斜拉橋非線性分析

1、斜拉橋幾何非線性分析方法綜述摘要:近些年來，隨著我國交通建設(shè)事業(yè)的發(fā)展，需要修建大跨度的橋梁以滿足交通的要求，斜拉橋以其美觀的造型和經(jīng)濟(jì)跨度，成為大跨度橋梁中非常有競爭力的橋型之一。本文介紹了斜拉橋幾何非線性分析的基本理論，闡述影響斜拉橋幾何非線性的三個主要因素:大變形、斜拉索垂度效應(yīng)和彎矩與軸力的組合效應(yīng)，并介紹了幾何非線性方程的求解方法以及非線性分析中的兩個重要的問題。關(guān)鍵詞:斜拉橋;幾何非線性分析;非線性方程求解1概況斜拉橋是一種由橋塔、斜拉索和主梁構(gòu)件組成的組合橋梁結(jié)構(gòu)體系，是一種橋面體系受壓，支承體系受拉的橋梁形式。這種結(jié)構(gòu)形式節(jié)奏明快，韻律感強(qiáng)烈，受力均勻，更主要的是他有優(yōu)越的經(jīng)濟(jì)

2、跨度。其橋面體系由加勁梁構(gòu)成，其支承體系由鋼索組成。是一種跨越能力較大的橋梁結(jié)構(gòu)形式。其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是由塔柱伸出的斜拉索為主梁的彈性支撐代替中間支撐，借以降低主梁的截面彎矩，減輕自重，顯著的增加跨越能力。同時，斜拉索拉力的水平分力對主梁起著預(yù)應(yīng)力的作用，能夠增強(qiáng)主梁的抗裂性。1.1斜拉橋的發(fā)展歷史現(xiàn)代斜拉橋的歷史雖短，但是利用斜向纜索、鐵鏈或鐵桿，從塔柱或桅桿懸吊梁體的工程構(gòu)思以及實(shí)際應(yīng)用可追朔到16世紀(jì)，1938年德國工程師迪辛格爾在研究一座雙線鐵路懸索橋時，發(fā)現(xiàn)在高應(yīng)力狀態(tài)下用高強(qiáng)鋼索作為斜纜，可以顯著提高橋梁的剛度。1955年，他設(shè)計并建成的瑞典斯特姆斯(stromsund)鋼斜拉橋，其跨徑

3、是74.7+182+747m，塔是門形框架，拉索輻射形布置，加勁梁由兩片板梁組成。在現(xiàn)代斜拉橋歷史上寫下了第一頁.20世紀(jì)60年代初期，結(jié)構(gòu)分析有了新的突破，采用計算機(jī)分析技術(shù)，導(dǎo)致密束體系的產(chǎn)生。密索體系的優(yōu)點(diǎn)是減輕了主梁自重，簡化了斜拉索的錨固裝置，有利于懸臂施工，增強(qiáng)了抗風(fēng)穩(wěn)定性，從而進(jìn)一步提高了斜拉橋的跨越能力。此后,由于有限元的出現(xiàn)和電算技術(shù)的發(fā)展,高強(qiáng)度優(yōu)質(zhì)新型鋼材的大量生產(chǎn),模型試驗(yàn)技術(shù)和預(yù)應(yīng)力混凝土技術(shù)的飛速發(fā)展,使斜拉橋在近30年間取得突破性的發(fā)展.近幾年,中國和世界各國相繼出現(xiàn)了修筑斜拉橋的高峰期。從80年代末開始了大跨徑斜拉橋的設(shè)計與施工，至今己建成跨徑大于20Om的斜拉

