解析版廣東省東莞市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

1、2022年廣東省東莞市高考數(shù)學(xué)一模試卷理科參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 8小題，每題5分，共40分在每題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合 要求的.1. 5分2022?東莞一模以下四個(gè)函數(shù)中，在0, 1上為增函數(shù)的是A . y=sinxB y= - log2xD.-丄y=x ?考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明.專題：綜合題.分析：由正弦函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)的單調(diào)性很容易得到答案.解答：解：/ y=sinx在1上是增函數(shù)，0, 1? |'.2 2 2 2 J 丫=$應(yīng)在0, 1上是增函數(shù).故答案為A點(diǎn)評(píng)：此題考查了常見函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，是

2、個(gè)根底題.2. 5分2022?東莞一模如果復(fù)數(shù) z=a2+a- 2+a2-3a+2i為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù) a的值為A . - 2B . 1C. 2D. 1 或2 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的根本概念.分析：純虛數(shù)的表現(xiàn)形式是 a+bi中a=0且b用，根據(jù)這個(gè)條件，列出關(guān)于a的方程組，解出結(jié)果，做完以后一定要把結(jié)果代入原復(fù)數(shù)檢驗(yàn)是否正確.解答：解：t復(fù)數(shù)z=a2+a - 2+ a2 - 3a+2i為純虛數(shù)，2 2a +a- 2=0 且 a - 3a+2MD,a= 2,應(yīng)選A點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)中常出現(xiàn)概念問題，準(zhǔn)確理解概念是解題的根底，和此題有關(guān)的概念問題同學(xué)們可以練習(xí)一遍，比方是實(shí)數(shù)、是虛數(shù)、是復(fù)數(shù)、還有此題的純虛數(shù)，都

3、要掌握.3. 5分2022?東莞一模一是不共線的向量，假設(shè)屁入ja-Fb,k初丸】, ER，貝卩A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為A .川=左=-1B .21=泥=1C .刀疋-仁0D.刀？應(yīng)+仁1考點(diǎn)：向量的共線定理；必要條件、充分條件與充要條件的判斷.專題：計(jì)算題.分析：將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量共線，利用向量共線的充要條件求出兩參數(shù)的關(guān)系.解答：解：A、B、C三點(diǎn)共線？宀，共線存在入使X j a+b- k (刃+ 入西)入i 龍一1=0應(yīng)選項(xiàng)為C點(diǎn)評(píng)：此題考查向量共線的充要條件及充要條件的求法.4. 5分2022?濱州一模如圖是 2007年在廣州舉行的全國(guó)少數(shù)民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上，七位評(píng)委為某民族舞蹈

4、 打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為f984 4 6 4 7'3A .B .C .D. 85, 4考點(diǎn)：莖葉圖；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差.專題：壓軸題；圖表型.分析：根據(jù)所給的莖葉圖，看出七個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)處理方法，去掉一個(gè)最高分93和一個(gè)最低分79后,把剩下的五個(gè)數(shù)字求出平均數(shù)和方差.解答：解：由莖葉圖知，去掉一個(gè)最高分93和一個(gè)最低分79后，所剩數(shù)據(jù)84, 84, 86, 84, 87的平均數(shù)為_；-;5方差為 CS4-S5)虧(84-85) 2+ C86-35 )片(S4-35 )'十(87-S5 )勺諾55應(yīng)選c .點(diǎn)評(píng)：莖葉圖

5、、平均數(shù)和方差屬于統(tǒng)計(jì)局部的根底知識(shí)，也是高考的新增內(nèi)容，考生應(yīng)引起足夠的重視，確保穩(wěn)拿這局部的分?jǐn)?shù).5. 5分2022?東莞一模函數(shù)F(x)二尸的反函數(shù)為廠(八 假設(shè)f _1 (a) +f_1 (b)貝沖峙的最小值為A . 1B . RC. 1D. 1234考點(diǎn)：根本不等式；反函數(shù).專題：計(jì)算題.分析：求出函數(shù)y=2x的反函數(shù)是y=f"x，推出方程 廠1a+f 1 b=4,化簡(jiǎn)，利用根本不等式求的最小值.解答：解：函數(shù)y=2x的反函數(shù)是y=f 1 x=log2x,所以 f 1 a+f 1 b=4,就是 Iog2a+iog 2b=4,可得 ab=16 a, b > 01 , 1

