第一章概率的基本概念

1、概概 率率 的的 基基 本本 概概 念念 第 一 章 第一節(jié)第一節(jié) 事件及其運(yùn)算事件及其運(yùn)算二、事件間的關(guān)系及運(yùn)算二、事件間的關(guān)系及運(yùn)算一、隨機(jī)事件的概念一、隨機(jī)事件的概念在給定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象在給定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象. . “太陽(yáng)總是東升西落太陽(yáng)總是東升西落”；1.確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 “水總是從高處向低處流水總是從高處向低處流”。例如：例如：自然界所觀察到的現(xiàn)象自然界所觀察到的現(xiàn)象: 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)事件的概念一、隨機(jī)事件的概念在相同條件下重復(fù)某實(shí)驗(yàn)，結(jié)果多樣且事先不能確在相同條件下重復(fù)某實(shí)驗(yàn)，結(jié)果多樣且事先不能確稱為隨機(jī)現(xiàn)象

2、稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例實(shí)例1 “在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,觀觀察正反兩面出現(xiàn)的情況察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2. 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 “標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下將水加熱至標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下將水加熱至100度必然沸騰度必然沸騰” 等等.結(jié)果有可能結(jié)果有可能出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面也可能也可能出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面.確定性現(xiàn)象的特征確定性現(xiàn)象的特征: : 條件完全決定結(jié)果條件完全決定結(jié)果“同性電荷必然互斥同性電荷必然互斥”,定是哪種結(jié)果會(huì)發(fā)生，呈現(xiàn)出不確定性定是哪種結(jié)果會(huì)發(fā)生，呈現(xiàn)出不確定性.結(jié)果有可能為結(jié)果有可能為: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ,“6”. 實(shí)例實(shí)例3 “投擲

3、一枚骰子投擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例實(shí)例2 “同一門炮向同一目同一門炮向同一目 標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā)標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā) , 觀觀察彈著點(diǎn)的情況察彈著點(diǎn)的情況”.結(jié)果結(jié)果: “彈著點(diǎn)會(huì)各不相同彈著點(diǎn)會(huì)各不相同”.2). 隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果具有隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果具有隨機(jī)性、偶然性隨機(jī)性、偶然性, 但在大但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下, 結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性即結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性即具有一定的具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 , 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試

4、驗(yàn)來研究的隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題問題 什么又是隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)厥裁从质请S機(jī)試驗(yàn)?zāi)?說明說明1). 隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系聯(lián)系 , 其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)來描述其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)來描述.隨機(jī)現(xiàn)象的特征隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)條件不能完全決定結(jié)果果那么如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象呢那么如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象呢? a. 試驗(yàn)可以在不變條件下重復(fù)地進(jìn)行試驗(yàn)可以在不變條件下重復(fù)地進(jìn)行; b. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不盡相同每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不盡相同,并且事先并且事先 無法肯定出現(xiàn)哪種結(jié)果；無法肯定出現(xiàn)哪種結(jié)果； c. 進(jìn)行試驗(yàn)之前明確試驗(yàn)的所有可能

5、結(jié)果進(jìn)行試驗(yàn)之前明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;1)定義定義: :具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn).3.隨機(jī)試驗(yàn)：隨機(jī)試驗(yàn)：2)說明說明 1. 隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn), 它只是概率術(shù)語(yǔ)它只是概率術(shù)語(yǔ).其實(shí)它其實(shí)它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn), 也包括對(duì)客觀事物進(jìn)也包括對(duì)客觀事物進(jìn)行的行的 “調(diào)查調(diào)查”、“觀察觀察”或或 “測(cè)量測(cè)量” 等等等等.3)3)舉例：舉例： “投擲一枚質(zhì)地均投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣勻的硬幣,觀察正反面出觀察正反面出現(xiàn)的情況現(xiàn)的情況”.分析分析 2. 隨機(jī)試驗(yàn)通常用隨機(jī)試驗(yàn)通常用 “E” 來表示來表示.(1) 試驗(yàn)可

6、以在試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;i.“投擲一枚骰子投擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的情況觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的情況”.ii.“從一批產(chǎn)品中從一批產(chǎn)品中,依次任選三件依次任選三件,記錄取得正品與次品的件數(shù)記錄取得正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)(3) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:正面正面，反面，事先明確知到反面，事先明確知到,(2) 進(jìn)行一次進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)出現(xiàn). 故為隨機(jī)試驗(yàn)故為隨機(jī)試驗(yàn).4.4.幾個(gè)重要定義幾個(gè)重要定義: :樣本點(diǎn)：樣本點(diǎn)：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E E，它

