八個有趣模型搞定外接球內(nèi)切球問題(學(xué)生版))

1、八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法:C圖2圖3圖4找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）+ b2 +c2 ,即 2R = Ja2 + b2 十 c2 ,求出 R例1A.（1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為16兀 B . 20n4,體積為16,則這個球的表面積是（D . 32n(2)若三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為則其外接球的表面積是(3)在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且AM _L MN，若側(cè)棱SA=2j3,則正三棱錐S - ABC外接球的表面積是（4）在四面體SABC中，

2、SA_L平面ABC ,/BAC =120 ,SA = AC =2,AB=1,則該四面體的外接球的表面積為（）A.11 二B.7 二c 40 D.一3（5）如果二棱錐的二個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1 .題設(shè)：如圖5, PA_L平面ABC解題步驟：第一步：將 MBC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直 徑AD,連接PD,則PD必過球心O ;第二步：O1為AABC的外所以 OO1 _L平面AB

3、C ,算出小圓。的半徑O1D =r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得-=-=-=2r）, OO| = PA ；sin A sin B sinC2222R = %：PA +(2r)；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 = PA2 + （2r ）2之 R2 =r2OQ2 = R = r2 OO122.題設(shè)：如圖6, 7, 8,三棱錐P - ABC的底面P的射影是 MBC的外心u 三棱錐P - ABC的三條側(cè)棱相等 uAABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點PPP圖8-1解題步驟:第一步：確定球心 。的位置，取ABC的外心Oi,則P,O,Oi三點共線;第二步：先算出小

4、圓 O1的半徑AO1 =r ,再算出棱錐的高 PO1=h （也是圓錐的高）；222 222第二步：勾股定理：OA =OiA +OQ = R =（h R） +r，解出R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）C正品16A. 3nB. 2nC. D .以上都不對（ ,類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直）1 .題設(shè)：如圖9-1 ,平面PAC _L平面ABC，且AB _L BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 O必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC a b c第二步：在 APAC中，可根據(jù)正弦定理 = =2R

5、,求出Rsin A sin B sinC2 .如圖9-2 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC (即AC為小圓的直徑)OC2 =O1C2 O1O2= R2 = r2 O1O2= AC=2. R2=O1O23 .如圖9-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC (即AC為小圓的直徑)，且P的射影是AABC的外 心二三棱錐P - ABC的三條側(cè)棱相等 u 三棱P - ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點 P點也是圓 錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心 O的位置，取AABC的外心01,則P,O,O1三點共線；第二步：先算出小圓 01的半徑A01 =r ,再算出棱錐的高

6、P01=h (也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：OA2 =01A2 +0102 = R2 =(h R)2 +r2 ,解出 R4 .如圖9-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC (即AC為小圓的直徑)，且PA _L AC ,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 =PA2+(2r)2u 2R = .PA2 +(2r)2 ； R2 =r2 0Q2 = R = . r2 0012例3 (1)正四棱錐的頂點都在同一球面上， 若該棱錐的高為1,底面邊長為2J3,則該球的表面積為 c(2)正四棱錐S -ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 近,各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為(

7、3)在三棱錐P - ABC中,PA = PB = PC = J3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60二，則該三棱錐外接球的體積為(A.二B.C. 4D.（4）已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球 O的求面上,AABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑，且SC = 2 ,則此棱錐的體積為（B 3B.6類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）圖 10-3題設(shè)：如圖10-1 ,圖10-2 ,圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形） 第一步：確定球心 O的位置，O1是 MBC的外比則OO1 _L平面ABC ；1-1 ,第一步：算出小圓 O1的

8、半徑AO1=r, OO1 = AA1 =h （ AA =h也是圓枉的局）； 22第三步：勾股定理：OA2 =O1A2+oq2= R2=（h）2+r2= R = Jr2+g）2 ,解出 r例4 （1） 一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上, 9 且該六棱柱的體積為 -，底面周長為3 ,則這個球的體積為 8（2）直三棱柱 ABC 一 A B1cl的各頂點都在同一球面上，若 AB = AC = AA1 = 2 , / BAC =120則此 球的表面積等于。（3）已知AEAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB =3,AD =2,/

