垂直于弦的直徑

1、垂直于弦的直徑教學設計一、教材依據(jù)人民教育出版社九年級數(shù)學（上冊）第24章圓第一節(jié)圓第二課時垂直于弦的直徑二、設計思想本節(jié)主要介紹圓的垂徑定理。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質，是圓的軸對稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關系的重要依據(jù)，同時也為實行圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù)，所以垂徑定理及其推論是本小節(jié)的重點，也是本章的重點內容。垂徑定理及其推論的條件和結論比較復雜，容易混淆，所以它也是本節(jié)的難點。萬事開頭難，九年級學生初識圓的性質，必然存有一定的困難，教學過程中一定要注意以下幾點：1、創(chuàng)設新穎的導入情境，讓數(shù)學貼近學生的生活實際。2、通過展圖片，制作演示折紙，培養(yǎng)學生動手操

2、作水平，促動學生參與教學意識形式。3、搜集圓在生活中的應用事例，充分利用教材，創(chuàng)造性的使用教材。4、讓學生從身邊的數(shù)學起步，提升興趣，降低理解難度，體驗成功的樂趣，培養(yǎng)自信心。三、教學目標知識與水平 通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性。 掌握垂徑定理及其推論，理解其證明，并會用它解決相關的證明和計算問題。過程與方法經歷探索垂徑定理及其推論的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法。情感、態(tài)度與價值觀 結合本課教學特點，向學生實行愛國主義教育和美育滲透。 激發(fā)學生探究、發(fā)現(xiàn)問題的興趣和欲望。四、教學重點垂徑定理、推論及其應用。五、教學難點發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理。六、教法選擇講授法、實驗法、演示

3、法、練習法。七、學法指導動手操作、觀察、歸納、自主探究。八、教學準備圓形紙片及扇形紙片，趙州橋照片。九、教學過程（一）情景引入（出示圖片）你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞和智慧的結晶，它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4m拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2m你能求出主橋拱的半徑嗎？通過本節(jié)課的學習，我們就會很容易解決這個問題。（二）實踐探究1、探究：用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？學生活動：學生動手操作，觀察操作結果，如圖1所示，能夠發(fā)現(xiàn)沿著圓的任意一條直徑對折，直徑兩旁的部分能

4、夠完全重合，由此能夠發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.教師活動：在學生歸納的過程中注意學生語言的準確性和簡潔性.2、思考：如圖2,AB是OO的一條弦，作直徑CD使CtXAR垂足為E.(1)這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？學生活動：(1)按下面的步驟做一做：第一步，在一張紙上任意畫一個O沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合；第二步，得到一條折痕CD第三步，在OO上任取一點A,過點A作C晰痕的垂線，D得到新的折痕，其中點E是兩條折痕的交點，即垂足；如圖2第四步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B,

5、如咳2由此能夠得到：AE=BEAC=BCAD=BD(2)證明結論：如圖2所示，連接OAOB得到等腰OAB即OXOB因CtUAB,故OAAOBE都是直角三角形，又OE為公共邊，所以兩個直角三角形全等，則AE=BE.又O。關于直徑CD對稱，所以A點和B點關于CD對稱，當圓沿著直徑CD對折時，點A與點B重合，AC與BC重合.所以AE=BEAC圮C同理得到AD=BD.教師活動：在學生操作、分析、歸納的基礎上，引導學生歸納垂直于弦的直徑的性質：垂直于弦的CD為直徑條件y-CD±AB直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條??；AC=BC,>結論<AE=BEAD=BD我們還能夠進一步得出：平分

6、弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩C兩直徑條件'A結論YIAE=BEAE=BE條弧.AC=BCCD±AB(AB非直徑)AD=BD垂徑定理的推廣：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果具備(1)過圓心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所對優(yōu)弧(5)平分弦所對的劣弧，上述五個條件中的任何兩個條件都能夠推出其他三個結論.簡稱“知二推三”。請學生思考：(1)為什么垂徑定理的推論中要附加“不是直徑”這個條件？你能舉例說明嗎?(2)利用這個垂徑定理的推論你能平分一條弦嗎？3、動動手：已知扇請你利用尺規(guī)作圖的方法作出屆的中點，說出你的作法.AB圖3分析：根據(jù)

7、基本尺規(guī)作圖能夠發(fā)現(xiàn)不能直接作出弧的中點，但是利用垂徑定理的推論只需要作出弧所對的弦的垂直平分線，垂直平分線與弧的交點就是弧的中點.作法：(1)連接AB(2)作AB的中垂線，交AB于點C,點C就是所求的點.4、小試身手：趙州橋問題，演示扇形圖片。如圖3,用AB表示橋拱、AB所在圓的圓心是點O,半徑為R,過O作OdAB于點D,OC與AB交于點C,則AD=BDAc=Bc所以CD為拱高，即此實際問題轉化為這樣一個數(shù)學問題：已知CD=7.2m,弦AB=37.4m,求此圓半徑.學生活動：學生觀察圖形，利用垂直于弦的直徑的性質分析圖形條件，發(fā)現(xiàn)若OQAB則有AD=BD且ADO直角三角形，在直角三角形中能夠

8、利用勾股定理構造方程.教師活動：方法總結：在學生解決問題的基礎上引導學生實行歸納：弦長、半徑、拱形高、弦心距(圓心到弦的距離)四個量中，只需要知道兩個量，其余兩個量就能夠求出來.解答設圓的半徑為R,由條件得到OD=R1一7.2,AD=AB=18.7,2在RtADO中AO2OD2AD2即：F2=18.72+(R-7.2)2解得F27.9(m).答：趙州橋的主橋拱的半徑約為27.9m.學以致用題目：某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道.如圖5所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂部距離為10cm,問修理人員應準備內徑多大的管道？圖6師生活動：讓學生在探究過程中,進一步把實際

9、問題轉化為數(shù)學問題,掌握通過作輔助線構造垂徑定理的基本結構圖，進而發(fā)展學生的思維.解答如圖8所示，連接OA過O作OHAB垂足為E交圓于F,則AE=1AB=302cm.令OO的半徑為R,貝UOA=ROEOF-EF=R-10.在RtAEO中，0尺=入+0巨，即F2=302+（R-10）2.解得R=50cm.修理人員應準備內徑為100cm的管道.（四）總結提升們同學們小結本節(jié)課內容：1、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。2、垂徑定理及其推論內容（知二推三）。3、垂徑定理的廣泛應用及其與勾股定理聯(lián)用。4、解決相關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件。（五）作業(yè)布置課外練習：教材P88練習1、2作業(yè)：習題24.1第1題，第8題，第9題.十、教學反思本節(jié)課學生對垂徑定理的理解有一定困擾，所以在講解時，協(xié)助學生剖析垂徑定理的條件和結論。使用垂徑定理解決問題，學生感到吃力，所以要增強這方面的應用，同時總結弦長