“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、2018年“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題考試時(shí)間2018年3月18日9:0011：00滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1.若關(guān)于x的方程4x24mx3m10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m34m24m2的值為（）A.3B.2C.1D.12 .如圖，ABCD、DEFG都是正方形，邊長(zhǎng)分別為m、n（mn）。坐標(biāo)原點(diǎn)。為AD的中點(diǎn)，A、D、E在y軸上。若二次函數(shù)ax2的圖像過C、F兩點(diǎn),A.向1B.應(yīng)1C.2731D.2421（第2題圖）（第

2、3題圖）（第4題圖）1,BC ,過D、G的直線父23 .如圖，G為4ABC的重心，點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上，且BDAEAC于點(diǎn)E，則記（）D.4.如圖，H、O分別為4ABC的垂心、外心,BAC45,若ABC外接圓的半徑為2,貝UAH()A.2x/3B,22C,4D.V315 .滿足方程x24xy19y2151的整數(shù)對(duì)屋，丫）有（）A.0對(duì)B.2對(duì)C.4對(duì)D.6對(duì)二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6 .已知a,b,c為正整數(shù)，且abc。若bc,ac,ab是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方，則a2b2c2的最小值為。7 .如圖，ABCD為矩形，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，A、B在x軸上。若函數(shù)y4（x0）x8

3、.如圖，ABC是邊長(zhǎng)為8的正三角形，D為AB邊上一點(diǎn)，OOi為AACD的內(nèi)切圓，。2為4CDB的邊DB上的旁切圓。若OOi、。2的半徑都是r,則r。9 .若實(shí)數(shù)x滿足x2x3x2018,則4x。其中x表示不超過x的最大整數(shù)。10 .網(wǎng)絡(luò)爬蟲是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁抓取工具。其算法與數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支圖論有著密切的聯(lián)系。圖論可以追溯到大數(shù)學(xué)家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”。圖論中討論的圖是由一些節(jié)點(diǎn)和連接這些節(jié)點(diǎn)的線組成的。請(qǐng)你回答下列問題：把一個(gè)矩形區(qū)域劃分成n個(gè)凸多邊形區(qū)域（這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒有公共部分）。已知構(gòu)成這n個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)中，恰有6個(gè)頂點(diǎn)在矩形內(nèi)，12個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊界上（含

4、矩形的頂點(diǎn)）；同時(shí)，任何三個(gè)頂點(diǎn)不共線（除矩形邊界上的頂點(diǎn)共線外）。若圍成這n個(gè)凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區(qū)域內(nèi)，則這n個(gè)凸多邊形中四邊形個(gè)數(shù)的最大值為。三、解答題(共4題，每小題20分，共80分)11 .已知二次函數(shù)y2x24bxc的圖像交x軸于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn)，且x2 &x1x2262,。右函數(shù)y 2x 4bx c在b51 x b 3上的最小值為6,求b, c的值。12 .如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ABAD,M是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)角線BD上，且滿足BANCAM。(第12題圖)求證：MN/AC。13已知關(guān)于x的方程x2kxk99990的兩根都是

5、素?cái)?shù)，求k的值。14.一個(gè)由36個(gè)單位小方格組成的66的方格表中的n個(gè)小方格被染成了紅色，使得任意兩個(gè)紅色小方格的中心之間的距離大于2，求n的最大值。2018年“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)考試時(shí)間2018年3月18日9:0011：00滿分150分一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分)。每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分)1 .若關(guān)于x的方程4x24mx3m10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m34m24m2的值為()A.3B.2C.1D.1【答案】A【解答】依題意，16m2

6、16(3m1)0。因此，m23m10。.22m3m1,m3m1。.322_2_._m4m4m2m(3m1)4m4m2m3m2123。2 .如圖，ABCD、DEFG都是正方形，邊長(zhǎng)分別為m、n(mn)。坐標(biāo)原點(diǎn)。為AD的中點(diǎn)，A、D、E在y軸上。若二次函數(shù)yax2的圖像過C、F兩點(diǎn)，則()mA.731B,721C.2731D.2421【答案】B【解答】依題意，點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,m),點(diǎn)F的坐標(biāo)為2由二次函數(shù)m 2一 am2yax2的圖像過C、F兩點(diǎn)，得（第2題圖）,消去a,得n22mnm20。m2na（n）2（口）2210,解得正1（舍負(fù)根）。mmmn213.如圖，G為4ABC的重心，點(diǎn)D在CB延

7、長(zhǎng)線上，且BD1,-BC,過D、G的直線父2AC于點(diǎn)E,則空（）ACA.B.C.D.【答案】【解答】如圖，連AG,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F1VG為4ABC的重心，且BD-BC,2一AG2F為BC中點(diǎn)，且-,DBBFFCGF1過點(diǎn)F作FM/DE,交AC于點(diǎn)M。貝(JCMCF1生AG2CECD3?EMGF1設(shè)CMk,WJCE3k,EM2k,AE4k。AC7k,AEAC4k47k7另解：如圖，連AG,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F1G為4ABC的重心，且BD1BC,2F為BC中點(diǎn)，且旭2,DBBFFCGF1FD2AG2DC3'GF1一AFC中,利用梅涅勞斯定理，得DCCA住2CE2(CE31,-。3EA1EA