4、橋近50余座，其中跨徑超過4O0m的已有18座。由于混凝土斜拉橋造價低廉，在我國得到最優(yōu)先展，我國也是世界上建造混凝土斜拉橋最多的國家。目前，我國已建成的蘇通大橋，一躍成為世界上跨度最大的斜拉橋，斜拉橋主孔跨度IO88m，列世界第一;主塔高度3O6m，列世界第一;斜拉索的長度580m，列世界第一;群樁基礎(chǔ)平面尺寸113.75mx48.lm，列世界第一。這些大跨度斜拉橋的建成標(biāo)志我國斜拉橋的建造技術(shù)達(dá)到了世界先進(jìn)水平。由于斜拉橋良好的力學(xué)性能、建造相對經(jīng)濟(jì)、景觀優(yōu)美，已成為大跨徑橋梁建設(shè)中最有競爭力的橋型。新世紀(jì)里斜拉橋?qū)缪莞又匾慕巧?。我國分別于2002年和2003年動工建造的特大跨徑斜拉

5、橋一江蘇蘇通大橋、香港昂船洲大橋則堪稱世界橋梁建設(shè)史上里程碑式的項(xiàng)目。1.2斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)斜拉橋結(jié)構(gòu)由塔、索、梁組成，結(jié)構(gòu)體系豐富多彩。按塔的數(shù)量，可分為單塔和雙塔；按索面數(shù)可分為單索面和雙索面；按索的形狀可分為放射形、扇形、豎琴形。在密索體系的前提下，按塔、梁和墩的相互連接方式，可分為塔墩固結(jié)、塔梁固結(jié)、塔梁墩固結(jié)和漂浮體系等。 斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是由索塔引出的斜拉索作為梁跨的彈性中間支撐，以降低梁跨的截面彎矩，減輕梁重，提高了梁的跨越能力。此外，斜拉索的水平分力對主梁產(chǎn)生軸向預(yù)加壓力的作用，此水平分力增強(qiáng)了主梁的抗裂性能，減少了高強(qiáng)度鋼材的用量。 1.3斜拉橋幾何非線性分析的現(xiàn)狀自從本世紀(jì)

6、60年代以來，各國的學(xué)者就開始研究斜拉橋靜力幾何非線性行為。德國學(xué)者Ernst將斜拉索看成直桿，提出采用等效彈性模量雙。來考慮斜拉索自重垂度引起的非線性。F.LeonhardiTang，也得出了與Ernst一樣的結(jié)果。Ozdemir采用拉格朗日函數(shù)插值法，Jayaraman用小應(yīng)變彈性懸連線法，Gamblli:用曲線單元法，來模擬纜索的非線性行為。這些方法中以等效彈性模量法最為簡便，因此被普遍采用。1971年，M.C.Tang根據(jù)斜拉索的受力分析及塔柱和主梁小撓度平衡微分方程，用虛擬荷載模擬梁一柱效應(yīng)及斜拉索垂度和轉(zhuǎn)角變化，采用傳遞矩陣法分析了斜拉橋的幾何非線性。由于建立的平衡方程是基于斜拉橋

7、的初始未變形位置及小撓度的平衡微分方程，該法不能考慮結(jié)構(gòu)大位移問題。1978年，J.F.Fleming用等效彈性模量考慮斜拉索垂度效應(yīng)，用穩(wěn)定函數(shù)考慮壓一彎構(gòu)件的梁一柱效應(yīng)，用拖動坐標(biāo)系考慮大位移的影響，用迭代法對非線性方程進(jìn)行求解，給出了考慮斜拉橋幾何非線性的平面分析程序。1989年，Nazmy等將Fleming的穩(wěn)定函數(shù)理論推廣到空間來考慮梁、塔等構(gòu)件的梁一柱效應(yīng)，用Ernst公式考慮拉索垂度效應(yīng)。再與結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣疊加，以橫載狀態(tài)下的切線剛度矩陣作為活載分析的起始狀態(tài)，用荷載增量法對斜拉橋進(jìn)行幾何非線性分析。1996年，P.H.Wang與C.GYang用Ernst公式考慮拉索垂度效應(yīng)，

