引入”在知識的定位上，限定了這部分內容是復數最為基礎性的知識。對于高中生來說，學習一些復數的基本概念、復數的幾何表示、復數代數形式的四則運算及加減法的幾何意義是十分必要的，可以使高中畢業(yè)生對復數的概念與運算初步地有一個較為完整的認識。（3）“數系的擴充和復數的引入”在技能定位上，值得指出的是對復數概念與運算的教學中，應注意避免繁瑣的計算與技巧的訓練。2.

31、課程標準的要求（1）在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規(guī)則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的了解。（2）理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件。（3）了解復數的代數表示法及其幾何意義。（4）能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加減運算的幾何意義。3.課程標準要求的具體化和深廣度分析（1）如何認識“數系的擴充”的意義一般來說，在中、小學課程中，我們對數系的擴充是不會用代數結構的思想來處理傳統的數學內容的，即把數看作群、環(huán)、域、體等基本結構的具體內容，從結構的觀點介紹它的概念和性質。而是把新元素加到已建立的

32、數系之中，使之擴充為新數系，不追求像科學數系那樣嚴謹，目的是既要考慮學生的可接受性，也不能偏離教學任務的主體，畢竟這部分知識不是在講數學史。（2）如何認識“在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規(guī)則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的了解”的意義例如：從自然數到實數集的擴充，是為了解決人類在生產生活中所遇到的實際問題大多數都與對量的度量問題相關聯而逐漸產生的。從實數集到復數集的擴充，則完全是出于數學本身解方程的需要而產生的。數系擴充的這兩條主線，體現了人類思維在認識數與現實世界的主觀能動性，可以說歷經艱辛、充滿智慧的擴充過

33、程。讓學生感受到對數系每一次擴充，都是因為舊數集與所需解決的問題之間的矛盾引起的，一般采取在原數集中添加新元素的方法使得原數集得到擴充；虛數的引入，產生了虛數，其中蘊涵了創(chuàng)新精神和實踐能力，對培養(yǎng)學生的情感、養(yǎng)成科學的態(tài)度、形成正確的價值觀有積極的意義。（3）如何認識“理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件”的意義“理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件”是指：能描述復數的代數形式，會辨認復數的實部和虛部；初步應用復數的分類，對一個具有代數形式的復數成為實數、虛數、純虛數的判定。初步應用復數相等的充要條件，將復數問題轉化為實數問題。例如：復數的實部和虛部是什么？實數取什么數值時，復數是實數

34、，虛數，純虛數。（4）如何認識“了解復數的代數表示法及其幾何意義”的意義“了解復數的代數表示法及其幾何意義”是指：可以說出復數與復平面內的點以及與復平面內從坐標原點出發(fā)的向量是一一對應的，并會在復平面內畫出它們相應的圖示位置。（5）如何認識“能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加減運算的幾何意義”的意義“能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加減運算的幾何意義”是指：復數的加法、減法、乘法運算，可類比與多項式的運算法則來進行；在實際進行除法運算時，我們不是按照除法的法則來套用公式的，而是通過把復數分母“實數化”再轉化成乘法來完成的。最終運算的結果和法則的結論是一致的，減輕

35、學生的記憶負擔。復數的加減法運算的幾何意義只要求類比向量加、減的運算法則，加法符合平行四邊形法則，減法符合三角形法則。4.教學要求（1）標準與大綱要求的對比教學內容標準目標表述大綱目標表述數系的擴充在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規(guī)則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的了解。了解引入復數的必要性；了解數系從自然數到有理數到實數到復數擴充的基本思想復數理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件。理解復數的有關概念復數的表示法了解復數的代數表示法及其幾何意義。掌握復數代數表示與幾何意義復數的運算能進行復數代數形式的四則運算

36、，了解復數代數形式的加減運算的幾何意義。能進行復數代數形式的加減乘除運算，掌握復數代數形式的運算法則在具體內容的要求上，標準與大綱有明顯的區(qū)別。標準內容這部分是選修內容，對文理科要求相同。大綱要求理科為選修內容，文科不作要求，可見對文科來說是新增內容。大綱與標準要求有差異的內容：大綱要求的“掌握”變?yōu)闃藴省傲私狻钡膬热菔牵簭蛿档拇鷶当硎炯捌鋷缀我饬x；大綱要求的“掌握”變?yōu)闃藴省安蛔饕蟆钡膬热菔牵簭蛿荡鷶敌问降倪\算法則；大綱要求的“不作要求”變?yōu)闃藴省傲私狻钡膬热菔牵簭蛿荡鷶敌问降募?、減運算的幾何意義；大綱要求從泛指“理解”復數的有關概念，到標準特指“理解”的內容是：復數的基本概念以及復數相等