6、 fTI 1 一：邈一=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)應(yīng)選B .點(diǎn)評(píng)：此題考查反函數(shù)的求法，根本不等式求最值，考查計(jì)算能力，是根底題.解答的關(guān)鍵是出現(xiàn)和待求一個(gè)為整式形式一個(gè)為分式形式，求最值將它們乘起后用根本不等式.1的正三角形，俯視圖6. 5分2022?東莞一模如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為 是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為D. 1考點(diǎn)： 專題： 分析：解答:這個(gè)幾何體的側(cè)面積為由三視圖求面積、體積.計(jì)算題.由題意得，該幾何體的直觀圖是一個(gè)底面半徑為2,母線長(zhǎng)為i的圓錐其側(cè)面展開圖是一扇形，2所以利用公式求解即可.解：由題意得，該幾何體的直觀圖是一個(gè)底面半徑為丄，母線長(zhǎng)為1的圓

7、錐其側(cè)面展開圖是一扇形，弧長(zhǎng)為2 n= n,應(yīng)選D .點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生的空間想象能力，是根底題.，且a> b那么雙曲線考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì). 專題：計(jì)算題.分析：根據(jù)a、b的等差中項(xiàng)是豊，一個(gè)等比中項(xiàng)是 厶斥，聯(lián)立方程求得a和b,再根據(jù)cb2求得c,riba進(jìn)而根據(jù)離心率公式求得 e.aFb=9歩20解得a=5,解答：解：依題意得b=4 c2=a2+b2= a+b2 2ab=41 c= 1' e=_=L a 5 應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)屬根底題.8 5分2022?東莞一模0=x, y ，直線y=mx+2m 和曲線個(gè)不同的交點(diǎn)，

8、它們圍成的平面區(qū)域?yàn)镸 ,向區(qū)域Q上隨機(jī)投一點(diǎn) A，點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為-有兩P M,假設(shè) P M.丄二，1，那么實(shí)數(shù)m2兀的取值范圍B 0,C D. 0, 1考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用.專題：壓軸題.分析：畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(diǎn)-2, 0，結(jié)合概率范圍可知直線與圓的關(guān)系,直線以-2, 0點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與 x軸重合，從而確定直線的斜率范圍.解答：解：畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(diǎn)-2, 0，圓是上半圓，直線過-2, 0， 0, 2時(shí)， 它們圍成的平面區(qū)域?yàn)?M，向區(qū)域Q上隨機(jī)投一點(diǎn) A ,兀一2點(diǎn)A落在區(qū)域 M內(nèi)的概率為P M，此時(shí)P M=,2TI當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，P M=

9、1;直線的斜率范圍是0, 1.應(yīng)選D .一立-1 p-1-23-4A點(diǎn)評(píng)：此題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，幾何概型，直線系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是好題，難度較大.、填空題：本大題共 7小題，每題5分，共30 分.2 T9. 5分2006?北京在汀卞的展開式中，X3的系數(shù)是亠.用數(shù)字作答考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.專題：計(jì)算題.分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3得到x3的系數(shù)解答：解:令 7- 2r=3 , 解得r=2,故所求的系數(shù)為-22C72=84故答案為84點(diǎn)評(píng)：此題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題.10. 5分2022?東莞一模一個(gè)均勻小正方體的六

10、個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1, 一 個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2,將這個(gè)小正方體拋擲 2次，那么向上的數(shù)之積為 0的概率 .考點(diǎn)：等可能事件的概率.專題：計(jì)算題.分析：由題意知此題是一個(gè)等可能事件發(fā)生的概率，試驗(yàn)包含的所有事件是一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中,三個(gè)面上標(biāo)以數(shù) 0,兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù) 1, 一個(gè)面上標(biāo)以數(shù) 2,將這個(gè)小正方體拋擲 2次，而滿足條件 的事件是向上的數(shù)之積為 0,寫出三種情況下的結(jié)果，得到概率.解答：解：由題意知此題是一個(gè)等可能事件發(fā)生的概率，試驗(yàn)包含的所有事件是一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù) 0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2,將這個(gè)小正方體拋擲 2次，共有

11、C61C61=36種結(jié)果， 而滿足條件的事件是向上的數(shù)之積為0，包含C31C31 +C31 C31 +C31 C31=27種結(jié)果， P-'"=,36 4故答案為：上.4點(diǎn)評(píng)：通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度在學(xué)生分析問題、解決問題的過 程中培養(yǎng)其積極探索的精神，從而實(shí)現(xiàn)自我的價(jià)值.11. 5分2022?東莞一模如圖，該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為45 .考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu).專題：圖表型.分析：經(jīng)過觀察為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行執(zhí)行，當(dāng)不滿足執(zhí)行條件時(shí)跳出循環(huán)，輸出結(jié)果即可. 解答：解：經(jīng)過分析，此題為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，執(zhí)行如下：S=0S=3S=6S=10S=1