8、用穩(wěn)定函數(shù)考慮梁一柱效應(yīng)，用轉(zhuǎn)換系數(shù)考慮大位移影響，用增量法和迭代法求解非線性方程，分析了各種非線性因素對斜拉橋靜力行為的影響。我國學(xué)者對斜拉橋的幾何非線性也進(jìn)行了廣泛的理論分析與試驗(yàn)研究。程慶國、潘家英等總結(jié)了斜拉橋幾何非線性研究的現(xiàn)狀，對各種斜拉橋幾何非線性分析方法做了總結(jié)，指出:(1)等效彈性模量法用直桿單元模擬斜拉索，給斜拉橋的分析帶來了很大方便，而且效果很好。但是當(dāng)斜拉索兩端節(jié)點(diǎn)位移比較大時，等效彈性模量法具有一定的局限性;(2)分析梁一柱效應(yīng)時可采用幾何剛度矩陣法和穩(wěn)定函數(shù)法，其中穩(wěn)定函數(shù)法具有比較高的精度，是處理梁一柱非線性的經(jīng)典有效的方法;(3)目前己有的斜拉橋非線性計算理論可

9、大致分為切線模量表達(dá)的增量求解法和割線模量表達(dá)的全量求解法;理論框架可分為總體拉格朗日描述(T.L.)和修正拉格朗日描述(U.L)。但是斜拉橋非線性有限位移理論在有限元格式的建立過程中作了不同程度的簡化和近似。因此，所得到的計算模型也不盡相同。從現(xiàn)有的各種非線性計算方法存在的差異可以看出，大跨度斜拉橋的非線性計算理論還有待進(jìn)一步深入研究，這大致可以歸納為以下三個方面:（1）斜拉橋各種非線性單元模式合理性及其精度的研究;（2）斜拉橋幾何非線性描述參考構(gòu)形及非線性求解方法的研究;（3）斜拉橋有限元離散方法、結(jié)構(gòu)模型化方法對幾何非線性分析結(jié)果的影響研究。綜上所述，早期對斜拉橋的幾何非線性分析中，除用

10、Ernst公式修正彈性模量考慮斜拉索垂度效應(yīng)外，基本上按線彈性的理論進(jìn)行分析。進(jìn)入70年代以來，開始用幾何剛度矩陣或穩(wěn)定函數(shù)來考慮幾何非線性中的梁一柱效應(yīng)，并用增量法、迭代法或增量一迭代法進(jìn)行非線性方程的求解，分析各種非線性因素對斜拉橋受力和變形的影響。目前，己發(fā)展為采用基于非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論的T.L.列式法或U.L.列式法來分析大跨度斜拉橋的幾何非線性。2.大跨度斜拉橋幾何非線性分析的主要影響因素斜拉橋是由橋塔、主梁、斜拉索構(gòu)成的組合結(jié)構(gòu)，在荷載作用下，錨固于橋塔上的斜拉索為梁跨提供了彈性支承，而斜拉索的水平分力對主梁產(chǎn)生軸向預(yù)加壓力的作用。斜拉索在自重作用下存在較大的垂度，而橋塔、主梁

11、處于壓、彎荷載組合作用下，因此，斜拉索的存在使得斜拉橋成為一種柔性結(jié)構(gòu)。歸納起來，斜拉橋的幾何非線性來自三個方面：(1)斜拉索垂度的效應(yīng)；(2)軸力與彎矩組合效應(yīng)；(3)大變形產(chǎn)生結(jié)構(gòu)幾何形狀變化引起的非線性效應(yīng)。下面結(jié)合斜拉橋幾何非線性問題，分別討論上述三種非線性因素的處理。2.1斜拉索垂度效應(yīng)斜拉索作為一種柔性構(gòu)件，在自重和軸力作用下將呈懸鏈線線形。斜拉索的軸向剛度隨垂度而改變，而垂度又取決于斜拉索張力，因此斜拉索張力與變形之間存在著明顯的非線性。在荷載作用下，斜拉索兩端的相對運(yùn)動受三個因素影響：（1）索受力后產(chǎn)生的應(yīng)變可認(rèn)為是線彈性的，受索材料彈性模量控制；（2）在荷載作用下，索中各股鋼