37、的充要條件；大綱與標準要求相同的內容是：了解數系的擴充過程；能進行復數代數形式的四則運算。從知識的要求上來看，標準與大綱有升有降，升少降多，教學中要關注這些變化。（2）教學要求1）基本要求注重知識的發(fā)生、發(fā)展過程我們知道，學生的數學學習，是在教師指導下對數學知識的一種特殊認識過程。這一認識過程也必須遵循從感性認識到理性認識，又從理性認識到實踐的過程，這個過程反映到對具體知識的編排上，那就是要從實際事例的分析中，或者對已有知識的分析、推理中，引入新的概念、原理。特別注意知識的發(fā)生、發(fā)展過程，對概念、法則、公式的處理，不是首先呈現教學活動的結果，而是先從學生已有的知識出發(fā)，通過觀察、比較、分析、抽

38、象、概括，得出結論。突出概念和運算之間的類比本章所介紹的復數內容是學生以前沒有接觸過的全新的內容，但復數的概念是實數概念的擴展，復數的運算遵循實數的運算律和運算順序，為了使學生順利地掌握本章的內容，教學中要突出復數的概念、運算與實數的概念、運算之間的類比，即類比實數的概念和性質講復數的有關概念和性質，類比平面直角坐標系講復平面，類比實數的運算講復數的運算。注意與初、高中數學知識內容的了解這部分知識內容，與初中、高中所學過的平面直角坐標系、一次方程（組）和一元二次方程、平面向量、平面幾何等知識均有密切的了解。教學時，應注意了解有關的知識。重在應用例 求滿足的復數的值。解法1：（化歸思想）設，由原

39、式得： ，由復數除法的定義得到：即 由復數相等的充要條件得： 故所求復數。解法2 （整體思想）由已知得即所以 。2）某些具體內容的教學要求“數系的擴充”和“復數”的教學要突出概念的形成過程例如：“數系的擴充”過程和“復數的基本概念”的形成過程，是本部分所有知識的起點，學生對它理解程度，直接影響學生對這部分知識的后續(xù)學習，所以要引起足夠的重視。教師可以一方面以求方程的根為問題情境載體，讓學生經歷體驗、感知、確信從實數到復數的擴充過程是由數學內部的矛盾，即解方程的需要引起的，同時要遵循熟悉要擴充，必須在原數集中添加新元素的一般規(guī)律；另一方面在復數概念引入時，要分清對是定義的（，并且對實數的加法、乘

40、法的運算律保持不變，可以推出形如這樣的數的存在，再定義它是復數，經過這樣的過程來定義復數，就使得這種定義是合理的。有了這樣的基礎，再定義復數的實部、虛部、兩個復數相等的充要條件、乃至復數的分類就比較自如了。要正確認識復數的實部與虛部例如：對于復數，實部是，虛部是，注意在說虛數時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是，復數的實部和虛部都是實數。說明：對于復數的定義，特別要抓住這一標準形式以及是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。要正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。不能亂用復數相等的條件解題。用復數相等的條件要注意：化為復數的標準形

41、式實部、虛部中的字母為實數。“復數的表示法”的教學在講復數集與復平面內所有點的集合一一對應時，要注意：任何一個復數都可以由一個有序實數對唯一確定。這就是說，復數的實質是有序實數對。復數用復平面內的點表示。復平面內的點的坐標是，而不是，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是。當時，對任何，是虛數，當時，是實數。復數中的，書寫時小寫，復平面內的點的Z，書寫時大寫，要學生注意?！皬蛿档倪\算”教學在復數代數形式的除法運算的關系式：，會給運算帶來方便，運用這些關系就是一種運算技巧。關于共軛復數的概念設，則，即與的實部相等，虛部互為相反數（不能認為與或者與）是共軛復數?？梢韵驅W生介紹復數共軛

42、復數的記成：，但不要求利用進行因式分解。5.重、難點分析復數的概念及其表示方法是全章內容的出發(fā)點，復數代數形式的四則運算法則是中心內容，兩個復數相等的充要條件是實現復數問題向實數問題轉化的重要性質，有許多問題通過此性質加以解決；由此決定了它們是本部分內容的重點。實數集是復數集的真子集，從實數集擴充到復數集后，與代數中的實數運算、多項式、向量運算等有了解也有區(qū)別，它畢竟是一個新的數的概念，因此，復數的概念、復數的幾何表示等概念與以前學過的實數概念中的內容不同，這些內容學生不易接受和掌握；由此決定了它們是本部分內容的難點。2.4框圖1.知識內容的整體定位框圖是表示一個系統各部分和各環(huán)節(jié)之間關系的圖

