2015-2016學年數(shù)學必修四2.2.1《向量加法運算及其幾何意義》Word教案

1、2.2平面向量的線性運算教材分析本節(jié)首先從數(shù)及數(shù)的運算談起， 有了數(shù)只能進行計數(shù)， 只能引入了運算， 數(shù)的威力才得 以充分展現(xiàn)。類比數(shù)的運算，向量也能夠進行運算，運算引入后， 向量的工具作用才能得到 充分發(fā)揮。 教學中應引導學生體會考察一個量的運算問題，最主要的是認清運算的定義及其 運算律，這樣才能正確、方便地實施運算。平面向量的線性運算包括：向量加法、向量減法、向量數(shù)乘運算，以及它們之間的混合 運算。其中加法運算是最基本、最重要的運算，減法、數(shù)乘運算都以加法運算為基礎，都可 以歸結為加法運算。向量的加法運算是通過類比數(shù)的加法， 以位移的合成、 力的合成等兩個物理模型為背景 引入的，使加法運算

2、的學習建立在學生已有認知基礎上。由于向量有方向，在進行運算時，不但要考慮大小，而且要考慮方向， 應注意體會向量運算與數(shù)的運算的聯(lián)系與區(qū)別， 更好地 把握向量加法的特點。類比數(shù)的減法（減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)） ，向量減法的實質是：減去一個 向量，等于加上這個向量的相反向量；向量數(shù)乘運算則是相同向量的連加。因此，與數(shù)的運算的類比，是學習向量的線性運算的重要方法。 向量的線性運算具有深刻的物理背景和幾何意義， 使得向量在解決物理和幾何問題時可 以發(fā)揮很好的作用。2.2.1向量加法運算及其幾何意義一、教學分析向量的加法是學生在認識向量概念之后首先要掌握的運算,是向量的第二節(jié)內容 .其主要內容

3、是運用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對向量加法的交換律、結合律進行證明 ,同時運用他們進行相關計算 ,這可讓同學們進一步加強對 向量幾何意義的理解 ,同時也為接下來學習向量的減法奠定基礎,起到承上啟下的重要作用學生已經通過上節(jié)的學習 ,掌握了向量的概念、 幾何表示 ,理解了什么是相等向量和共線向量 在學習物理的過程中 ,已經知道位移、 速度和力這些物理量都是向量 ,可以合成 ,而且知道這些 矢量的合成都遵循平行四邊形法則 ,這為本課題的引入提供了較好的條件 . 培養(yǎng)數(shù)學的應用意識是當今數(shù)學教育的主題,本節(jié)課的內容與實際問題聯(lián)系緊密,更應強化數(shù)學來源于實際

4、又應用于實際的意識 .在向量加法的概念中 ,由于涉及到兩個向量有不平行和平 行這兩種情況 ,因此有利于滲透分類討論的數(shù)學思想,而在猜測向量加法的運算律時 ,通過引導學生利用實數(shù)加法的運算律進行類比.則能培養(yǎng)學生類比、 遷移等能力 .在實際教學中 ,類比數(shù)的運算 ,向量也能夠進行運算 .運算引入后 ,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實際上 ,引入一個新的量后 ,考察它的運算及運算律 ,是數(shù)學研究中的基本問題 .教師應引導學生體會考察 一個量的運算問題 ,最主要的是認清運算的定義及其運算律,這樣才能正確、 方便地實施運算向量的加法運算是通過類比數(shù)的加法,以位移的合成、力的合力等兩個物理模型為背景引

5、入的 .這樣做使加法運算的學習建立在學生已有的認知基礎上,同時還可以提醒學生注意 ,由于向量有方向 ,因此在進行向量運算時 ,不但要考慮大小問題 ,而且要考慮方向問題 ,從而使學生 體會向量運算與數(shù)的運算的聯(lián)系與區(qū)別.這樣做 ,有利于學生更好地把握向量加法的特點.八、教學目標：1、知識與技能：掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法 則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結合解決問題的能力。2、過程與方法：通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學方法。3、情感態(tài)度與價值觀：通過闡述向量的加

6、法運算與實數(shù)運算之間的相似性質，使學生理解事物之間相互聯(lián)系的辯證思想。三、 重點難點教學重點：向量加法的運算及其幾何意義 教學難點：對向量加法法則定義的理解四、 學法指導數(shù)能進行運算，向量是否也能進行運算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義。結合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結合律。五、 教學設想（一）導入新課思路 1.（復習導入）上一節(jié)，我們一起學習了向量的有關概念，明確了向量的表示方法，了解了零 向量、單位向量