9、AEB =60口,則多面體E -ABCD的外接球的表面積為 。（4）在直三棱柱 ABCAB1c1中，AB=4,AC =6,A=土，AA =4則直三棱柱 ABC A1B1c1的外接球3的表面積為類型五、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊 （如圖11）圖11第一步：先畫出如圖所示的圖形，將ABCD畫在小圓上，找出 ABCD和AA'BD的外心H1和H2;第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面A,BD的垂線，兩垂線的交點即為球心O,連接OE,OC；第三步：解iOEH/算出OH1，在RtAOCH1中，勾股定理： OH12 + CH12 = OC2例5三棱錐P - A

10、BC中，平面PAC _L平面ABC , PAC和 ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱 錐P - ABC外接球的半徑為 類型六、對棱相等模型（補形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等,求外接球半徑(AB =CD , AD = BC , AC = BD )第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱;第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為 a,b,c, AD = BC=x, AB = CD = y , AC = BD = z，列方程組, 2 ,2a +b22«b2 +c222c +a2二x22222=y = (2R) = a b c2二z222x +y +z ,補

11、充：Va _BCD.1 ., 1 .= abc abc 4= abca圖12第三步：根據(jù)墻角模型,2222R= a2 b2 c2 ;y z2222 x y zR =,8，求出R,例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6 (1)棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形 (正四面體的截面)的面積是(2) 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是1的球面上，其中底面的三個頂點)12(1)題解答圖(3)在三棱錐 ABCD 中，AB=CD =2, AD = BC=3,AC = BD=44Um棱車B A-BCD外接球的表面積為(

12、4)如圖所示三棱錐 A-BCD ,其中AB=CD =5, AC = BD =6, AD = BC = 7,則該三棱錐外接球的 表面積為.(5)正四面體的各條棱長都為22 ,則該正面體外接球的體積為 類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型P圖13題設(shè)：/APB =/ACB =90 :求三棱錐P - ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點O ,連接1-OP,OC ,則OA = OB=OC=OP=AB,二O為三棱錐PABC外接球球心，然后在 OCP中求出 2半徑)，當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。

13、例7 (1)在矩形ABCD中，AB = 4, BC = 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B AC D,則四面體 ABCD的外接球的體積為()A.125冗12125ji9125兀6125n3(2)在矩形ABCD中,的外接球的表面積為AB = 2 , BC =3 ,沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐 A- BCD類型八、錐體的內(nèi)切球問題1.題設(shè)：如圖14,三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。圖14步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心;1 _ _ 、第一步：求DH = BD, PO=PH -r , PD是側(cè)面AABP的高;3第三步：由APOE相似

14、于APDH ,建立等式：_°E =£9 ,解出rDH PD2 .題設(shè)：如圖15,四棱錐PABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O, H三點共線；1第一步：求FH=BC, PO = PH r , PF是側(cè)面APCD的高; 2第三步：由APOG相似于APFH ,建立等式： 理二空 解出HF PF3 .題設(shè)：三棱錐 P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第一步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,建立等式：VP 4BC-VOABC'VO-PAB&#

15、39;VO_PAC' VO-PBC11111SABC r SPABr SPACr SPBCr = (S ABCS PABSACS PBC ) r33333第三步：解出r=3Vp gSO -ABC , SO -PABSO -PACSO -PBC習(xí)題：1 .若三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA = 2, SB=SC = 4 ,則該三棱錐的外接球半徑為 （）A. 3B. 6C. 36D. 92 .三棱錐S -ABC中，側(cè)棱SA_L平面ABC ,底面ABC是邊長為33的正三角形，SA= 273 ,則該三 棱錐的外接球體積等于 3 .正三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長為 J3的正三角形，側(cè)棱長為 2,則該三棱錐的外接球體積等