12、5S=21S=28S=36A=1A=2A=3A=4A=5A=6A=7A=8S=45A=9當(dāng)S=45不滿足循環(huán)條件，跳出.故答案為：45.點(diǎn)評(píng)：此題考查當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查對(duì)程序知識(shí)的綜合運(yùn)用，模擬循環(huán)的執(zhí)行過程是解答此類問題常用的 方法.屬于根底題.12. 5分2022?東莞一模點(diǎn) Px, y滿足條件、六匸k為常數(shù)，假設(shè)z=x+3y的最大2s+y+k<0值為8，那么k= 6.考點(diǎn)： 專題： 分析：解答:簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.計(jì)算題；壓軸題.畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形，畫出相應(yīng)的直線，將其平移，數(shù)學(xué)結(jié)合當(dāng)直線移至點(diǎn)曰.曰 .最大,z 最大.解：畫出可行域A時(shí)，縱截距將z=x+3y變形為y=1畫出直線

13、匸- -平移至點(diǎn)A時(shí)，縱截距最大，z最大,聯(lián)立方程y=K 2耳+y+k二0代入-打3X二& k= - 6.3故答案為-6點(diǎn)評(píng)：此題考查畫不等式組的可行域；利用可行域求出目標(biāo)函數(shù)的最值.13. 5分2022?東莞一模幾何證明選講選做題如圖，AD是O O的切線，AC是O O的弦，過C做AD的垂線，垂足為 B, CB與O O相交于點(diǎn)E, AE平考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的性質(zhì)定理的證明.專題：直線與圓.分析：利用弦切角定理可得 / EAD= / C,由角平分線的性質(zhì)可得 / EAD= / CAE，又/ C+ / CAD=90。即可 得出/ EAD=30 °在 Rt EAD中

14、，即可求出 AB .解答： 解：/ AD是O O的切線，/ EAB= / C,/ AE 平分 / CAB , / EAB= / CAE ,/ Z ABC=90 ° / CBD+ / C=90 ° / EAD=30 °在 Rt EAD 中，AB=AE ?cos30° ：'；.故答案為T.cos肝sin 0=2的距離為14. 5分2022?東莞一模在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)1, 0到直線點(diǎn)評(píng)：熟練掌握弦切角定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.專題：計(jì)算題.分析：根據(jù)所給的直線的極坐標(biāo)方程，轉(zhuǎn)化

15、成直線的一般式方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，寫出距離的表示 式，得到結(jié)果.解答：解：直線 p cos 0+sin 0=2直線 pcos 0+ psin 0=2直線的一般是方程式是：x+y - 2=0ni-2i Vs點(diǎn)1, 0到直線的距離是 :故答案為：十點(diǎn)評(píng)：此題考查點(diǎn)到直線的距離公式和簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)方程，此題解題的關(guān)鍵是把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成一般式 方程.P15. 2022?東莞一模函數(shù)fx=|x| - |x- 3|的最大值為 3.考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式；函數(shù)的最值及其幾何意義.專題：計(jì)算題；分類討論.分析：函數(shù)fx=|x| |x 3|,根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)先進(jìn)行分類討論，去掉絕對(duì)值進(jìn)行求解.解答：解：假設(shè)

16、xv0, fx=|x| - |x- 3|= - x 3- x= - 3； 0<3, fx=|x| - |x - 3|=x 3 - x=2x - 3, - 3詣x<3； x >3, f x=|x| - |x- 3|=x x - 3=3,綜上-3詣x<3,故答案為3.點(diǎn)評(píng)：此題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及函數(shù)的恒成立問題，這類題目是高考的熱點(diǎn)，難度不是很大，要注 意不等號(hào)進(jìn)行放縮的方向.三、解答題：本大題共6小題，共80分解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.216. 12 分2022?惠州二模設(shè)函數(shù) fx=2cos2x+sin2x+a aR.1求函數(shù)fx的最小正周期和單調(diào)遞

17、增區(qū)間；2當(dāng) 疋Q, 匹時(shí)，f x的最大值為2,求a的值，并求出y=fxxR的對(duì)稱軸方程.考點(diǎn)： 專題： 分析：二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性. 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).1函數(shù)fx解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出3的值代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)一kZ求出x的范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間；2遞增區(qū)間為2k n-, 2k n+-22由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出正弦函數(shù)的最大值，表示出函數(shù)的最大值，由最大值求出a的值即可，令這個(gè)角等于k乜k，求