7、的每一個(gè)最基本的可能，它的每一個(gè)最基本的可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)（基本事件），結(jié)果稱為樣本點(diǎn)（基本事件），用表示表示。復(fù)合事件：復(fù)合事件：由若干個(gè)基本事件組合而成的集合稱為由若干個(gè)基本事件組合而成的集合稱為復(fù)合事件。復(fù)合事件。用A,B,C,A,B,C,表示表示。樣本空間樣本空間: :所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的全集合稱為所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的全集合稱為E E的樣本空的樣本空間間，用 表示。表示。我們規(guī)定：在隨機(jī)試驗(yàn)規(guī)定條件下必然出現(xiàn)的事件為我們規(guī)定：在隨機(jī)試驗(yàn)規(guī)定條件下必然出現(xiàn)的事件為必然事件必然事件, ,用 表示表示; ; 必然不出現(xiàn)的事件為必然不出現(xiàn)的事件為不可能事件不可能事件，用用 表示。表示。隨機(jī)事件隨機(jī)事件

8、 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 的子集的子集(或某或某些樣本點(diǎn)的子集），稱為些樣本點(diǎn)的子集），稱為 E 的隨機(jī)事件的隨機(jī)事件, 簡(jiǎn)稱事件簡(jiǎn)稱事件.試驗(yàn)中試驗(yàn)中,骰子骰子“出現(xiàn)出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)”, ,“出出現(xiàn)現(xiàn)6點(diǎn)點(diǎn)”,它們是最基本的結(jié)果。它們是最基本的結(jié)果。“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)或?yàn)槠鏀?shù)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)或?yàn)槠鏀?shù)” 等都為復(fù)合事件等都為復(fù)合事件.例例題題 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).并寫出試驗(yàn)寫出試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的樣本點(diǎn), 樣本空間樣本空間, 基本事件基本事件,事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)偶數(shù)偶數(shù), 事件事件B出現(xiàn)奇數(shù)出現(xiàn)奇數(shù) 分析：分析：i; 6, 1,ii,65

9、4321 解：解：用用 表示擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為表示擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 基本事件基本事件 ; 6 , 2 , 1, iiAii ;,642 A.,531 B5.5.小結(jié)小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1)條件不能完全決定結(jié)果條件不能完全決定結(jié)果.2) 隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的. (1) 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè), 并且能事并且能事 先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3) 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì) 出現(xiàn)

10、出現(xiàn). 隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)3)3)隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間, 樣樣本空間的子集就是隨機(jī)事件本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間樣本空間 子集子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件必然事件不可能事件是兩個(gè)特殊的必然事件不可能事件是兩個(gè)特殊的 隨機(jī)事件隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)唯一唯一.),( , , ,的子集是而的樣本空間為設(shè)試驗(yàn)21 kABAEk 1)包含關(guān)系包含關(guān)系若若事件事件 A 出現(xiàn)必然導(dǎo)致出現(xiàn)必然導(dǎo)致 B 出現(xiàn)出現(xiàn) ,則稱則稱事件事件 B 包含事件包含事件 A,記記作作.BAAB 或或?qū)嵗?/p>

11、實(shí)例 “長(zhǎng)度不合格長(zhǎng)度不合格” 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 “產(chǎn)品不合產(chǎn)品不合格格”所以所以“產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”包含包含“長(zhǎng)度不合格長(zhǎng)度不合格”.圖示圖示 B 包含包含 A. BA二、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算二、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算1. .隨機(jī)事件間的關(guān)系隨機(jī)事件間的關(guān)系2)2)相等關(guān)系相等關(guān)系 若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含包含事件事件A, 則稱事件則稱事件A與事件與事件B相等相等,記作記作 A=B.1) 事件的和事件的和(并并).|BA. ,BeAeeBABABABA或顯然，或記作的與事件稱為事件個(gè)事件至少發(fā)生一個(gè)”也是一“二事件和和事事件件圖示事件圖示事件 A 與與

