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1、1函 數(shù) 的 概 念 (2)從容說(shuō)課函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型, 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一, 而函數(shù)概 念貫穿在中學(xué)數(shù)學(xué)的始終, 概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 概念性強(qiáng)是函數(shù)理論的一個(gè)顯著特點(diǎn), 只有深刻 理解函數(shù)概念,才能正確靈活地加以應(yīng)用.本節(jié)通過(guò)訓(xùn)練求不同函數(shù)的定義域,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的定義域的重要性,通過(guò)對(duì)抽象符號(hào)f( x)(即 x 在對(duì)應(yīng)關(guān)系 f 下對(duì)應(yīng) f( x)的理解和使用,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到符號(hào) f (X)本身就是三要素構(gòu)成的整體.通過(guò)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,進(jìn)一步體現(xiàn)三要素整體的作用 .從而進(jìn)一步揭示函數(shù)的內(nèi)涵,使函數(shù)概念在更高層次上再現(xiàn),也使學(xué)生對(duì)函 數(shù)概念的理解進(jìn)一步深化
2、 .函數(shù)概念在高中階段處于核心知識(shí)地位,和今后函數(shù)性質(zhì)的研究,特 殊函數(shù)的研究有密切聯(lián)系,在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)注意建立各種聯(lián)系,從而給學(xué)生良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).三維目標(biāo)一、 知識(shí)與技能1. 繼續(xù)理解函數(shù)的概念和記號(hào)以及與函數(shù)概念相關(guān)的定義域、函數(shù)值、值域的概念.2. 掌握兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的條件.3. 會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.二、 過(guò)程與方法1. 通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí),初步探索客觀世界中各種運(yùn)動(dòng)與數(shù)量間的相互依賴(lài)關(guān)系.2.使學(xué)生掌握求函數(shù)式的值的方法.明確 f(a)與 f (x)的區(qū)別與聯(lián)系.3. 逐步培養(yǎng)并提高批判思維能力、自我調(diào)控能力、交流與合作能力.三、 情感態(tài)度與價(jià)值觀1. 使學(xué)生懂得一切事
3、物都是在不斷變化、相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物主義觀點(diǎn).2. 使學(xué)生學(xué)會(huì)全面地觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、研究問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)符號(hào)“ y=f (x)”的含義,函數(shù)定義域與值域的求法教學(xué)難點(diǎn)符號(hào)“ y=f (x)”的含義.教具準(zhǔn)備多媒體、課時(shí)講義 .教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)回顧 師:上節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念,請(qǐng)同學(xué)們回憶一下,函數(shù)的定義域是怎樣的?它有幾個(gè)要素 ?分別是什么 ?生:設(shè) A、B 是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x,在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)f: A- B 為從集合 A 到集合 B的一個(gè)函數(shù),記作 y=f (x), x A.
4、其中,x 叫做自變量,x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域;與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù) 值,函數(shù)值的集合 f ( x) |x A2叫做函數(shù)的值域.函數(shù)有三要素:定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系 .師:函數(shù)的定義域由什么確定 ? 生:函數(shù)的定義域由數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律決定, 即函數(shù)的定義域是使函數(shù)的表達(dá)式有意義的自變量 的集合 .師:同學(xué)們對(duì)上節(jié)課的內(nèi)容掌握得很好 .二、講解新課4)=?本節(jié)課我們將繼續(xù)探討函數(shù)的定義,在函數(shù)的定義中,符號(hào)y=f (x)即是“ y 是 x 的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示,應(yīng)理解為: x 是自變量,它是關(guān)系所施加的對(duì)象;f 是對(duì)應(yīng)關(guān)系,它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式,可以是圖象、表格,也可以
5、是文字描述;y 是自變量的函數(shù),當(dāng) x 為允許的某一個(gè)具體值時(shí),相應(yīng)的 y 值為與該自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,當(dāng)f 用解析式表示時(shí),則解析式為函數(shù)解析式.y=f( x)僅僅是函數(shù)符號(hào),不是表示“y 等于 f 與 x 的乘積”,f (x)也不一定是解析式.在研究函數(shù)時(shí),除用符號(hào)f (x)外,還常用 g(x)、F(x)、G(x)等符號(hào)來(lái)表示.對(duì)于一個(gè)函數(shù) y=f (x),必須指岀的是 f( x)與 f( a)既有區(qū)別又有聯(lián)系,f( a)表示當(dāng) x=a 時(shí)函數(shù) f (x)的值,是一個(gè)常量.而 f (x)是自變量 x 的函數(shù),在一般情況下,它是一個(gè)變量,f(a )是 f (x)的一個(gè)特殊值.例如一次函數(shù)