12、絲作相對運(yùn)動，重新排列的結(jié)果使橫截面更為緊密。這種變形引起的構(gòu)造伸長大部分是永久持續(xù)的，它發(fā)生在一定的張力下，一般可在斜拉索制作過程中，用預(yù)張拉的辦法來消除；而非永久性的伸長會導(dǎo)致索材料有效彈性模量的降低；（3）在荷載作用下，索中除產(chǎn)生應(yīng)變外，還會導(dǎo)致索垂度變化，這種垂度變化與材料應(yīng)力無關(guān)，完全是幾何變化的結(jié)果，它受索內(nèi)張力、索長和索自重分布控制。索抗拉剛度隨軸力變化而變化，垂度變化與索拉力不是線性關(guān)系。斜拉橋纜索產(chǎn)生的非線性隨著斜拉索自重及水平投影長度的增加而增加，隨著斜拉索預(yù)拉力的增大而減小。對于大跨度斜拉橋，斜拉索產(chǎn)生的非線性效應(yīng)在全橋非線性效應(yīng)中占有相當(dāng)?shù)谋戎?。因此，合理地描述斜拉索?/p>

13、非線性特性在斜拉橋分析中起著重要的作用。 2.1 斜拉索受力及變形示意圖考慮斜拉索一個比較簡單而且適用的方法是把它視為與它的弦長等長度的桁架直桿,其等效彈性模量包括材料變形、構(gòu)造伸長和垂度變化3 個因素的影響,其表達(dá)式為: 經(jīng)過這樣處理后,斜拉索的單元剛度矩陣和空間或平面桿件系統(tǒng)的剛度矩陣基本一致,唯一的區(qū)別是斜拉索單元采用的是等效彈性模量Eeq ,長度則取為L 。2.2大變形效應(yīng)在荷載作用下，斜拉橋上部結(jié)構(gòu)的幾何位置變化顯著。從有限元法的角度來說，結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)隨荷載的增量變化較大，各單元的長度、傾角等幾何特性也相應(yīng)產(chǎn)生較大的改變，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣成為幾何變形的函數(shù)，因此，平衡方程F=K不再是線性關(guān)

14、系，小變形假設(shè)中的迭加原理也不再適用。因此在計算應(yīng)力和反力時應(yīng)當(dāng)計入結(jié)構(gòu)位移的影響，也就是位移理論。平衡條件是根據(jù)變形后的幾何位置給出的，荷載和位移并不再保持線性性質(zhì)。內(nèi)力與外荷載之間的正比關(guān)系也不再存在。由于結(jié)構(gòu)大變形的存在，產(chǎn)生了與荷載增量不成正比的附加應(yīng)力。附加應(yīng)力的計算可以采用逐次逼近的方法。根據(jù)結(jié)構(gòu)初始幾何狀態(tài)，采用線性分析的方法求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移，使用帶動坐標(biāo)的混合法對幾何位置加以修正，這時各單元的剛度矩陣也相應(yīng)有所變化。利用變形后的剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)位移求出桿端力，由于變形前后剛度不同，產(chǎn)生了結(jié)點(diǎn)不平衡荷載，將此不平衡荷載作為結(jié)點(diǎn)外荷載作用于結(jié)點(diǎn)上，再次計算結(jié)構(gòu)位移，如此迭代直至不平

15、衡荷載小于允許范圍為止（可以得出結(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確位移，從而得出相應(yīng)的應(yīng)力和內(nèi)力）。 迭代過程中的初始荷載和每次迭代時的不平衡荷載都是以增量的形式加載的。在每個荷載增量加載期間假設(shè)剛度矩陣為一常數(shù)，即增量區(qū)間的左端點(diǎn)處對應(yīng)的剛度矩陣。求解平衡方程，得出該荷載增量下的位移增量，由此可以在該荷載增量區(qū)間末對幾何位置進(jìn)行修正，用于下一個荷載增量計算。這樣，每次荷載增量下的結(jié)構(gòu)剛度矩陣和桿端力計算都與當(dāng)時的幾何位置相對應(yīng)，雖然在各荷載增量加載過程中作了線性假設(shè)，但只要荷載分得足夠細(xì)，迭代的次數(shù)足夠多，就可以用這種分段線性來代替大變形引起的非線性。除了大變形外，斜拉索垂度變化和彎矩軸向力相互作用引起的非線性效應(yīng)