18、出x的值，即可確定出對(duì)解答:稱軸方程.解：1fx=1+cos2x+sin2x+a= tsin+1+a,點(diǎn)評(píng):當(dāng) 2kn-71JT7T r<2x+-2k n+kZ時(shí) f2X單調(diào)遞增,co=2 , - - T= n,f X的最小正周期 n;解得：kn-貝U xk n-37TV2當(dāng) x0,"時(shí),6,即當(dāng)2x+47T<x < n+ k Z，I 8|I Kk k包為fx的單調(diào)遞增區(qū)間;8TT電X+2x+,sinITT=1,那么 f xmax= . 一+1+a=2 ,解得：a=1 - TT,71=k n+ k Z，得到此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握

19、公式是解此題的關(guān)鍵.令 2x+-：kH1TT2+8kZ丨為fx的對(duì)稱軸.x=兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一歲，扌，舟；如果投資乙a 和 B a+ 3=1.17. 12分2022?東莞一模某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲工程, 年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為 工程，一年后可能獲利 20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為n假設(shè)把10萬元投資投資乙工程的平均收益不低于投資甲工程的平均收益，求a的取值范圍.考點(diǎn)： 專題： 分析：離散型隨機(jī)變量的期望與方差.應(yīng)用題；分析法.對(duì)于1如果把10萬元

20、投資甲工程，根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一年后可能獲利2, 3, 3 ;那么可得到E的可能取值為1, 0,- 1.然2 4 4可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為解答:10%，可能損失10%,后分別求出概率，由期望公式即可得到答案.對(duì)于n假設(shè)把10萬元投資投資乙工程的平均收益不低于投資甲工程的平均收益，故可以先求出 投資乙工程E的期望值，然后使其大于等于甲工程的期望，解出 a的取值范圍即可得到答案. 解：I丨依題意,e=1 時(shí)，pe=o 時(shí)，pE的可能取值為1, 0,- 1=?2=1一?4P E1 J4e=o 當(dāng) 當(dāng) 那么，又 aV 1 .故答案為一.n設(shè)n表示10萬元投資乙工程的收益，那么n的分布

21、為n=2 時(shí)，P r=2= an= - 2 時(shí)，pn= - 2= 3E n=2 a- 2 3=4 a- 2 .故答案為V 1.1 0點(diǎn)評(píng):此題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的問題，以及用期望值估計(jì)實(shí)際問題，對(duì)學(xué)生靈活應(yīng)用能力要 求較高，屬于中檔題目.2 218. 14分2022?東莞一模圓 C方程為：x +y =4 .I直線I過點(diǎn)P 1, 2，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)|，求直線l的方程；n過圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m,設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，假設(shè)向量L 門-，求動(dòng) 點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用；直線的一般式方程；軌跡方程.專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；分

22、類討論.分析：I丨分類討論：當(dāng)直線I垂直于x軸時(shí)； 假設(shè)直線I不垂直于x軸.對(duì)于 ，設(shè)其方程為y -2=kx - 1，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得k值，從而解決問題.II丨設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xo, yo yo用，Q點(diǎn)坐標(biāo)為x , y，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出M的坐標(biāo)，再利用M點(diǎn)在圓上其坐標(biāo)適合方程即可求得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，最后利用方程的形式進(jìn)行判斷是什么曲線即可.解答：解I當(dāng)直線I垂直于x軸時(shí)，那么此時(shí)直線方程為x=i, i與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為1,陰和1, 一竝,其距離為_ .二滿足題意1分假設(shè)直線I不垂直于x軸，設(shè)其方程為 y - 2=kx - 1，即kx - y- k+2=0設(shè)圓

23、心到此直線的距離為d，那么2石二吋4 -乎，得d=13分1時(shí)2|3- 故所求直線方程為 3x - 4y+5=0綜上所述，所求直線為3x - 4y+5=0或x=1 7分n設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xo, yo yo老，Q點(diǎn)坐標(biāo)為x, y那么N點(diǎn)坐標(biāo)是0, yo 9分11 分 x, y=xo, 2yo即卩 xo=x,；又xo2+yo2=4, 2 2 Q點(diǎn)的軌跡方程是 斗y#=0 , 13分416軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓，除去短軸端點(diǎn).14分點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應(yīng)用、軌跡方程的解法等根底知識(shí)，考查運(yùn) 算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于中檔題.19. 14 分

