可將階微分方程

1、一階微分方程小結(jié)一階微分方程小結(jié)1 1、可分離變量方程、可分離變量方程3 3、全微分方程、全微分方程 ? ?2 2、一階線性方程、一階線性方程)(:)()(CdxexQeydxxPdxxP 通解通解).()(ygxfdxdy ).()(xQyxPdxdy 齊次方程齊次方程).(xyfdxdy 解法解法yux令化為可分離變量型化為可分離變量型第五節(jié)第五節(jié) 可降階的高階微分方程的解法可降階的高階微分方程的解法解法解法 型型)()1()(xfyn 接連積分接連積分n次，得通解次，得通解.xey 如如特點(diǎn)特點(diǎn). y不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)),()2(yxfy 型型代入原方程代入原方程, , 得得)

2、.(,(xPxfP ),(xPy 令令解法解法,Py 一、可降階型一、可降階型.2xexyyx 求解求解例例1 1解解,),(PyxPy 令令代入方程，為代入方程，為 111CdxexeePdxxxdxxxexPPx 2 1Cexx 1:Cexyx 即即22121CxCexeyxx 積分得通解積分得通解xxePxP 1.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 5

3、4233251dxdxdxdxdy 例例2,xdxPdP ),(yPy 令令特點(diǎn)特點(diǎn).x不顯含自變量不顯含自變量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, , 得得( , ).dPPf y Pdy( ),dydPyPyPdxdy),(, )(yPdxdyyP 又又解出解出.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dPyPdy 則代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得).(12CyeCyxC 含含原方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例 3C , 0 yP得得由由),(yPy 令令.1)1(

4、)1(122 yyyyy求解求解解解,dydPpy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 ,122PdydPPy ，分離變量得分離變量得ydyPPdP 212,lnln)1ln(12CyP 積積分分得得例例 4，dxydy 1212 ydxdy即即，積分得積分得212Cxy ，0, 1)1(2 Cy.12xy 解為解為,112yCP ,11 yCP12, 1)1()1( yPyy)()1()(xfyn ),()2(yxfy ),()3(yyfy ),(yPy 令令 可可降降階階型型,dydpPy ),(xPy 令令,Py )()()(:22xfyxQdxdyxPdxyd 一、定義一、

5、定義二階線性方程二階線性方程時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階二階齊次線性齊次線性時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階二階非齊次線性非齊次線性n階線性階線性).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 第六節(jié)高階線性微分方程二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1.1.二階齊次線性方程二階齊次線性方程定理定理 1 1 如果如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)解的兩個(gè)解, , 那么那么2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常數(shù)）是常數(shù)） )1(0)()( yxQyxPy是通解嗎？是通解嗎？2211yCyCy 例如例如, 0 y

6、y,cos2,cos21xyxy 定定義義： 設(shè)設(shè)nyyy,21為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間 I 內(nèi)內(nèi)的的 n 個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù) 如如果果存存在在n個(gè)個(gè)不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)，使使得得 都都有有 02211 nnykykyk， 則則稱(chēng)稱(chēng)這這 n 個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在 I 內(nèi)內(nèi)線線性性相相關(guān)關(guān) 否否則則稱(chēng)稱(chēng)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 如如xx22sin,cos1，線性相關(guān)線性相關(guān))0sincos1(22 xx) 0(022211 kykyk若若2112kkyy , Ix 2112kkyy 定理定理 2 2：如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)線性無(wú)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解關(guān)的特解, ,

7、那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. . 的通解的通解是是如證如證0sincos:21 yyxCxCy,sin,cos21是解是解易證易證證明證明xyxy 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)與與故故常數(shù)常數(shù)且且2112,tanyyxyy 常數(shù)，常數(shù)， )()(21xyxy結(jié)論結(jié)論: .sincos212211為通解為通解xCxCyCyCy )(1xy與與)(2xy在在 I 上上線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 2.2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu): :定理定理 3 3 設(shè)設(shè)*y是方程（是方程（2 2）的一個(gè)特解）的一個(gè)特解, , Y是與是與(2)(2)對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)

8、應(yīng)齊次方程(1)(1)的通解的通解, ,那么那么*yYy 是是 (2) (2)的通解的通解. . )1(0)()( yxQyxPy)2()()()(xfyxQyxPy 12:cossinyCxCxxyyx如證是的通解定理定理 4 4 設(shè)設(shè))()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . 解的疊加原理解的疊加原理xexyxQyxPy sin)()(如如常數(shù)常數(shù), 則則;,321yyy設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)設(shè)線性無(wú)關(guān)

9、函數(shù)都是都是)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意1122123(1).C yC yCCy例例3.提示提示:3231,yyyy 都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無(wú)關(guān)二者線性無(wú)關(guān) . (反證法可證反證法可證)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 是該方程的通解是該方程的通解.三、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程三、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫(xiě)成將方程寫(xiě)成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 注意注意: :這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.例例.02的通解的通解求方程求