高一數學下學期知識點復習+經典例題解析

1、知識點知識點梳理（一）正弦定理：a=b=J=2R（其中R表示三角形的外接圓半徑）sinAsinBsinC適用情況：（1）已知兩角和一邊，求其他邊或其他角；（2）已知兩邊和對角，求其他邊或其他角。sin C =c2R變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=-a-,sinB=,2R2Ra b csin A sin B sin C=2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC(二)余弦定理：b2 = a2 c2 -2accosB22 b2（求邊）'8sB=個（求角）適用情況：（1）已知三邊，求角；（2）已知兩邊和一角，求其他邊或其他角。一11.（三）三角形的面積：

2、S=2aha=；S=萬bcsinA=；9/abcS=2RsinAsinBsinC;®S=;4RS=Jp（pa）（pb）（pc）;S=pr（其中p=2土2上，r為內切圓半徑）25, a+bc包（四）三角形內切圓的半徑：r=2sA，特別地,直=abc2（五）ABC寸影定理：b=acosC+ccosA,（六）三角邊角關系:(1)在&ABC中，A+B+C=n；sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosCAB.C.ABCcos=sin-;sin=cos2222(2)邊關系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,ab<c,bc<a,ca>b;

3、(3)大邊對大角：abAB考點剖析（一）考查正弦定理與余弦定理的混合使用a csin 2C sin C例1、在4ABC中，已知A>B>C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a、c的長.例1、解：由正弦定理，得一一=A=2CsinAsinC8-.a=2ccosC又a+c=8cocC=2c由余弦定理，得c2=a2b2-2abcosC=4c2cos2C16-16cos2C入，得16c-5I5或124a"c=4人(舍)a=424-5，16-55例2、如圖所示，在等邊三角形中,AB=a,O為三角形的中心,于M,交AC于N,求2OM2ON2的最大值和最小值.例2、【解】由于。為正三角

4、形ABC的中心,.AO,3/MAO=/NAO=-,設/MOA=o(,WJ工工口63在AOM中，由正弦定理得:OM2二<一3'OA過O的直線交ABA3OM,3a6nsin(二一)6sinMAOsin.-(：-)6,在AAON中，由正弦定理得：ON=Tt，sin(:)6OM2<a3ON2<213，122二2二1212sin(a十一)+sin(a-)=-(+sina),a2時一取得最大值OMON3<sina<1故當a=42182aJT-,or33時sin2a=9,此時4OM變式1、在AABC中，角A、B、C對邊分別為a,b,c,已知b2(1)求/A的大??；bsi

5、nB/人(2)求的值a=ac,且a2-c2=ac-bc,c變式1、解(1)丁b2=ac,a2在ABC中，由余弦定理得-c2=ac-bcb2c2-a2=bccosA,222bc-abc12bc2bc2(2)在ABC中,由正弦定理得.-bsin600sinB=20b=ac,-A=60bsinBb2sin600=sin600ca變式2、在AaBC中,AB為銳角,BC所對的邊分別為a、b、c,且,sinB二名(I)求a+b的值;10_(II)若ab=J21,求a、b、c的值。變式2、解(I)AB為銳角,sinA=,sinB=業(yè)0510Z；2"T2：#5-"-2-310cosA=1-

6、sinA=,cosB=1-sinB=5102.535c萬10.2cos(A B) = cos Acos B -sinAsinB二一二51051020<A+B<nA+B=4(II)由(I)知C=竺，.sinC=42,abc由=4寸/5a=j10b=*y2c,即a=V2b,c=V5bsinAsinBsinC又:ab=721.V2b-b=/2-1.b=1a=2c=55（二）考查正弦定理與余弦定理在向量與面積上的運用例3、如圖，半圓。的直徑為2,A為直徑延長線上的一點，OA=2,B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC。問：點B在什么位置時，四邊形OACB面積最大？例3、解：設N