16、都和結(jié)構(gòu)的幾何變形有關(guān)。此處把以上效應(yīng)均歸入幾何非線性的范疇，所以把幾何非線性直接稱為大變形非線性時不夠全面的。2.3彎矩與軸向力的組合效應(yīng)對于處理梁一柱效應(yīng)的有效的方法是引入穩(wěn)定函數(shù)，用此函數(shù)修正剛度矩陣后進(jìn)行線性計算。 圖2.3 軸向受壓構(gòu)件如上圖所示同時受軸向壓力和彎矩作用的構(gòu)件的Y方向的撓度方程為: q=0時，通解為 式中： 令該問題的邊界條件為： 將邊界條件代入通解方程，有：式中：將上式記為：F為構(gòu)件兩端的剪力和彎矩向量： 對通解方程兩端兩端求解，并代入上式有： 將上式簡記為：因此有： 令則可得到T為單元的剛度矩陣 上式代入T有當(dāng)軸向壓力N為0時，此時u趨于0。而此時的矩陣T應(yīng)與單元

17、線性剛度矩陣相等，即有: 引入穩(wěn)定函數(shù)系數(shù)來修正線性剛度矩陣中的各系數(shù)，則可得： 由上式可得 其中： S即為穩(wěn)定函數(shù)修正系數(shù)。當(dāng)單元受軸向拉力作用時的穩(wěn)定函數(shù)系數(shù)可同理推得。用得到的修正系數(shù)修正單元剛度矩陣，以此來考慮非線性分析中的梁一柱效應(yīng)。3非線性分析的基本方法考慮幾何非線性的有限元方程是建立在結(jié)構(gòu)變形后構(gòu)形上的平衡方程，結(jié)構(gòu)剛度矩陣是所求位移的函數(shù)，無法直接求解，通常只能采用逐步逼近的數(shù)值方法。目前常用的數(shù)值方法有:荷載增量法、迭代法和混合法。3.1增量法增量是指荷載以增量的形式逐級加上去,對每個荷載增量作用過程中假定結(jié)構(gòu)的剛度是不變的,在任一荷載增量區(qū)間內(nèi)結(jié)點(diǎn)位移和桿端力都是由區(qū)間起點(diǎn)

18、處的結(jié)構(gòu)剛度算出,然后利用所求得的結(jié)點(diǎn)位移和桿端力求出相對于增量區(qū)終點(diǎn)變形后位置上的結(jié)構(gòu)剛度,作為下一個荷載增量的起點(diǎn)剛度。在任一荷載增量i 級作用下的平衡方程為: 增量荷載區(qū)間終點(diǎn)處的結(jié)點(diǎn)位移為起點(diǎn)處位移和位移增量之和，可見結(jié)構(gòu)的集合狀態(tài)要在每個荷載增量后進(jìn)行調(diào)整。 3.1 增量法原理圖3.2迭代法迭代法的基本思想是。根據(jù)作用在結(jié)構(gòu)上的荷載，進(jìn)行迭代計算，取結(jié)構(gòu)剛度為一數(shù)值，迭代后計算總荷載的不平衡力，并把它作為下一步迭代的荷載，計算出附加位移值，反復(fù)計算直至結(jié)果達(dá)到預(yù)定精度。 3.2迭代法原理圖3.3增量迭代混合法增量迭代混合法是將增量法和迭代法聯(lián)合運(yùn)用，在對所施加的荷載分級的同時，每級荷

