§42換元積分法

1、§4.2換元積分法(第二類)之歐侯瑞魂創(chuàng)作I授課題目(章節(jié))：§4.2換元積分法(第二類換元積分法)n教學(xué)目的與要求：in教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：第二換元法中的三角代換及根式代換難點(diǎn)：積分后的結(jié)果進(jìn)行反代換g(x)叫時(shí)如果函數(shù)g(x)內(nèi)講授內(nèi)容：第一類換元積分法的思想是：在求積分可以化為lf(x)(x)|的形式那么所以第一換元積分法體現(xiàn)了“湊”lf(x)|函數(shù)來(lái).對(duì)于某些函數(shù)第一換元積分法無(wú)能為力，例如a2x2dxl.對(duì)于這樣的無(wú)理函數(shù)的積分我們就得用今天要學(xué)習(xí)的第二類換元積分法第二類換元的基本思想是選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將無(wú)理函數(shù)給的積分f(x)dxl化為有理式忻(t)(t)|

2、的積分f(切dt若上面的等式右端的被積函數(shù)lf時(shí)有原函數(shù)L時(shí)，則f(頃dt，然后再把M中的0還原成1(xt所以需要一開(kāi)始的變量代換u辿有反函數(shù)。定理2設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且q,又設(shè)if(t)有原函數(shù)口可，則-一1一f(x)dxf(t)(t)dt(t)C(x)Cx(t)單調(diào)、可導(dǎo)，口x(t)存在反函數(shù)t1(x)證明d1,、】ddt(x)dxdtdxdtdx,且分析要證明f(x)dx1(x)C1,只要證明（x）】l的導(dǎo)數(shù)為回,dt11dxdx(t)dt類型1:被積函數(shù)中含有a0|），可令lxasint|（并約定t（一，一）22）則數(shù)的積分.a2x2acostdxacostdx|,可將原積分化作三

3、角有理函a2x2dx(a0)解令|xasintt（一，一）22acost|dxacostdt1(x)是f(x)是一個(gè)原函數(shù)1f(x)dx1(x)C第二換元法，經(jīng)常使用于如下基本類型222aaaxx22tsintcostCarcsin-；axC222a2借助下面的輔助三角形把也11,cOst用兇暗示.2x2dxx(F,則解令|x2sint4x22costdx2costdt類型2:被積函數(shù)中含有(a0)|可令xatantl并約定，則asect-,dxv'x2a2(a0)例3求dxasectdtdx2x解令|x2tant|.t（一，一）22，則曲x22sect2,dx2sectdtdx22例

4、5求（x9）（分母是二次質(zhì)因式的平方）解令lx3tant"則x299sec212,，dx3sectdt練習(xí)：求L（-31dxx2x5)（第二換兀積分法分）/2八l、解l(x2x5)222z八22I(x1)，令|x12tanr類型3被積分函數(shù)中含有22xa(a0)xasectI,并約定t(0,2)x2a2atant時(shí)，可令|uxt(,)22hl,當(dāng)co時(shí)，可令,|dxasecttantdtl,當(dāng),可將原積分化為三角有理函數(shù)的積分。dxJ'22xa(a0),貝lua解被積函數(shù)的定義域?yàn)?,a)(a,)(a,)時(shí)，令|xasect|,t(0,2)atant>dxasectta

5、ntdtl有l(wèi)n(x:x2a2)C122ln(secttant)CIn()Caa當(dāng)|x(,a)|時(shí),令匚二u則|u(a，"有dxr22八(InxvxaCx(,a)(a,)|時(shí),Vx2a2dx、2f2?例7求IxJx1解x(1，)時(shí),令|xseCF,t(0,2)貝'v'x21tant,|dxsecttantd,有dx2secttantx1八2dtcostdtsintCCsecttantx(,1)1時(shí),令匚二，則|u(1,)1有dx氣x21心口無(wú)論|x11或史均有C22xx1x注意：(1)以上三種三角代換，目的是將無(wú)理式的不定積分化為三角有理函數(shù)的不定積分(2)在利用第二

6、類換元積分法時(shí)將積分的結(jié)果還原為0的函數(shù)時(shí),經(jīng)經(jīng)常使用到同角三角函數(shù)的關(guān)系，一種較簡(jiǎn)單和直接的方法是作“輔助三角形”(3)在既可用第一換元法也可用第二換元法的時(shí)候，用第一換元法就使計(jì)算更為簡(jiǎn)潔dx例8求x&2a2&0)解法一(用第一換元法)uxi則a匚M時(shí)，令兩式合并dx1aarccosa解法二(第二換元法)I*xaxasectt(0,2)vxaaaxa2atantfdx""asecttantdtdxasecttant,dtxx2a2asectatant(2)當(dāng)由(1)(2)兩種情況可得dx1a-arccosxJx2a2a|xV歸納總結(jié)1、第二類換元積分法的

7、思想f(x)dx中的被積函數(shù)些為無(wú)理函數(shù)，可以選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q也I，將無(wú)理函數(shù)f刈的積分f(x)dx化為有理式的積分f(t)(t)dt2、第二類換元積分法適用的被積函數(shù)類型類型1:被積函數(shù)中含有a°|)，可令|xasint(并約定t(一，)2'2,1)則acost.,類型2:被積函數(shù)中含有dxacostdx可將原積分化作三角有理函數(shù)(a0)l可令xatantl并約定(2，2)，貝lj|Ja2x2asect；|dxasec2tdt；可將原積分化為三角有理函數(shù)的積分.類型3被積分函數(shù)中含有a2|(a0)|,當(dāng)U時(shí)，可令xasect|，并約定'(°2)，貝寸x2a2atant,|dxasecttantdt|，當(dāng)|xa時(shí)，可令Px，則口，可將原積分化為