24、2022?東莞一模如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1 中，AD=AA 1=1, AB > 1，點(diǎn) E 在棱AB上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn) A沿長(zhǎng)方體的外表爬到點(diǎn) C1，所爬的最短路程為 2.；:.1求證：D1E 丄 A1D ；2求AB的長(zhǎng)度；3在線段AB上是否存在點(diǎn) E,使得二面角 D1- EC - D的大小為號(hào)假設(shè)存在，確定點(diǎn) E的位置；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；三垂線定理.專題：計(jì)算題；證明題.分析：1連接AD1,根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知 AE丄平面AD1,從而AD1是ED1在平面AD 1內(nèi)的射影， 根據(jù)三垂線定理可得結(jié)論；2根據(jù)四邊形ADD 1A是

25、正方形，那么小螞蟻從點(diǎn) A沿長(zhǎng)方體的外表爬到點(diǎn)C1可能有兩種途徑，然后比擬兩個(gè)路程的大小從而求出AB的長(zhǎng)；3假設(shè)存在連接 DE，過點(diǎn)D在平面ABCD內(nèi)作DH丄EC,連接DiH ,根據(jù)二面角平面角的定義可知/ DiHD為二面角Di-EC - D的平面角，在直角三角形 EBC中求出BE的長(zhǎng)即可求出所求.解答：解：1證明：連接 ADi,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：AE丄平面 AD1, AD 1是ED1在平面AD i內(nèi)的射影.又/ AD=AA 1=1 , AD1 丄 A1D D1E丄A1D1三垂線定理2設(shè)AB=x , ：四邊形ADD 1A是正方形，小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的外表爬到點(diǎn)C1可能有兩種途徑，如圖甲的最

26、短路程為|AC1|= 匸如圖乙的最短路程為|AC 1=. | - 1 -I-/ x> 12 2 2- x +2x+2 > x +2+2=x +4 J 一廠x=2 9分3假設(shè)存在連接 DE，設(shè)EB=y，過點(diǎn)D在平面 ABCD內(nèi)作DH丄EC,連接D1H，那么/ D1HD為二面角D1 - EC - D的平面角， / D1HD= 11 分4 DH=DD 1=1 在 R EBC 內(nèi)，EC=.甘二-，而 EC?DH=DC ?AD即即存在點(diǎn)E,且了點(diǎn)B為：時(shí)，二面角D1 - EC - D的大小為 A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三垂線定理的應(yīng)用，以及與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，同時(shí)考查了推理能力和 計(jì)算

27、能力，屬于中檔題.20. 14 分2022?東莞一模 f x=x2+ax+aa<2, xR，gx=e x, 0x=fx?gx.1當(dāng)a=1時(shí)，求$ x的單調(diào)區(qū)間；2求g x在點(diǎn)0, 1處的切線與直線 x=1及曲線gx所圍成的封閉圖形的面積；3是否存在實(shí)數(shù) a,使$X的極大值為3?假設(shè)存在，求出a的值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；定積分在求面積中的應(yīng)用.專題：計(jì)算題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想.分析：1當(dāng)a=1時(shí)，$ x=x2+x+1e x .先對(duì)函數(shù)y= $ x進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0或小于0求出x的范圍，根據(jù)$'x> 0求

28、得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，$'xv 0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案.2先求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線方程.最后利用定積分的幾何意義求面積即可；3對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使$X的極大值為3,再利用導(dǎo)烽工具，求出$x的極大值，假設(shè)出現(xiàn)矛盾，那么說明假設(shè)不成立，即不存在；否那么存在.解答：解：1當(dāng) a=1 時(shí)，$ x=x2+x+1e x. $' x=e x- x2+x當(dāng) $' x> 0 時(shí)，0v xv 1 ;當(dāng) $' xv 0 時(shí)，x>

29、 1 或 xv 0 $x單調(diào)減區(qū)間，-R, 0， 1, + ，單調(diào)增區(qū)間為：0, 12k=g'0= - e x|x-0= - 1,切線方程為：y= - x+1 所圍成的封閉圖形的面積為S= j61ex+1 dx= .01e x+x - 1dx=-ex+丄 2 - y | L 丄 _ _!- J-嚴(yán) 丄廠2 e J 02亡3$x=2x+ae x- e xx2+ax+a=e x - x2+ 2-ax令 $'x=0,得 x=0 或 x=2 - a:X(0)0(0> 2-a)2-a(2+-0十0 g)極出極大由表可知，$ x極大=$ 2 a= 4 aea 2 設(shè)譏 a=4 - aea2,卩a=3 - aea-2>,卩玄在-R, 2上是增函數(shù)，a - 2譏 aw 2=2 v 3，即4 - ae 老,不存在實(shí)數(shù)a,使$ x極大值為3. 14分點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性