7、AOB=a,在AOB中，由余弦定理得:AB2=oAOB2OAcGOBAOB.22=12212cos：=5-4cos:于是，四邊形GACB的面積為S=S>aagb+SaABC二GAOBsin：AB224c,. 2 A B .7,- 一4sin -cos2C =，a+b =5,c = V7 22(1)求角C的大小；(2)求AABC的面積.例4、解：(1)由4sin2'A-Bcos2c=7,得4cos2Ccos2C”22224coC4cosC+1=0解得cosC-0°<C<180°,.C=60°C=602由余弦定理得c2=a2+b22abcos

8、C即7=a2+b2ab又a+b=5.a2+b2+2ab=25由得ab=6Skabc1absinC=母T2/7M變式3、已知向量m=(a+c,b),n=(a-c,b-a),且mn=0,其中A,B,C是4ABC的內角,a,b,c分別是角A,B,C的對邊.(1)求角C的大?。?2)求sinA+sinB的取值范圍.222變式3、斛：(1)由mn=0得(a+c)(ac)+b(ba)=0=a+b-c=ab2,22由余弦定理得cosC=ab一。=12ab2ab23T<0<C.C=32二(2).C=.A+B=332二一一2二一2二一sinAsinB=sinAsin(-A)=sinAsincosA-

9、cossinA3333.3J31=sinAcosA=3(sinAcosA)2222=、3sin(A)6c 八 2二: 0 :二 A :二3jiji 一 - A 一:二：. 3sin(A -)三.3C所對的邊分別為a,b,c, b=acosC且4ABC的最大1-o3,1二sin(A*)*1即3:sinAsinB-.3.2(三)考查三角形形狀的判斷例5、在AABC中，角A,B,邊長為12,最小角的正弦值為(1)判斷AABC的形狀；(2)求AABC的面積。例5、解：(1);b=acosC,由正弦定理，得sinB=sinAcosC(#)B=二-(AC),'sinB=sin(A+C),從而(#)

10、式變?yōu)閟in(A+C)=sinAcosC,cosAsinC=0又A,CW(0,n)，cosA=0,A=-,AAABC是直角三角2形。(2);AABC的最大邊長為12,由(1)知斜邊a=12,又丁AABC最，一一、，一1一.1一,一小角的正弦值為,RtABC的最短直角邊為12m=4,另一條直角33邊為8.21S>AABC=48,2=16、22變式4、在ABC中，若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)(1說斷ABC的形狀；(2心上述ABC中，若角C的對邊c=1,求該三角形內切圓半徑的取值范圍。變式4、解：(1)由sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)C可得2sin2

11、C=1，coC=0即C=902二AABC是以C為直角頂點得直角三角形1(2)內切圓半徑rab-c21 .一,二一sinAsiib-12、2.八二1.2-1=sinA一一一2 4222_1二內切圓半徑的取值范圍是0,三<2J2例7、在ABC中，已知2a=b+c,sinAusinBsinC,試判斷ABC勺形狀。所以a=b=c,ABCJ等邊三角形。變式8、在4ABC中，8碧=限，(a,b,c分別為角A,B,C的對邊)，則AABC22C的形狀為A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形.b2=a,.a2+c2b2=2a2,即a2+b2=c2,2acc.ABC為直角三角

12、形.答案：B變式9、AABC中，若sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,試判斷ABC的形狀。變式9、解：等腰直角三角形；數列知識點一：通項化與前n項和S的關系I11-任意數列qj的前n項和'二曲+的+%；_卜("D注意：由前n項和&求數列通項時，要分三步進行：(1)求用二S,(2)求出當n>2時的”,(3)如果令n>2時得出的/中的n=1時有為二年成立，則最后的通項公式可以統(tǒng)寫成一個形式，否則就只能寫成分段的形式.知識點二：常見的由遞推關系求數列通項的方法1 .迭加累加法：若®一為=/5)，(總之2)，則的一%=/(2