19、載加載過程中也進(jìn)行迭代計算。該方法即克服了增量法的誤差，又能克服迭代法計算量大的缺點(diǎn)。 3.3 混合法原理圖3.4帶有拖動坐標(biāo)系的混合法求解大位移效應(yīng)引起的幾何非線性問題，可采用基于U.L.列式法的拖動坐標(biāo)系對結(jié)構(gòu)幾何位置進(jìn)行修正，簡稱這種方法為CR式法。這種方法在計算由節(jié)點(diǎn)位移增量產(chǎn)生的單元內(nèi)力增量時，可精確扣除單元的剛體平動和轉(zhuǎn)動，對桿系結(jié)構(gòu)的幾何非線性分析特別顯示其優(yōu)越性。圖3-4(a)為t時刻整體坐標(biāo)系XOY中一個已處于平衡狀態(tài)的梁單元，根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)i、j的坐標(biāo)值，可以算出、，從時刻t到時刻t+t，單元變形后移動到圖3-4(b)所示的位置，此時單元的節(jié)點(diǎn)位移為、。從圖中可以看出，從時刻

20、t到時刻t+t，單元拖動坐標(biāo)系的運(yùn)動可分為兩部分，即從剛體平移到圖3-4(b)中的虛線位置，然后從虛線位置剛體移到的位置。 （a）單元ij變形前的形態(tài) (b) 單元ij變形后的形態(tài) 3.4拖動坐標(biāo)系此時：于是，在t至t+t時段增量步內(nèi)，局部坐標(biāo)系下單元運(yùn)動中真正能引起起單元變形的那部分位移增量可以表示為：于是，在t至t+t時段增量步內(nèi)，單元在拖動坐標(biāo)系xy中的節(jié)點(diǎn)位移增量可表示為： 如果變形后單剛用表示，則變形后的單元節(jié)點(diǎn)力可以用節(jié)點(diǎn)位移表示為： 式中，、都系局部坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系XOY后，上式可表示為：由于單元剛度矩陣是由局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系而得到的，轉(zhuǎn)換矩陣T的方

21、向余弦為位移的函數(shù)，從而： 上式表明單元剛度矩陣是單元節(jié)點(diǎn)位移列陣的函數(shù)。若首先把結(jié)構(gòu)以線性理論計算得到的彈性位移作為第一次近似值，然后通過計算算出各變形單元作用到節(jié)點(diǎn)上的力： 從而各節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的不平衡力為： 把該不平衡力作用到結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)上去，算出位移的第二次近似值。重復(fù)以上過程，反復(fù)迭代直至F=0為止。3.5 拖動坐標(biāo)混合法在斜拉橋分析中的應(yīng)用現(xiàn)介紹帶動坐標(biāo)混合法在斜拉橋中的應(yīng)用。在帶動坐標(biāo)的混合法中設(shè)置了兩重主要的循環(huán)計算，即迭代循環(huán)和荷載增量循環(huán)。荷載增量循環(huán)嵌套于迭代循環(huán)中，目的是加快收斂速度，提高計算精度。3.5.1迭代循環(huán)在迭代循環(huán)開始前，整個結(jié)構(gòu)位移為零，桿端力除斜拉索單元外均

22、為零。斜拉索軸向抗力為初始拉力，結(jié)構(gòu)各單元穩(wěn)定性函數(shù)值為1.0（在分析彎矩與軸向力的組合效應(yīng)時用此函數(shù)對剛度矩陣加以修正后再實(shí)施線性計算）。斜拉索的彈性模量為初始拉力下的等效彈性模量，恒載及外荷載被分配到各節(jié)點(diǎn)上，得到等效節(jié)點(diǎn)力。迭代循環(huán)的計算步驟如下：（1）將恒載、外荷載的等效節(jié)點(diǎn)力以及斜拉索的初始張拉力施加到斜拉橋結(jié)構(gòu)上，施加過程實(shí)際上是逐步進(jìn)行的，尤其是表現(xiàn)在荷載增量循環(huán)中，計算出結(jié)構(gòu)桿端力及節(jié)點(diǎn)位移；（2）根據(jù)上一步計算出來的節(jié)點(diǎn)位移，重新調(diào)整結(jié)構(gòu)的幾何位置，并計算當(dāng)前狀態(tài)下的穩(wěn)定性函數(shù)值Si和斜拉索的等效彈性模量，用于下次迭代計算，這一步驟同樣表現(xiàn)在荷載增量循環(huán)中；（3）不平衡荷載的