7、、平行向量、相等向量等概念，并接觸了這些概念的辨析判斷 另外，向量和我 們熟悉的數(shù)一樣也可以進行加減運算，這一節(jié)，我們先學習向量的加法思路 2.（問題導入）2004 年大陸和臺灣沒有直航，因此春節(jié)探親，要先從臺北到香港，再從香港到 上海，這兩次位移之和是什么？怎樣列出數(shù)學式子？ 一位同學按以下的命令進行活動：向北走20 米，再向西走 15 米，再向東走 5 米，最后向南走 10 米，怎樣計算他所在的位置？由此導入新課（二）推進新課、新知探究、提出問題1數(shù)能進行運算，向量是否也能進行運算呢？類比數(shù)的加法，猜想向量的加法，應怎樣定義向量的加法？2猜想向量加法的法則是什么？與數(shù)的運算法則有什么不同？

8、圖 1活動：向量是既有大小、又有方向的量，教師引導學生回顧物理中位移的概念，位移可以合成，如圖 1某對象從 A 點經 B 點到 C 點，兩次位移AB、BC的結果，與 A 點直接到 C 點的位移AC結果相同力也可以合成，老師引導，讓學生共同探究如下的問題：圖 2（1）表示橡皮條在兩個力的作用下，沿著 GC 的方向伸長了 EO;圖 2（2）表示撤去 F1和 F2,用一個力 F 作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長相同的長度圖 2改變力 Fi與 F2的大小和方向，重復以上的實驗，你能發(fā)現(xiàn) F 與 F1、F2之間的關系嗎？力 F 對橡皮條產生的效果與力Fi與 F2共同作用產生的效果相同，物理學中

9、把力 F 叫做Fi與 F2的合力合力 F 與力 Fi、F2有怎樣的關系呢？由圖 2(3)發(fā)現(xiàn)，力 F 在以 Fi、F2為鄰邊的平行四邊形的 對角線上，并且大小等于平行四邊形對角線的長數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，F(xiàn) 可以認為是 Fi與 F2的和,即位移、力的合成看作 向量的加法討論結果：向量加法的定義：如圖 3,已知非零向量 a、b，在平面內任取一點A，作AB=a，BC= b，則向量AC叫做 a 與 b 的和，記作 a + b，即 a+b =AB+BC=AC.圖 3求兩個向量和的運算，叫做向量的加法2向量加法的法則：仁向量加法的三角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法

10、則運用這一法則時要特別注意首尾相接”即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量 .0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型2。向量加法的平行四邊形法則線OC就是 a 與 b 的和我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則 力的合成可如圖 4,以同一點 0 為起點的兩個已知向量a、b 為鄰邊作平行四邊形，則以 O 為起點的對角pi以看作向量加法的物理模型提出問題對于零向量與任一向量的加法，結果又是怎樣的呢？2兩共線向量求和時，用三角形法則較為合適當在數(shù)軸上表示兩個向量時，它們的加法與數(shù)的加法有什么關系？3思考 a+b|,

11、|a|,|b 存在著怎樣的關系？4數(shù)的運算和運算律緊密聯(lián)系，運算律可以有效地簡化運算類似地，向量的加法是否也有運算律呢？活動：觀察實際例子，教師啟發(fā)學生思考，并適時點撥，誘導，探究向量的加法在特殊情況下的運 算，共線向量加法與數(shù)的加法之間的關系數(shù)的加法滿足交換律與結合律，即對任意 a，b R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量 a，b 的加法是否也滿足交換律和結合律？引導學生畫圖進行探索討論結果：對于零向量與任一向量，我們規(guī)定 a+0= 0+ a=a.2兩個數(shù)相加其結果是一個數(shù)，對應于數(shù)軸上的一個點；在數(shù)軸上的兩個向量相加，它們的和仍是一個向量，對應于數(shù)軸上的一條有向線

12、段.3當 a，b 不共線時，|a+b|a|+|b|（即三角形兩邊之和大于第三邊）;當 a，b 共線且方向相同時Ja + b|=|a|+|b|;當 a，b 共線且方向相反時，|a+ b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）.其中當向量 a 的長度大于向量b 的長度時，|a+b|=|a|-|b|;當向量 a 的長度小于向量 b 的長度時，|a + b|=|b|-|a|.一般地，我們有|a+ b| Wi|+|b|.4如圖 5,作AB=a，AD= b，以 AB、AD 為鄰邊作匚 ABCD，則BC=b，DC=a.因為AC=AB+AD= a+ b，AC=AD+DC=b+ a，所以 a+b = b+ a.如

13、圖 6,因為AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+ b)+ c，AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+ c),所以(a+b)+ c= a+(b+ c). 綜上所述，向量的加法滿足交換律和結合律 .（三）應用示例思路 1例 1 如圖 7,已知向量 a、b,求作向量 a+ b.活動:教師引導學生，讓學生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.在向量加法的作圖中，學生體會作法中在平面內任取一點0 的依據一一它體現(xiàn)了向量起點的任意性.在向量作圖時，一般都需要進行向量的平移，用平行四邊形法則作圖時應 強調向量的起點放在一起，而用三角形法則作圖則要求首尾相連