13、)，與一的=/0),，為一詼_1=/除公/2)+3)+/2 .迭乘累乘法：則”二晨2),空二式3),，&=g(Qaa2%=>%=初咐虱府)知識點三：數列應用問題1 .數列應用問題的教學已成為中學數學教學與研究的一個重要內容，解答數學應用問題的核心是建立數學模型，有關平均增長率、利率(復利)以及等值增減等實際問題，需利用數列知識建立數學模型.2 .建立數學模型的一般方法步驟.認真審題，準確理解題意，達到如下要求：明確問題屬于哪類應用問題；弄清題目中的主要已知事項；明確所求的結論是什么.抓住數量關系，聯想數學知識和數學方法，恰當引入參數變量或適當建立坐標系，將文字語言翻譯成數學語言，

14、將數量關系用數學式子表達將實際問題抽象為數學問題，將已知與所求聯系起來，據題意列出滿足題意的數學關系式(如函數關系、方程、不等式)規(guī)律方法指導1 .由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數列問題的重要思想；2 .數列是一種特殊的函數，學習時要善于利用函數的思想來解決.如通項公式、前n項和公式等.3 .加強數列知識與函數、不等式、方程、對數、立體幾何、三角等內容的綜合.解決這些問題要注意：(1)通過知識間的相互轉化，更好地掌握數學中的轉化思想；(2)通過解數列與其他知識的綜合問題，培養(yǎng)分析問題和解決問題的綜合能力經典例題精析類型一：迭加法求數列通項公式1.在數列4） 總結升華：.中,1 .在數列

15、中，殺二甲洞，若/防為常數，則數列也是等差數列；若/何不是一個常數，而是關于界的式子，則數列jaj不是等差數列.2 .當數列的遞推公式是形如&U二4后的解析式，而/。）+/（2）+一人刈的和是可求的，則可用多式累（迭）加法得勺.舉一反三：【變式i】已知數列2,%叫+免+2,求叫.【變式2】數列%中。=1,=2*，求通項公式外.類型二：迭乘法求數列通項公式2.設同）是首項為i的正項數列，且（附+1）$-做；+%/=0,=1,2,3-一），求它的通項公式。卜總結升華：1 .在數列aJ中，%二/（亦如,若/附為常數且4hQ,則數列/）是等比數列；若了不是一個常數，而是關于用的式子，則數列aj

16、不是等比數列.2 .若數列有形如4的解析關系，而*"/的積是可求的，則可用多式累（迭）乘法求得仆.舉一反三：【變式1在數列也）中，01n,.二-（舒之2）,求勺.2 M+1%n【變式2】已知數列E）中，陌2.,二二7二加打,求通項公式.類型三：倒數法求通項公式3 .數列中，的二3萬一外產5%應），求為.總結升華：1 .兩邊同時除以可使等式左邊出現關于和4川的相同代數式的差，右邊為一常數，這樣把數列nJ的每一項都取倒數，這又構成一個新的數列-,而二'恰樂是等差數列.其通項易求，先求/-的通項，再求的通項.2 .若數列有形如=0的關系，則可在等式兩邊同乘以2«【變式1】

17、數列&）中，的=1,求勺.【變式2】數列（&中,四T|區(qū)-4*1=2%電砥泊求勺類型四：待定系數法求通項公式4.已知數列中，1=1,總結升華:i.一般地，對已知數列aJ的項滿足限口=為常數，cmQJ)則可設+i+£=c(&+°得&+1=四，利用已知得媒-£=1即£=-，從而將1數列aJ轉化為求等比數列%-力的通項.第二種方法利用了遞推關系式作差，構造新的等比數歹i.這兩種方法均是常用的方法.2.若數列有形如白q=2+3(八b為常數)的線性遞推關系，則可用待定系K+lA1已知數列®中。產"/ =/+4 ,