23、計算是將第一步算出的桿端力反號后與荷載的等效節(jié)點(diǎn)力相加，得到第一次迭代后的不平衡荷載；（4）檢驗(yàn)不平衡荷載的大小是否小于限制值，如果不滿足要求，將不平衡荷載視為作用荷載，重復(fù)以上三步的計算，直到不平衡荷載小于限制值為止。3.5.2荷載增量循環(huán)對斜拉橋幾何非線性各因素的處理手段主要體現(xiàn)在荷載增量循環(huán)過程中，荷載增量循環(huán)完全嵌套于迭代循環(huán)中，每次迭代運(yùn)算中增量循環(huán)的次數(shù)取決于荷載增量的個數(shù)。為加快收斂速度，在第一次迭代和其后的各次迭代中采用了不同的荷載分級方法。第一次迭代的荷載增量區(qū)間分得較細(xì)，其后的各次迭代則相對分得粗一些。在以下描述中將第一次迭代的作用荷載包括恒載、外荷載和斜拉索初始拉力以及每

24、次迭代后的不平衡荷載統(tǒng)稱為增量循環(huán)計算的初始荷載。結(jié)合斜拉橋幾何非線性分析的特點(diǎn)，荷載增量循環(huán)的計算步驟如下：（1）初始荷載的分級可采用等步長分級，進(jìn)入第一個荷載增量循環(huán)；（2）計算結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣，即當(dāng)前荷載增量區(qū)間左端處的剛度矩陣；（3）引入約束條件；（4）求解平衡方程，得出位移增量，再將位移增量加到上一個荷載狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移上去，得到當(dāng)前荷載狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移；（5）根據(jù)上一步得到的位移增量，計算當(dāng)前荷載增量區(qū)間末段結(jié)構(gòu)的幾何位置，包括節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的移動和桿件長度、傾角的變化等；（6）計算當(dāng)前荷載增量區(qū)間末端新的幾何位置上的桿端力；（7）斜拉索等效模量的修正，即當(dāng)前荷載狀態(tài)的等效彈性模量；第2

25、章大跨度斜拉橋的幾何非線性分析理論（8）穩(wěn)定性函數(shù)Si的修正；（9）檢驗(yàn)是否完成了最后一級荷載的加載，若未完成，重復(fù)進(jìn)行第（2）第（8）步的計算直到加載完成為止。從以上步驟可知，在每個荷載增量區(qū)間計算過程中，第（5）步修正了結(jié)構(gòu)的幾何位置，使第（6）步的桿端力計算與當(dāng)前的幾何位置能對號入座，這就是對大變位效應(yīng)的處理手段。第（7）步和第（8）步分別對斜拉索的等效彈性模量和非斜拉索單元的穩(wěn)定性函數(shù)作了修正，這樣，返回到第（2）步計算出的下一個荷載增量區(qū)間左端點(diǎn)處的剛度矩陣較為符合實(shí)際情況，做到了斜拉索垂度變化和剛度矩陣的對應(yīng)。同時，通過穩(wěn)定性函數(shù)Si對剛度矩陣的修正，達(dá)到了考慮彎矩和軸向力組合效應(yīng)

26、的目的。4.非線性分析中兩個關(guān)鍵問題4.1增量步長選擇在用前述增量法或混合法求解幾何非線性有限元方程時，都要合理選擇荷載增量步長。步長過大則計算結(jié)果不收斂或不可靠，步長過小則計算機(jī)時太長。增量法是一種線性化方法，如把步長最大(只需一個增量步)的線性彈性問題看成是非線性程度最低的非線性問題，那么，隨著非線性程度的增高，步長應(yīng)當(dāng)減小。不同結(jié)構(gòu)物的非線性程度不同，同一結(jié)構(gòu)物的非線性程度也隨加載過程而變，所以只有按具體的非線性程度來選擇步長才是合理的。P.G.Bergan等提出第i增量步的剛度用下式度量:初始(線性彈性)剛度用下式度量： 于是，第i增量步的剛度參數(shù)可用下面的無量綱參數(shù)定義:由于:從而：