8、4AE4-oAC74.如圖，H、O分別為4ABC的垂心、外心,BAC45,若ABC外接圓的半徑為（第4題圖）2,貝UAH（）A.2點(diǎn)B.2金C.4D.731【答案】B【解答】如圖，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)D,連HC、DA。V。為4ABC的外心，BD為。直徑，DCBC,DAAB。又H為zABC的垂心，AHBC,CHAB0AH/DC,CH/DA。一四邊形AHCD為平行四邊形，AHDC。VBAC45,4ABC外接圓的半徑為2,BDCBAC45,BD4。AHDC2艮5.滿足方程x24xy19y2151的整數(shù)對(duì)屋，丫）有（）A.0對(duì)B.2對(duì)C.4對(duì)D.6對(duì)【答案】C【解答】方程x24xy19y2151化為

9、（x2y）215115y2。依題意，A15115y2為完全平方數(shù)。由A15115y20,得y2包。結(jié)合y為整數(shù)，得y21510。故，y20,1,4,9。當(dāng)y2當(dāng)y2當(dāng)y20時(shí)，A15115y2151,不是完全平方數(shù)1時(shí)，A15115y2136,不是完全平方數(shù),4時(shí)，A15115y291,不是完全平方數(shù)。當(dāng)y29時(shí)，A15115y21642。、八y29y3方程化為y2，即2，或(x2y)216(x6)216y3(x6)216y3，或y3x64x6x10x2x，或，或y3y3y2,或x103y3滿足方程的整數(shù)對(duì)有（103)、(2,3)、3)、(10,3),共4對(duì)。(第7題答題圖)、填空題(共5小題

10、，每小題7分，共35分)6.已知a,b,c為正整數(shù)，且abc。若bc,ac,ab是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方，則a2b2c2的最小值為?！敬鸢浮?297【解答】依題意，設(shè)bc(n1)2,則acn2,ab(n1)2,n為正整數(shù)，且n12(abc)(n1)2n2(n1)23n22,可見n為偶數(shù)，且abc3n2。22A22An4n,n2n4na,b,co222可見，n6,且當(dāng)n增大時(shí)，a2b2c2的值也隨之增大。又n6時(shí)，a30,b19,c6符合要求。a2b2c2的最小值為302192621297。7.如圖，ABCD為矩形，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，A、B在x軸上。若函數(shù)y-(x0)x的圖像過D、E兩點(diǎn)，則矩

11、形ABCD的面積為【答案】8【解答】設(shè)口牧口川口九E(Xe,yE),則XdYdXeYe4。作EFAB于F,由E為AC中點(diǎn)，得F為AB中點(diǎn)，且1 -1EF-BC-AD02 2yD2yE。結(jié)合XeyEXdyDXd2yE,得XE2xD°OAAF,AB2AF20A2xD。矩形ABCD的面積SABAD2xDyD8。8.如圖，ABC是邊長(zhǎng)為8的正三角形，D為AB邊上一點(diǎn)，OO1為4ACD的內(nèi)切圓,。2為4CDB的邊DB上的旁切圓。若OOi、。2的半徑都是r,【答案】【解答】于點(diǎn)G、H、.3如圖，設(shè)OO1切4ACD的三邊AC、CD、DA依次E,邊DB切。2于點(diǎn)F,CD、CB的延長(zhǎng)線切。2于點(diǎn)M、N

12、則由。O1、。2的半徑都是r,ABC為正三角形，以及切線長(zhǎng)性質(zhì)定理，得AGAE.3BFBNr30CMCN833r3EFHMCMCH(8-3r)3(8屆433rABAE.3一r38.3r3（第8題圖）9.若實(shí)數(shù)x滿足x2x3x2018,則4xo其中x表示不超過x的最大整數(shù)?！敬鸢浮?346【解答】設(shè)xam,則x2x3xa其中a為整數(shù)，0m1。2(am)3(am)6a2m3mo數(shù)。一1.當(dāng)0m一時(shí)，2m3,12.當(dāng)一m一時(shí)，2m23對(duì)任意實(shí)數(shù)x,x201863362x336m,其中4x4(336m)3m1°；當(dāng)3m二時(shí),22m3m011;3m2x2;1時(shí)，2m3m123。3x2x的值具有