18、求可%已知數列-缶滿足氏j- ，而且二1 ,求這個數列的通項公數法求得。卜舉一反三：【變式1】【變式2】類型五：S和的遞推關系的應用5.已知數列&)中，可是它的前n項和，并且Smi=4%+2(4=1,2,3j-'),保1=1.(i)設42%H=L2，-),求證：數列QJ是等比數列；(2)設q二才偽=1,2,3,)，求證：數列是等差數列；_MlL(3)求數列dj的通項公式及前n項和.總結升華：該題是著眼于數列間的相互關系的問題，解題時，要注意利用題設的已知條件，通過合理轉換，將非等差、等比數列轉化為等差、等比數列，求得問題的解決利用等差(比)數列的概念，將已知關系式進行變形，變形

19、成能做出判斷的等差或等比數列，這是數列問題中的常見策略.舉一反三：【變式1】設數列%首項為1,前n項和£滿足1-/:.-.II.:.(1)求證：數列%是等比數列；(2)設數列4)的公比為頊,作數列囪，使4=1,4二*3)("2,34)求你的通項公式.I.【變式2】若/=2,送5之2),求可.【變式3】等差數列(4)中，前n項和£=(至盧，若4=2*4M.求數列QJ的前n項和工.類型六：數列的應用題10m,在第一面小旗處有某人把 要使他走的路最短，應集中到哪n項和公式，在求和后，利用二6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次

20、只能拿一面小旗,一面小旗的位置上？最短路程是多少？總結升華：本題屬等差數列應用問題，應用等差數列前次函數求最短路程.舉一反三：【變式1】某企業(yè)2007年12月份的產值是這年1月份產值的p倍，則該企業(yè)2007年年度產值的月平均增長率為（）【變式2】某人2006年1月31日存入若干萬元人民幣，年利率為艮17%,到2007年i月31日取款時被銀行扣除利息稅（稅率為20%）共計166區(qū)元，則該人存款的本金為（）一.A.1.5萬元B.2萬元C.3萬元D.2.5萬元【變式3】根據市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的|萬個月內累積的需求量號（萬件）近似地滿足S.而僅以-7-5）卜=122）.按比例預測

21、,在本年度內，需求量超過1.5萬件的月份是（）A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.9月、10月【變式4】某種汽車購買時的費用為10萬元，每年應交保險費、養(yǎng)路費及汽油費合1t9千元，汽車的維修費平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數列遞增，問這種汽車使用多少年后報廢最合算？（即年平均費用最少）【變式5】某市2006年底有住房面積1200萬平方米，計劃從2007年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2007年底和2008年底的住房面積；（2）求2026年底的住房面積.（計算結果以萬平方米為單位，且精確到0.

22、01）局考題萃1 .設數列【%）的前n項和為X=24-2”.（I）求1*4；（n）證明：I川J是等比數列；（出）求（。J的通項公式.2 .設數列的前月項和為川.已知a”，=s.+y出en*（D設b北=£/甘,求數列（4的通項公式；（n）若&*1'%,用wM,求a的取值范圍.元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函數y=ax2+bx+c的圖象、一元二次方程ax2+bx+c=。的根與一元二次不等式ax2+bx+c>0與ax2+bx+c<0的解集的關系，可歸納為：判別式b2-4acA>0A=0M0二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象aL

23、*1=417Xyr一兀一次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根有兩相異實根x=x=x2二Xi或有兩相同實根x=X1無實根九二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)x|x<x1或x>x2x|xwxiRax2+bx+c<0(a>0)x|Xi<x<X2?若a<0時，可以先將二次項系數化為正數，對照上表求解.1 .不等式x(12x)>0的解集是()A.1；.B.0,2；C.(-汽0)U+8；D.&+8；答案：B2 .不等式9x2+6x+1<0的解集是()11：1：111:Axxw3B.：3，Cx3<x<31D