27、這樣，如果給定進(jìn)入非線性狀態(tài)后的第一個載荷增量因子和剛度參數(shù)的變化值 (可在0.05-0.2范圍內(nèi)選取)，那么就可以按下式選擇載荷增量步長: 4.2收斂準(zhǔn)則對幾何非線性有限元方程，沒有直接解法，通常采用前述增量迭代法求解。如何保證迭代解的收斂性是首要問題。因此必須給出一個切實(shí)可行的收斂標(biāo)準(zhǔn)，不給出收斂標(biāo)準(zhǔn)，就無法中止迭代，收斂標(biāo)準(zhǔn)如取得不合適，就太不精確或太費(fèi)機(jī)時，甚至導(dǎo)致計算失敗。在迭代計算過程中，首先選擇一個初始解 (即迭代初始解，或取為線性解，或取為某一特定解)，并由此依據(jù)迭代方法而產(chǎn)生一個解的序列、使在實(shí)際應(yīng)用中，針對具體工程結(jié)構(gòu)，可憑借已有的結(jié)構(gòu)設(shè)計經(jīng)驗(yàn)和對結(jié)構(gòu)性質(zhì)的了解，提供一個初

28、始解，再由此構(gòu)造出一個解的序列，并檢查其收斂趨勢。在確定后，就可以開始迭代過程，并在每一迭代終了，都要檢查一下過程是否是發(fā)散的，或者己經(jīng)收斂。檢查發(fā)散的準(zhǔn)則可以有以下兩種:1).迭代次數(shù)n已經(jīng)超過某一預(yù)定最大限值N( n N)，即認(rèn)為是發(fā)散的。2).當(dāng)?shù)?越來越大，即出現(xiàn):時，亦認(rèn)為已發(fā)散。這兩種準(zhǔn)則各有其優(yōu)缺點(diǎn):如果過程發(fā)散得很快，第一種準(zhǔn)則不能及早地發(fā)現(xiàn)，計算過程會使毫無希望的迭代繼續(xù)下去，直至達(dá)到極限迭代次數(shù)為止;如果過程并非單調(diào)收斂，呈現(xiàn)某種振蕩特性，則第二種準(zhǔn)則會將它誤判為發(fā)散，從而造成迭代過程及早地終止。為彌補(bǔ)這種不足，可以規(guī)定:在連續(xù)若干次迭代次數(shù)內(nèi)，上式成立，過程認(rèn)為是發(fā)散

29、的。檢查迭代過程是否是已經(jīng)收斂的準(zhǔn)則有以下三種:1).位移收斂準(zhǔn)則，它又可有三種形式:式中: 為允許誤差(根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計精度要求確定);準(zhǔn)確解實(shí)際上是不知道的，故在實(shí)際應(yīng)用時以來取代。在這三個式子中，第一式不適合于 接近于零向量的情形，因該不等式很難滿足，或在計算時甚至出現(xiàn)下溢。在這種情況下，用上述第二式比較妥當(dāng)。第三式是綜合前兩式的優(yōu)點(diǎn)而得到的一種混合判別式，它適用于較大的情形。2).不平衡力收斂準(zhǔn)則式中 ，為相對誤差，F(xiàn)為外荷載， 是迭代開始時，系統(tǒng)應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的內(nèi)力。即：3).能量準(zhǔn)則能量準(zhǔn)則把每次迭代后的內(nèi)能增量一不平衡力在位移增量上所做的功與初始內(nèi)能增量相比較，即式中 為第n次迭代時的位移增量， 為第n次迭代時結(jié)構(gòu)