12、B 的并的并. BA2. .隨機(jī)事件間的運(yùn)算隨機(jī)事件間的運(yùn)算實(shí)例實(shí)例 假設(shè)假設(shè)某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此 “產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”是是“長(zhǎng)度不合格長(zhǎng)度不合格”與與“直徑不合格直徑不合格”的并的并.;, , , , 21211至少發(fā)生一個(gè)即的和事件個(gè)事件為稱nniniAAAAAAnA., , ,21211至少發(fā)生一個(gè)即的和事件為可列個(gè)事件稱AAAAAii推廣推廣2) 事件的交事件的交 (積積).AB積事件也可記作.| ,BeAeeBABABABA 且且，顯顯然然記記作作的的與與事事件件事事件件稱稱為為也也

13、是是一一個(gè)個(gè)事事件件同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生二二事事件件積積事事件件, ,圖示為事件圖示為事件A與與B 的積的積事件事件. AB AB實(shí)例實(shí)例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度 與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”是是“長(zhǎng)度合格長(zhǎng)度合格”與與“直徑合格直徑合格”的交或積事件的交或積事件.;, , , ,21211同時(shí)發(fā)生即的積事件個(gè)事件為稱nnnkkAAAAAAnA., , ,21211同時(shí)發(fā)生即的積事件為可列個(gè)事件稱AAAAAkk推廣推廣3)3)事件事件的的互斥互斥(互不相容互不相容) 若事件若事件 A 、B 滿足滿足則稱事件則稱

14、事件 A與與B互斥或互不相容互斥或互不相容. ABBA實(shí)例實(shí)例1 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)數(shù)字出現(xiàn)數(shù)字” 與與 “出現(xiàn)國(guó)出現(xiàn)國(guó)徽徽” 是互斥的兩個(gè)事件是互斥的兩個(gè)事件.圖示圖示 A與與B互互斥斥 AB“骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)” “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)”互斥互斥實(shí)例實(shí)例2 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . 。斥則稱事件組中任意兩個(gè)均互，若事件組兩兩兩兩互互斥斥nAAA , , ,21事件組骰子事件組骰子“出現(xiàn)出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2”, ,“出現(xiàn)出現(xiàn)6點(diǎn)點(diǎn)”兩兩互斥兩兩互斥。若事件若事件 A 、B 滿足滿足則稱則稱 A 與與B 為為互逆互逆(或?qū)α⒒驅(qū)?/p>

15、立)事件事件. A 的對(duì)立事件的對(duì)立事件記作記作.A實(shí)例實(shí)例 “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)” “骰子不出現(xiàn)骰子不出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)”圖示圖示 A 與與 B 的對(duì)立的對(duì)立. BA . ABBA且A4) 事件的互逆（對(duì)立）事件的互逆（對(duì)立）對(duì)立對(duì)立對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別和聯(lián)系對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別和聯(lián)系 ABABA A、B 對(duì)立對(duì)立A、B 互斥互斥AB不但,AB只需互互 斥斥對(duì)對(duì) 立立因此：因此： .BA而且5) 事件的事件的差差圖示圖示 A 與與 B 的差的差 AB BAB AB BA BA 實(shí)例實(shí)例 “長(zhǎng)度合格但直徑不合格長(zhǎng)度合格但直徑不合格”是是“長(zhǎng)度合格長(zhǎng)度合格” 與與“直徑合格直徑合格”的差的差

16、.A事件事件 A 發(fā)生而發(fā)生而 B 不發(fā)生，稱為事件不發(fā)生，稱為事件 A 與與 B 的的差事件差事件. 記作記作 A- - B.AA,BAB-A:顯然有3.事件間的運(yùn)算規(guī)律事件間的運(yùn)算規(guī)律.,)1(BAABABBA 交換律交換律),()()2(CBACBA 結(jié)合律結(jié)合律)()()() 3 (CABACBA分分配配律律.,BABABABA: :( (4 4) )對(duì)對(duì)偶偶公公式式則有則有為事件為事件設(shè)設(shè) ,CBA).()(CBACBA)()()(CBCACBAniiniiniiniiAAAA1111, 例例1 設(shè)設(shè)A,B,C 表示三個(gè)隨機(jī)事件表示三個(gè)隨機(jī)事件, ,試將下列事試將下列事件件用用A,B,C 表示出來表示出來. .(1) A 出現(xiàn)出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(5) 三個(gè)事件都不出