43、示，它的作用在于能夠清晰地表達比較復雜的系統各部分之間的關系?？驁D已經廣泛應用于算法、計算機程序設計、工序流程的表述、設計方案的比較等方面，也是表示數學計算與證明過程中主要邏輯步驟的工具，并將成為日常生活和各門學科中進行交流的一種常用表達方式。框圖是新增內容，通過框圖的學習過程能夠提高學生的抽象概括能力和邏輯思維能力，能幫助學生清晰地表達和交流思想。尤其對希望在人文、社會科學方面發(fā)展的學生是十分必要的。為了更好的理解整體定位，需要明確以下幾個方面的問題：（1）程序框圖是算法步驟的直觀圖示，在必修3中已經學習過。（2）流程圖可以用于描述工業(yè)生產、建筑施工、工業(yè)計劃等的流程，這種流程圖通常稱為工序

44、流程圖。流程圖一般描述一個過程性的活動，活動的每一個具體步驟構成流程圖的一個基本單元，按時間等順序將基本單元了解起來構成流程圖?；締卧膬热輵鶕嶋H來確定。（3）描述系統結構的圖示結構圖。流程圖描述動態(tài)過程，而結構圖刻畫系統結構，結構圖一般表現為“樹”形（或環(huán)形）結構，其基本要素之間是概念上的從屬關系或邏輯上的先后關系。用結構圖能夠清晰地表達系統的邏輯結構。有時也用它來表示知識的結構。2.課程標準的要求（1）流程圖 通過具體實例，進一步認識程序框圖。 通過具體實例，了解工序流程圖（即統籌圖）。 能繪制簡單實際問題的流程圖，體會流程圖在解決實際問題中的作用。（2）結構圖 通過實例，了解結構圖

45、；運用結構圖梳理已學過的知識、整理收集到的資料信息。 結合做出的結構圖與他人進行交流，體會結構圖在揭示事物了解中的作用?？驁D的教學，應從分析實例入手，結合必修中的算法，引導學生運用框圖表示數學計算與證明過程中的主要思路與步驟、實際問題中的工序流程、某一數學知識系統的結構關系等。使學生在運用框圖的過程中理解流程圖和結構圖的特征，掌握框圖的用法，體驗用框圖表示解決問題過程的優(yōu)越性。3.課程標準要求的具體化和深廣度分析（1）通過具體實例，進一步認識程序框圖。我們已經學習了程序框圖的有關知識，把用自然語言描述的算法轉化為程序框圖，一般需要將算法分解為若干輸入、輸出、條件分支結構、循環(huán)結構等基本步驟，然

46、后根據它們的邏輯關系，用流程線連接起來。例1 畫出用二分法求方程的近似根的程序框圖。分析：可以先用自然語言描述，再逐步“細化”算法步驟，然后畫出相應的程序框圖。解：算法步驟為：第一步 令，誤差為。因為所以設第二步 令，判斷是否為。若是，則為方程的根；若否，則判斷的符號。第三步 若，則令；否則，令。輸入誤差和的初始值第四步 判斷是否成立？若是，則為方程的近似根；若否，則返回到第二步。用程序框圖表示上述算法步驟。“第一步”可細化為：輸出是是否“第二步”“第三步”可以細化一個循環(huán)結構：輸出是否“第四步”可以細化為：通過例1，進一步認識到：程序框圖是算法步驟的直觀圖示；算法的輸入、輸出、條件分支、循環(huán)

47、等基本單元構成程序框圖的基本要素，基本要素之間的關系由流程線來連接；用程序框圖表示的算法，比用自然語言描述的算法更加明確、流向清楚，而且更容易改寫成計算機程序。（2）工序流程圖1）通過具體實例，了解工序流程圖（即統籌圖）由一些圖形符號和文字說明的圖示稱為流程圖；流程圖用來表示一些動態(tài)過程，通常有一個“起點”，一個或多個“終點”。顯然程序框圖是流程圖的一種；流程圖可以直觀、明確地表示動態(tài)過程從開始到結束的全部步驟，在日常生活和工作的很多領域都得到廣泛應用。例2 考生參加某培訓中心的考試需要遵循以下程序：在考試之前咨詢考試事宜，如果是新考生，需要填寫考生注冊表，領取考生編號，明確考試的科目和時間，然后交納考試費，按規(guī)定時間參加考試，領取成績單，領取證書；如果不是新考生，則須出示考生編號，明確考試的科目和時