橢圓綜合測試題[含答案解析]36102

1、WORD格式.資料專業(yè).整理、選擇題:(本大題共12小題，每小題5分，共60分)2,長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(2 x (A)92 x (C) 一3632y =152 上=1 2022xy3(B)+ 1 =1 或95222.動點P到兩個定點F1 (- 4 ,x y(D) + 36 200) . F2 (4, 0)2y 二192=1或工+L=120 36的距離之和為8,則P點的軌跡為(A.橢圓 B.線段F1F2 C.23.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x '10直線F1F2D.不能確定=1,則橢圓的焦點坐標(biāo)為A. (- .10,0) B.(0, - 10)22C. (0, -3)D.(-3,0)

2、4.已知橢圓 L+L=1上一點P到橢圓的一焦點的距離為5 A. 2 5 -3B.2C.33,則P到另一焦點的距離是(D.62_，m x5.如果 2a=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍為(A. ( -2, ：m)B. -2,-1 . 2, " 1 C. ( -: -, -1) 1 (2,“三二)6.關(guān)于曲線的對稱性的論述正確的是()D.任意實數(shù)R的最大值為(A. 22211.橢圓 J - -y2a2 b2)B. 3C. 6D.= 1(a>b>0)的右焦點為F,其右準(zhǔn)線與足線段AP的垂直平分線過點 F,則橢圓離心率的取值范圍是(A) (0, (B) (0, - (

3、C) 72 1, 1)2212.若直線y = x + b與曲線y = 3 J4xx2有公共點,則A. 1-2. 2,1 2 2 x軸的交點為A.(D) 1,1)2b的取值范圍是(在橢圓上存在點P滿B. 1 - . 2 ,3C.-1, 1 2 2D. 1- 2. 2 ,3二、填空題：(本大題共4小題，共16分.)13若一個橢圓長軸的長度.短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2214 橢圓 +-y- = 1上一點P與橢圓兩焦點 F1, F2的連線的夾角為直角，則49 24RtAPFiF2的面積為.15 已知F是橢圓C的一個焦點， B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交 C于點D ,且B

4、F = 2 F D ,則C的離心率為16 已知橢圓c:土 + y2 = 1的兩焦點為Fi,F2,點P(x0,y°)滿足0<& + y：<1 ,則|PF/+PF2|的22取值范圍為三、解答題:(本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.A.方程B.方程 C.方程 D.方程7方程2x3x2x3x2ka2+ xy+y2 = 0的曲線關(guān)于X軸對稱-xy3_y=0的曲線關(guān)于Y軸對稱+ y2 =10的曲線關(guān)于原點對稱=8的曲線關(guān)于原點對稱217. (12 分)M為線段Py一，、一一 x2 =1 (a>b>0,k>0且 kw 1)與方程

5、)kb2a22L=1 b2(a>b>0)表示的橢圓(A.有相同的離心率；B.有共同的焦點；C.有等長的短軸.長軸;D.有相同的頂點.8.已知橢圓2C:x7相交于A、aB兩點.2 y b2、巧= 1(a> b> 0)的離心率為 ,過右焦點=t2F且斜率為k(k>0)的直線與C(A) 1若 AF =3FB，則 k =()(B)尬(C)由(D) 29 .若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是2. x已知點M在橢圓平2592=1±, M P'垂直于橢圓焦點所在的直線，垂直為P的中點，求P點的軌跡方程4A. 5B.10.若點O

6、和點F分別為橢圓C.2243D.=1的中心和左焦點，點 P為橢圓上的任意一點，則 OP FP2x18.(12分)橢圓45y =1(0<m<45)的焦點分別是E和F2,已知橢圓的離心率e=，5過中心 m3O作直線與橢圓交于 A , B兩點，O為原點，若ABF2的面積是20,求：(1) m的值(2)直線AB的方程(I)求動點P的軌跡方程；(n)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點 P使得 PAB與 PMN的面積相等？若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。22x y19 (12分)設(shè)F1, F2分別為橢圓C :-2+4=1 (a >b >0)的

7、左、右焦點，過 F2的直線l與橢圓 a bC相交于A, B兩點，直線l的傾斜角為60 , Fi到直線l的距離為2J3.,、c3ab , 、& 中 T T(I)求橢圓 C的焦距；(n)如果 AF2 =2F2B,求橢圓C的方程.22 (14分)已知橢圓 :+與=1 (a>b>0)的離心率e=,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的 a b2面積為4. ( I )求橢圓的方程；(n)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B,已知點A的坐標(biāo)為(-a, 0).2220 (12分)設(shè)橢圓C:與+*=1但Ab A0)的左焦點為F,過點F的直線與橢圓 C相交于A, B a b,4. 2(i)若| AB

8、|=,求直線l的傾斜角;5(ii)若點Q(0, y0)在線段AB的垂直平分線上，且 QAQB= 4.求y0的值.兩點，直線l的傾斜角為60o,AF=2FB.(1) 求橢圓C的離心率;(2)如果|AB|= 15 ,求橢圓C的方程.421 (12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點A (-1,1 )關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線 AP與BP的斜率之積等于 -13答案：D橢圓（一）參考答案1.選擇題:題號123456789101112答案BBCCBCABBCDD9整：設(shè)長軸為，短軸為初，焦距為江，則2"2c = 2x2*門 + 右=25 = ( += 45: = 4(& * -