6、f (x) =3x+4,當(dāng) x=8 時(shí),f ( 8) =3X8+4=28 是一常數(shù).當(dāng) y=f ( x)用數(shù)學(xué)式子表示時(shí),如果需要把x、y 看作并列的未知量或點(diǎn)的坐標(biāo),那么y=f(x )也可以看作是一個(gè)方程 .例如,二次函數(shù) y=x2,在需要時(shí),也可以看作是一條拋物線的方程【例 1】教科書(shū) P20例 1.本例的教學(xué)任務(wù):(1)學(xué)會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.在中學(xué)階段,所研究的函數(shù)通常是能夠用解析式表示的.如果未加特別說(shuō)明,函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的所有實(shí)數(shù)的集合.在實(shí)際問(wèn)題中,還必須考慮自變量的允許范圍.(2) 對(duì)用解析式表示的函數(shù),會(huì)由給定的自變量與函數(shù)的解析式計(jì)算函數(shù)值(3)進(jìn)一步體
7、會(huì)函數(shù)記號(hào)的含義,能區(qū)別f ( 3)、f (a)、f (x).12【例 2】已知 f (x) =( x R 且XK1), g (x) =x2+2 (x R).1 +x(1) 求 f (2)、g (2)的值;(2) 求 f g ( 2)的值;(3) 求 f g ( x)的解析式.方法引導(dǎo):第(1 )小題即求 x=2 時(shí),f (x)、g (x)的函數(shù)的值;第(2)小題,即求 x=g (2)時(shí),f (x)的函數(shù);第(3)小題實(shí)際上為第(2)小題更一般的推廣,解題方法類(lèi)同于 第(2)題.1 12解:(1) f (2) =,g (2) =22+2=6.1+23方法技巧:在解本題時(shí),要正確理解對(duì)應(yīng)關(guān)系“f
8、”和“ g ”的含義,在求 f g (x)時(shí),一般遵循先里后外的原則.必要時(shí)還得考察函數(shù)的定義域.f (1) +f ( 2) +f ( - ) +f ( 3) +f ( - ) +f (4) +f23(2)f g (2) =f ( 6)=(3) f : g (x)2=f (x +2)1 11 (x22)=x23請(qǐng)思考:已知函數(shù)2f(x)七,那么4)=?【例 3】教科書(shū) P21例 2. 本例的教學(xué)任務(wù):(1)通過(guò)判斷函數(shù)的相等認(rèn)識(shí)到函數(shù)的整體性.值得注意的是,在三個(gè)要素中,由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以只要兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,這兩個(gè)函數(shù)就相等.(2)進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)
9、概念的理解【例 4】設(shè)函數(shù) f ( x)的定義域?yàn)?,1,求下列函數(shù)的定義域:(1) H (x) =f (x2+i);(2) G (x) =f (x+m) +f (x m)( m0).方法引導(dǎo):已知函數(shù) f ( x)的定義域?yàn)閍,b ,求 f g ( x)的定義域,是指求滿 足 a g (x) b 的 x 的取值范圍.解:(1)vf (x)的定義域?yàn)?, 1,2 2二 f (x +1)的定義域滿足 0Wx +1 丄時(shí),無(wú)解;21當(dāng) 1 mm0,即卩 0vmv一 時(shí),2綜上所述,1當(dāng) 0vmW時(shí),G (x)的定義域?yàn)閤|mwxw1 m.2【例 5】一個(gè)圓柱形容容器的底面直徑為d 厘米,高度為 h
10、 厘米,現(xiàn)以每秒 S 立方厘米的速度向容器內(nèi)注入某種溶液,求容器內(nèi)溶液高度y 與注入時(shí)間 t (秒)的函數(shù)關(guān)系式及其定義域.方法引導(dǎo):本題是有關(guān)函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題,其方法是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)的式子表示岀來(lái),建立變量之間的函數(shù)關(guān)系.由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)的定義域除使函數(shù)有意義外,還要符合實(shí)際問(wèn)題的 要求.4S解:依題意,容器內(nèi)溶液每秒升高2(厘米).nd工曰4S,于是 y=2 t;nd224Snhd2又注滿容器所需時(shí)間為 h+( 弋)=壬鳴(秒)nd24S故函數(shù)的定義域是0 ,匹亠.4S【例 6】求下列函數(shù)的值域:當(dāng)1 m=m,1x=m=;2mxw1m.(1) y=2x+1 , x 1, 2, 3, 4
11、, 5;(2) y= ,x+1 ;(4) y= x22x+3(-5x 0,二.X+1 1,即所求函數(shù)的值域?yàn)?,+8函數(shù)的定義域?yàn)?R, x2+1 1.二 ov乞 2.1 +x2y ( 1,1.所求函數(shù)的值域?yàn)?1,1 .(4)Vy =x22x+3=(x+1)2+4,又一 5 x 2, 4 x+1 1.1W(x+1)216. 12 4( x+1)2 3.函數(shù)的值域?yàn)?2,3.三、 課堂練習(xí)1. 教科書(shū) P22練習(xí)題 2.答案:(1)不相等.因?yàn)榍罢叩亩x域?yàn)閠|0Wt 100,而后者的定義域?yàn)镽.(2)不相等.因?yàn)榍罢叩亩x域?yàn)镽,而后者的定義域?yàn)閤x 0.2. 教科書(shū) P22練習(xí)題 3.解答:(1) f (2) =28,f ( 2) = 28,f (2) +f ( 2) =0.(2)f (a) =3a3+2a,f ( a) = ( 3a3+2a), f (a) +f ( a) =0.(3) f ( x) +f ( x) =0.四、 課堂小結(jié)1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):(1)符號(hào)“ y=f (x) ”的含義;(2)兩個(gè)函數(shù)相等的判別;(3)函數(shù)定義域與值域的(3)y=
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