13、形式:3x2018。6k,6k2,6k3,k為整3364m134421346。10.網(wǎng)絡(luò)爬蟲是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁抓取工具。其算法與數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支圖論有著密切的聯(lián)系。圖論可以追溯到大數(shù)學(xué)家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”。圖論中討論的圖是由一些節(jié)點(diǎn)和連接這些節(jié)點(diǎn)的線組成的。請(qǐng)你回答下列問題：把一個(gè)矩形區(qū)域劃分成n個(gè)凸多邊形區(qū)域(這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒有公共部分)。已知構(gòu)成這n個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)中，恰有6個(gè)頂點(diǎn)在矩形內(nèi)，12個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊界上(含矩形的頂點(diǎn))；同時(shí)，任何三個(gè)頂點(diǎn)不共線(除矩形邊界上的頂點(diǎn)共線外)。若圍成這n個(gè)凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區(qū)域內(nèi)，則這n個(gè)凸多邊形中四邊

14、形個(gè)數(shù)的最大值為。9【解答】設(shè)這n個(gè)凸多邊形中，有k3個(gè)三角形，k4個(gè)四邊形，k5個(gè)五邊形，km個(gè)m邊形。則這n個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和為k3(32)180k4(42)180k5(52)180Lkm(m2)180。另一方面，矩形內(nèi)部有6個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)于每個(gè)頂點(diǎn)，圍繞它的多邊形的內(nèi)角和為360。矩形邊界線段內(nèi)(不含矩形頂點(diǎn))有8個(gè)頂點(diǎn)，在每個(gè)頂點(diǎn)處，各多邊形在此匯合成一個(gè)平角，其和為180。在矩形的每個(gè)頂點(diǎn)處，各多邊形在此匯合成一個(gè)直角，具和為90。因此，這n個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和為63608180490。k3(32)180k4(42)180k5(52)180Lkm(m2)18063608180490。k32

15、k43k5L(m2)km22。再考慮這n個(gè)凸多邊形的邊數(shù)。由于每個(gè)凸m邊形有m條邊，因此，這n個(gè)凸多邊形的邊數(shù)和為3k34k45k5Lmkm另一方面，由條件知，在矩形內(nèi)部的18條邊，每條邊都是兩個(gè)凸多邊形的公共邊，應(yīng)計(jì)算2次。而在矩形邊界上的12個(gè)點(diǎn)，得到12條線段，它們都對(duì)應(yīng)某個(gè)凸多邊形的邊。因此,這n個(gè)凸多邊形的邊數(shù)和為1821248。3k34k45k5Lmkm48。由、，消去k3,得k42k5L(m3)km9。k49。k4的最大值為9,即這n個(gè)凸多邊形中，最多有9個(gè)又如圖所示的劃分符合要求，此時(shí)，k34,k49四邊形11 .已知二次函數(shù)y 2x2X2XX1x226若函數(shù)y2x24bx c

16、在b 1 x b 3上的最小值為 6,求b, c的值。【解答】函數(shù)y 2x2 4bx c的圖像交x軸于A(x ,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),2xi , x2是方程2x 4bx c 0的兩個(gè)頭根xiX22b , x1 x22xi2x222(xi x2)2x2 (xi x2)*2Kx2265，4 b2c226210b 9c。10分三、解答題(共4題，每小題20分，共80分)4bxc的圖像交x軸于A(,0)、B(X2,0)兩點(diǎn)，且y2x24bxc2(xb)2c2b2,在b1xb3上的最小值為6。xb1時(shí)，y6。2c2b2615分由、，解得c10,b3。b3,c10。20分12.如圖，在圓內(nèi)接四邊形AB

17、CD中，ABAD,M是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)角線BD上，且滿足BANCAM。求證：MN/AC。【解答】VABAD,ADBABD。ACMADBABDABN。又CAMBAN,AABNACM。ABBN不二。ACCM5分設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)E,BAECAB,ABEACB。ABEszaCB。ABBE0ACCB10分又M為BC邊中點(diǎn),CM結(jié)合ABACBNCMBNoBM結(jié)合,/日BE得CBABACBNBMBMBCBNobe15分MN/EC,即MN/AC。20分13.已知關(guān)于x的方程x2kxk99990的兩根都是素?cái)?shù)，求k的值。【解答】設(shè)方程x2kxk99990的兩根分別為p、q,則由韋達(dá)定理，知pqk,pq

18、pq9999。pqk9999(p1)(q1)1000024545分顯然p,q都不等于2,因此，p,q都是奇數(shù)。10分UU2254。22T中有一個(gè)數(shù)為奇數(shù)，不妨設(shè)上1 , 一 ,為奇數(shù)，則25m，其中 m 1, 2, 3, 4。1時(shí),2時(shí),3時(shí),9,不是素?cái)?shù)，舍去；49,不是素?cái)?shù)，舍去；249 ,不是素?cái)?shù)，舍去。4時(shí),1249是素?cái)?shù)。此時(shí)，2也是素?cái)?shù)。1249 ,q 7 , k p q 1256 ,符合要求。15分54,不妨設(shè)p當(dāng)P_J45054時(shí),3,2499q不是素?cái)?shù)，舍去;當(dāng)P_J45119499p , q都是素?cái)?shù);當(dāng)P_J45252時(shí),99p, q都不是素?cái)?shù)，舍去;19綜上所述,q 499 , kk 518,或 kq 518,符合要求