9、c2)整理年 5c; + 2ac-3a: = 0 »匕5拿：+M-3 =Q ng =之或0=T皚，選B22210【解析】由題意，F(xiàn) (-1 , 0),設(shè)點P(x0, y0),則有x- +迎=1 ,解得y02 =3(1 x-),434/ 、大 /、 土 H /、2因為 FP =(% +1,y0), OP = (Xo,y0),所以 OP FP =%(% +1) + y021( a又 eC (0,1)故 eC J,1 jcc1-21或_ _aa2二、填空題：（本大題共4小題，共16分.）13若一個橢圓長軸的長度.短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2214 橢圓 上+工=1上一

10、點p與橢圓兩焦點 Fi, F2的連線的夾角為直角，則RPFiF2的面積49 24為.15 （2010全國卷1文數(shù)）（16）已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段 BF的延uiruir長線交C于點D ,且BF = 2FD ,則C的離心率為【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查322FP =x0(x0+1)+ 3(1 x) =x+x0+3 ,此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為 =2,了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點: 求到簡化問題的捷徑.“數(shù)研究形，形助數(shù)”,利用幾何性質(zhì)可尋解析：設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式因為2Ex0 <2,所以

11、當(dāng)x0 =2時，OP FP取得最大值2- + 2+3 = 6,選Q422上幺二a2b2設(shè) D( X2, y2) , F 分BD所成的比為2 ,Xc0 2x233=x2 = 2 = c; yc =22y2 =3yc-b 3 0-b-，代入2【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性 與最值等，考查了同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的熟練程序以及知識的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力。9 c24 a21 b2+2=1，=4b. 3e 二311 解析：由題意，橢圓上存在點P,使得線段AP的垂直平分線過點 F ,即F點到P點與A點的距離相等16 （2010湖北文數(shù)）已知橢圓2c: +

12、 y2 = 1的兩焦點為22F",點P(x0,y0)滿足0喘十",2,2ab_ 一一而| FA| =c =| PF| C a c, a+ c于c cb2C a c, a + cc則IPF1I+ PF2I的取值范圍為【解析】依題意知，點1.2, 2 2 ,0。【答案】'P在橢圓內(nèi)部.畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)P在原點處時即 ac c2 & b2< ac+ c2ac -c2 - a2 - c2a2 -c2 三 ac c2(I PF1 | + IPF2 |)max = 2 ,當(dāng)P在橢圓頂點處時，取到（l PF1 |+|PF2 "max為(2 -1

13、) ( 2 1) =2 2212.22y2 = 1故范圍為 J.因為（x°,y。）在橢圓2的內(nèi)部，則直線x xo.- y yo =12上的點（x, y）均在橢圓外，故此直線與橢圓不可能有交點，故交點數(shù)為二.填空題：0個.（n ）如果 AF2 = 2F2B,求橢圓C的方程.解：（I）設(shè)焦距為2c ,由已知可得E到直線i的距離J3c= 2j3c= 2.133 14 2415531632 , 2一2 , 0所以橢圓C的焦距為4.(n)設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2),由題意知 y1 < o, y2 A o,直線 l 的方程為 y= J3(x- 2).解答題:17.解：設(shè)P點

14、的坐標(biāo)為p（x, y）, m點的坐標(biāo)為（x0, y0）,由題意可知y - . 3( x- 2),_聯(lián)立 <y22 得(3a2 + b2)y2 + 4T3b2y3b4= o.-x- -y- = 1a2 b21x =x0 y =2 VoXo =x22因為點m在橢圓2+L=1上，所以有259解得y1=-Wb2 (2 2a)3a2 b2-x 3b2(2- 2a)3a2 b2.因為 AF2=2F2B,所以y1 = 2y2.2225+'1，把代入得25 36=1,所以P點的軌跡是焦點在 y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程.3b2(2 2a)3a2 b2-x 3b2(2-2a)3a2 b2得 a = 3.而a2

15、 - b2 = 4,所以 b=J5.22X y為十 =1的橢圓.25 3622故橢圓C的方程為上+上=195c18.解：（1）由已知e =一 a=-,a =/45 = 3V5 ,得 c = 5 ,所以 m = b2 = a2 -c2 = 45 - 25= 2。320 （2010遼寧理數(shù)）（2o）（本小題滿分12分）22設(shè)橢圓C： S+guMaAbAo）的左焦點為 a2b2F,過點F的直線與橢圓C相交于A, B兩點,（2）根據(jù)題意 SABSF1F2B = 20,設(shè) Bx,y），則 SF1F2B=今 F1Fv , IF1F2 =2c = 1o,2 2所以y =±4,把y=±4代