24、.R答案：B3,若關于x的方程x2+mx+1=0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是()A.(-1,1)B.(2,2)C.(弋一2)U(2,+fD.(-,-1)U(1,+8)解析：選C由一元二次方程有兩個不相等的實數根，可得：判別式A>0,即m24>0,解得m<2或m>2.4.已知集合A=x6R|x+2|<3,集合B=x6R|(xm)(x2)<0,且AnB=(1,n),則m=,n=.解析：因為|x+2|<3,即一5<x<1,所以A=(5,1),又APB*?,所以m<1,B=(m,2),由ACB=(1,n)得m=1,n=1.答案：

25、1115.不等式x1<1的解集為.解析：由1得10,即x2>0,解得x<1,或x>2.x1x1x1答案：xx<1,或x>2解一元二次不等式應注意的問題：(1)在解一元二次不等式時，要先把二次項系數化為正數.(2)二次項系數中含有參數時，參數的符號會影響不等式的解集，討論時不要忘記二次項系數為零的情況.(3)解決一元二次不等式恒成立問題要注意二次項系數的符號.(4)一元二次不等式的解集的端點與相應的一元二次方程的根及相應的二次函數圖象與x軸交點的橫坐標相同.一元二次不等式的解法典題導入例1解下列不等式：(1)0Vx2x2<4；(2)x24ax5a2>

26、;0(aw0).自主解答(1)原不等式等價于xx2>0,xx2>0,x2一x_2<4x2一x_6<0,x2p+1廣0,x>2或x<1,3p+2/0-2<x<3.借助于數軸，如圖所示，-2-10原不等式的解集為x|2<x<1,或2Vx<3.由x24ax5a2>0知(x5a)(x+a)>0.由于aw0故分a>0與a<0討論.當a<0時，x<5a或x>a；當a>0時，x<a或x>5a.綜上，a<0時，解集為xx<5a，或x>a；a>0時，解集為x|x&

27、gt;5a,或x<一a.2由題悟法i.解一元二次不等式的一般步驟：(1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數大于0,即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0);(2)計算相應的判別式；(3)當A>0時，求出相應的一元二次方程的根；(4)根據對應二次函數的圖象，寫出不等式的解集.2.解含參數的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏.3以題試法1.解下列不等式：(1)_3x2-2x+8>0；(2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).混：(1)原

28、不等式可化為3x2+2x8<0,即(3x-4)(x+2)<0.解得2<x<4,3所以原不等式的解集為僅-2<x<3>(2)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)<0,因為a>0,所以卜；卜一1)<0.所以當a>1時，解為"<x<1；a當a=1時，解集為？；1當0<a<1時，解為1<x<a.f綜上，當0<a<1時，不等式的解集為、當a=1時，不等式的解集為?:,當a>1時，不等式的解集為加；<x<1一元二次不等式恒成立問題典題導入例2已知f(x)=x2-2ax+2

29、(aR),當x61,)時，f(x)>a恒成立，求a的取值范圍.自主解答法一：f(x)=(x-a)2+2a2,此二次函數圖象的對稱軸為x=a.當a6(8,-1)時，f(x)在-1,+8)上單調遞增，f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)>a恒成立，只需f(x)min>a,即2a+3>a,解得一3<a<1；當a61,+°°)時，f(x)min=f(a)=2a2,由2a2>a,解得1<a<1.綜上所述，a的取值范圍為3,1.法二：令g(x)=x22ax+2a,由已知，得x2-2ax+2-a>0在1,十

30、6;0)上恒成立，即產0,A=4a24(2a)<0或：a<1,解得3<a<1.g(T)>0.所求a的取值范圍是3,1.一題多變本題中的“x-1,+8)改為“x-1,1)",求a的取值范圍.解：令g(x)=x2-2ax+2a,由已知，得x22ax+2a>0在1,1)上恒成立，即A=4a20,p>0,4(2a)<0或：a<1,或彳a>1,解得3<a<1,J(-1廣01g(1廣0.所求a的取值范圍是3,1.由題悟法1 .對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是