14、.0C,則OC=a+b.變式訓練化簡:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.活動：根據向量加法的交換律使各向量首尾順次相接，再運用向量加法的結合律調整運算順序，然后相加.解：(1)BC+AB=AB+BC=AC.(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB= 0.(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA= 0.點評:要善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量例 2 長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸如圖 10 所示，一艘船從長江南

15、岸A 點出發(fā)，以 5 km/h 的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東 2 km/h.(1) 試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數(shù)字);(2) 求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).圖 10 圖 11活動:本例結合一個實際問題說明向量加法在實際生活中的應用這樣的問題在物理中已有涉及，這里是要學生能把它抽象為向量的加法運算，體會其中應解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小 ).引導點撥學生正確理解題意，將實際問題反映在向量 作圖上，從而與初中學過的解直角三角形建立聯(lián)系圖 7 圖 8圖 9作法二：在平面內任

16、取一點 0(如圖 9),作0A=a,0B= b.以OA、OB 為鄰邊作 OACB,連接&B解:如圖 11 所示,AD表示船速，AB表示水速，以 AD、AB 為鄰邊作 ABCD,則AC表示船實際航行的速度在 Rt ABC 中,|AB|=2,|BC|=5,所以 |AC|=| AB |2 |BC . 225 29- 5.4.因為 tan/CAB=29，由計算器得/ CAB=702答:船實際航行速度的大小約為5.4 km/h，方向與水的流速間的夾角為70點評：用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進行向量運算，最后回扣物理問題，解決問題變式訓練用向量方法證明對角線互相平分的四邊形

17、是平行四邊形圖 12活動：本題是一道平面幾何題，如果用純幾何的方法去思考，問題不難解決，如果用向量法來解, 不僅思路清晰，而且運算簡單將互相平分利用向量表達，以此為條件推證使四邊形為平行四 邊形的向量等式成立教師引導學生探究怎樣用向量法解決幾何問題，并在解完后總結思路方法.證明：如圖 12,設四邊形 ABCD 的對角線 AC、 BD 相交于點O,AB=AO+OB，DC=DO+OC.- 1- - * - - - 1-AC 與 BD 互相平分，AO=OC，OB=DO，AB=DC，因此AB/CD且 |AB|=|DC|，即四邊形 ABCD 是平行四邊形.點評：證明一個四邊形是平行四邊形時，只需證明AB

18、=DC或AD=BC即可.而要證明一個四邊形是梯形，需證明AB與DC共線，且|AB|#DC|.思路 2例 3 如圖 13,O 為正六邊形 ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)OA+OC;(2)BC+FE;(3)OA+FE.活動：教師引導學生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應的向量.教師一定要讓學生親自動手操作，對思路不清的學生教師適時地給予點撥指導.圖 13解：(1)因四邊形 OABC 是以 OA、OC 為鄰邊的平行四邊形，OB 是其對角線故OA+OC=OB.(2)因BC=FE,故BC+FE=AD.(3)因OD=FE,故OA+FE=OA+OD= 0.點評：向量的運算結合平面幾何知

19、識，在長度和方向兩個方面做文章 應深刻理解向量的加、減 法的幾何意義例 2 在長江的某渡口處，江水以 12.5 km/h 的速度向東流，渡船的速度是 25 km/h,渡船要垂直 地渡過長江，其航向應如何確定？活動：如圖 14,渡船的實際速度AC、船速AD與水速AB應滿足AB+AD=AC.圖 14解:設AB表示水流速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船實際垂直過江的速度，以 AB為一邊，AC 為對角線作平行四邊形，AD就是船的速度.在 Rt ACD 中，/ ACD=90，|DC|=|AB|=12.5，|AD|=25，ZCAD=30 .答:渡船的航向為北偏西 30點評:根據題意畫出草圖，是解決問題的關鍵.變式訓練 已知O是四邊形ABCD內一點若OA+OB+OC+OD= 0，則四邊形ABCD是怎樣的四邊形？點 O 是四邊形的什么點？活動：要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關系，如平行、相等等；而要判斷點 O是該四邊形的什么點，就必須找到該點與四邊形的邊或對角線的關系圖 15解:如圖 15 所示,設點 O 是任一四邊形 ABCD 內的一點，且OA+OB+OC+OD= 0,過 A 作AEOD,連結 ED,則四邊形 AEDO 為平行四邊形，設 OE 與 AD 的交點為 M,過 B 作 BF OC,則四邊形 BOCF 為平行四邊形 設 OF 與 BC 的交點為 N,于是