16、入橢圓的方程x-+_y_=1 ,得x=±3,所以B點的坐標(biāo)為（±3,±4）, 45 2o 一、一 4 ,4所以直線AB的方程為y = x；g£y = - x3 319（2o1o遼寧文數(shù)）（本小題滿分12分）22_x y_._設(shè)F1 , F2分別為橢圓C : +2t=1 （a >b>o）的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交 a b于A, B兩點，直線l的傾斜角為6oc , F1到直線l的距離為2J3.（I）求橢圓C的焦距；直線l的傾斜角為6oo, AF = 2FB .(I)(II)求橢圓C的離心率；如果|AB|=,求橢圓C的方程.4解：設(shè)

17、A(k, y1), B(x2, y2),由題意知 y1V o, y2 >o.（i）直線i的方程為y 二聯(lián)立y2x,a2y = . 3 (x- c)其中 c =、a2 - b2.、.3( x- c),_y2得(3a2 + b2) y2 + 2V3b2cy -3b4= o1 =1b2解得y1 -i.3b2(c 2a)-、,3b2(c-2a)因為_ 223a bAF=2FB,.3b2(c 2 a)_ 223a b得離心率e-c橢圓所以, y2 =223a b-yi = 2 y2 .-、,3b2(c-2a)_ 223a b則直線AP的方程為y 1="y"(x+1),直線BP的

18、方程為y+1 = &U(x1) x0 1x0 - 1(n)因為,所以15,得4生 3ab2 1522 3a b 422C的方程為土十匕=19512分21 (2010北京理數(shù))(19)(本小題共14分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點B與點A (-1,1 )關(guān)于原點 O對稱，P是動點，且直線 AP與BP的斜1率之積等于-13(I )求動點P的軌跡方程；(II)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點 P使得 PAB與4PMN的面積相等？若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。令 x = 3 得 yM = 4y0 + x0.3, y, = 2yL比 + 3. x0

19、1Xo-1于是 L PMN得面積s_ J3x |x0y0 |(3S p mn- - |y M y N (30x ).-2-2|Xo - 1 |又直線AB的方程為x+y=0, |AB |= 2J2 ,點P到直線AB的距離d = 1 x0=y0 1 ,2于是L PAB的面積1S PAB = 2 1 AB Ld - 1 x0 y0 12當(dāng) S S|xo y。1"%)當(dāng) S PAB 一 S PMN 時，仔 | x0 + y0 F ； 2 T.一|Xo -1|225所以(3-Xo) =|Xo -1|,解得 |Xo=一。3因為 x02 + 3y02 = 4 ,所以 y0 = ±-339

20、(I)解：因為點B與A(1,1)關(guān)于原點O對稱，所以點B得坐標(biāo)為(1,1).故存在點P使得L PAB與PMN的面積相等，此時點 P的坐標(biāo)為(-,±33). 39設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, y)由題意得 y1y1 = -1 化簡彳導(dǎo)x2 +3y2 =4(x#±1).x 1 x -1322故動點P的軌跡萬程為x +3y =4(x#±1)(II)解法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為(入»。)，點M , N得坐標(biāo)分別為(3垓)，(3%).解法二：若存在點 P使彳#L PAB與PMN的面積相等，設(shè)點 P的坐標(biāo)為(x0, y0)1 I1 I則一I PA|L| PB |sin APB -

21、 - | PM L| PN |sin MPN . 22IPAI I PN I因為 sin/APB = sin/MPN ,所以 JL = J1I PM | | PB |_ 2_ 216k - 4/曰2-8k由2x1 =2-,得 x1 =2 .從而 y11 4k1 4k4k 2 .1 4k所以 |x0 +1| =|3-x01 即(3_x0)2 q%21| ,解得 % =5 因為 x02+3y02=4 ,所以 |3 -Xo | |x-1|3y0 = ±變故存在點P S使得PAB與PMN的面積相等，此時點 P的坐標(biāo)為(與土'竺). 939所以| AB| =2_2_8k”1 + 4k2

22、 j144k24.1k221 4k222 (2010天津文數(shù))(21)(本小題滿分14分)=1 (a>b>0)的離心率e=4,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.,4.24、1 k2由 | AB |=,得251 4k28k2 2k 、 1 + 4k2 ,1+4k2 ,(I )求橢圓的方程；(n)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點 A、B,已知點A的坐標(biāo)為(-a, 0).4 2(i)若| AB|= 42,求直線l的傾斜角;5(ii)若點Q(0, y0)在線段ab的垂直平分線上，且 QA|_QB=4 .求y0的值.【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點間的距離

23、公式、直線 的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考 查綜合分析與運(yùn)算能力.滿分14分.整理得 32k4 9k2 23 = 0 ,即(k2 1)(32k2 + 23)= 0,解得 k=±1.所以直線l的傾斜角為三或更44(ii )解：設(shè)線段 AB的中點為M,由(i )得到M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：(1)當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)是(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸，于QA = (-2,-y0 ),QB=(2, y0).由 QAQB = 4,得 丫0 = 土2&。C 4399999(I)解：由 e=-=，得 3a =4c .再由 c =a b ,解得 a=2b. a 2(2)當(dāng)k#0時，線段AB的垂直平分線方程為 y-2k1 4k2