31、相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.2 .一元二次不等式恒成立的條件：(1)ax2+bx+c>0(aw0)(x6R)恒成立的充要條件是：a>0且b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0(aw0)(x6R)恒成立的充要條件是：a<0且b2-4ac<0.以題試法2,若關于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(°°,+°°),則實數a的取值范圍是;若關于x的不等式x2-ax-a<-3的解集不是空集，則實數a的取值范圍是.解析：由A1<0,即a24(a)<0,得一4<a<0

32、；由4>0,即a2-4(3-a)>0,得a<6或a>2.答案：(一4,0)(一汽6U2,+8)一元二次不等式的應用典題導入例3某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件.若售價降低x成(1成=10%),8售出商品數量就增加5x成.要求售價不能低于成本價.(1)設該商店一天的營業(yè)額為y,試求y與x之間的函數關系式y(tǒng)=f(x),并寫出定義域；(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.自主解答(1)由題意得丫=10。110<100ij+50x；因為售價不能低于成本價，所以100110'180>0.所以y=f(x)=2

33、0(10-x)(50+8x),定義域為0,2.(2)由題意得20(10x)(50+8x)R10260,化簡得8x2-30x+13<0.解得1<x<143.所以x的取值范圍是22.由題悟法解不等式應用題，一般可按如下四步進行：(1)認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系；(2)引進數學符號，用不等式表示不等關系；(3)解不等式；(4)回答實際問題.以題試法3.某同學要把自己的計算機接入因特網.現有兩家ISP公司可供選擇.公司A每小時收費1.5元；公司B在用戶每次上網的第1小時內收費1.7元，第2小時內收費1.6元，以后每小時減少0.1元(若用戶一次上網時間超過17小時，按1

34、7小時計算).假設該同學一次上網時間總是小于17小時，那么該同學如何選擇ISP公司較省錢？解：假設一次上網x小時，則公司A收取的費用為1.5x元，公司B收取的費用為X32"x比.若能夠保證選擇A比選擇B費用少，則“35x1.5x(0<x<17),20整理得x2-5x<0,解得0<x<5,所以當一次上網時間在5小時內時，選擇公司A的費用少；超過5小時，選擇公司B的費用少.基本不等式【2016年高考會這樣考】1 .考查應用基本不等式求最值、證明不等式的問題.2 .考查應用基本不等式解決實際問題.【復習指導】1 .突出對基本不等式取等號的條件及運算能力的強化訓

35、練.2 .訓練過程中注意對等價轉化、分類討論及邏輯推理能力的培養(yǎng).基礎梳理a+b1 .基本不等式：強&-2-（1）基本不等式成立的條件：a>0、b>0.（2）等號成立的條件：當且僅當a=b時取等號.2 .幾個重要的不等式（1）a4.利用基本不等式求最值問題已知x>0, y>0,則（1）如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時、x+y有最小值是2dp.（簡記：積 定和最?。┤绻蛒+y是定值p,那么當且僅當xy時，xy有最大值是方.（簡記：和定 積最大）一個技巧運用公式解題時既蘆掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2>2ab 逆用就是aba 2b

36、 ；，b>«b（a, b>0）逆用就是ab<b>0）等.還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等.門2bj2ab（a, bC R,當且僅當a=b時取等號）;/a2+ b2 a + br22->7彳口>0，b>。，當且僅當a=b時取等號）. a+b+b2>2ab（a,bCR）；baa + b 2Q-j(a, bCR)；,bCR).十2（a，b同方）；(3)ab<a2b一3 .算術平均數與幾何平均數a+b設a>0,b>0,則a,b的算術平均數為,幾何平均數為強,基本不等式兩個變形 a2+b2 (1)-2可敘述為兩個正

37、數的算術平均數大于或等于它的幾何平均數.這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們.三個注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.考向一利用基本不等式求最值【例1】？(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,則1+1的最小值為;Xy2x(2)當x>0時，則f(x)=X'的取大值為''&#

38、39;'X十111,審題視點第(1)問把+中的1”代換為2x+y,展開后利用基本不等式；Xy.第(2)問把函數式中分子分母同除X”，再利用基本不等式.解析(1)：x>0,y>0,且2x+y=1,.11_2x+y2x+yx+y=x+y=3+y+2x>3+2V2.xy當且僅當丫=a時，取等號.xy”>0,-2x2，.f(x)=?n&2=1，當且僅當x=1,即x=1時取等號.x答案(1)3+2,2(2)1方法總結“利用基本不等式求函數最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”.常用的方法為：拆、湊、代換、平方.1一一，一【訓練11(1)已知x&

39、gt;1,則f(x)=x+xn的最小值為.(2)已知0<x<2,則y=2x-5x2的最大值為.(3)若x,yC(0,+oo)且2x+8y-xy=0,則x+y的最小值為.解析(1)：x>1,；f(x)=(x1)+7+1>2+1=3當且僅當x=2時取等號.x1-21、(2)y=2x5x2=x(2-5x)=55x(25x),c20<x<,5x<2,25x>0,5x(2 5x) <5x+2 5x 2=1,1.yw當且僅當5x=2-5x,即X=時，ymax=7.55由2x+8yxy=0,得2x+8y=xy,.2.8一十一二1,yxx+y=(x+y)8

40、+2；=10+8y+2x"y+x i> 10 + 2X2X給18,xyxy=10+2當且僅當？=x,即x=2y時取等號，又2x+8yxy=0,.x=12,y=6,當x=12,y=6時，x+y取最小值18.答案(1)3(2)5(3)18考向二利用基本不等式證明不等式【例2？已知a>°,b>0,O0,求tE：*a+b+c.審題視點先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質相加得到.證明a>0,b>0,c>0,.bc ca>2 a b區(qū)十町2a cbc ca 八武一；bc ab =2b;a cca+詈 2ca ab 八 丁 T=2a.以上三

41、式相加得：2+ca+abi>2(a+b+c)即跑+ca+他>a+b+c.abc方法總結利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題.b>0, c>0,且 a+b+c=1.【訓練2】已知a>0求證：1+b+1>9.ac證明a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,111a+b+ca+b+ca+b+c.a+b+c=+b c a c a= 3+a+a+b+b+a +bccbb+c>3+2+2+2=9,1當且僅當a=b=c=1

42、時，取等號.3考向三利用基本不等式解決包成立問題x【例3】？若對任意x>0,/+3X+1&a包成立，則a的取值范圍是xx審題視點先求x2+3x+1（x>0）的最大值，要使得W+3X+1<a（x>0）恒成立,只要2二一】（x>0）的最大值小于等于a即可.x十3x十1解析若對任意x>0,Zjwa恒成立，只需求得v=2,：丫工的最大值即x十3x十1x十3x十1111一,一可，因為x> 0,所以y=x 3x 11<8=1，當且僅當x=1時取1-15x+x+32Wx71方法總結等號，所以a的取值范圍是J5當不等式一邊的函數（或代數式）的最值較易求出

43、時，可直接求出這個最值（最值可能含有參數），然后建立關于參數的不等式求解.【訓練3】已知x>0y>0,xy=x+2y,若xy>m2恒成立，則實數m的最大值是解析由x>0, y>0： 得 m-2<8, m<10, 答案 10xy=x+2y>2。藥，得xy>8,于是由m20xy恒成立,故m的最大值為10.考向三利用基本不等式解實際問題【例3】？某單位建造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過5m.房屋正面的造價為400元/m2,房屋側面的造價為150元/m2,屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3m,且不計房屋背面的費用.當側面的