2019屆高三文數(shù)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練：第4章三角函數(shù)解三角形課時(shí)跟蹤訓(xùn)練24

1、課時(shí)跟蹤訓(xùn)練（二十四）基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.已知兩座燈塔 A、B 與 C 的距離都是 a,燈塔 A 在 C 的北偏東 20燈 塔 B 在C 的南偏東 40，則燈塔 A 與燈塔 B 的距離為（）A . aB. 3aC. 2aD. 2a解析如圖所示，由余弦定理可知，AB2= a2+ a2 2aacos120= 3a2得AB= 3a.故選 B.答案B2 .如圖，設(shè) A、B 兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在 A 的同側(cè)，在所在的河岸 邊選定一點(diǎn) C,測(cè)出 AC 的距離為 50 m,ZACB= 45 / CAB= 105后，就可 以計(jì)算出 A、B 兩點(diǎn)的距離為（）B. 50 3 mD.警 m解析由題意得/ B

2、= 180 45 105 = 30A. 50 2 mC. 25 2 m由正弦定理得AB _ AC sin/ACB sinB，- 43. 兩座燈塔 A 和 B 與海岸觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在觀察站北偏東40燈塔 B 在觀察站南偏東 60則燈塔 A 在燈塔 B 的（）A .北偏東 10B .北偏西 10C.南偏東 10D .南偏西 10解析燈塔 A、B 的相對(duì)位置如圖所示，由已知得/ ACB= 80/CAB=ZCBA=50貝y a=60- 50= 10 即北偏西 10答案B4.在湖面上高為 10 m 處測(cè)得天空中一朵云的仰角為 30 測(cè)得湖中之影的 俯角為 45， 則云距湖面的高度為（

3、精確到 0.1 m）（）A . 2.7 mB. 17.3 mC. 37.3 mD. 373 m.AB=ACEACBsinB50X#_一 = 50 2(m).2解析依題意畫出示意圖.CM 10_C M+ 10 則tan30 = tan45 373答案C5. 張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以 24 km/h 的速度沿著正北方向的公路行駛， 在點(diǎn)A 處望見電視塔 S 在電動(dòng)車的北偏東 30方向上，15 min 后到點(diǎn) B 處望見 電視塔在電動(dòng)車的北偏東 75方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn) B 時(shí)與電視塔 S 的距離是 ()A. 2 2 kmB. 3 2 kmC. 3 3 kmD. 2 ,3 km解析畫出示意圖如圖，由

4、條件知 AB= 24X= 6在 ABS 中，/ BAS= 30 AB= 6,ZABS= 180 60BSABABsin3075= 105，所以/ ASB= 45.由正弦定理知 SBSTsin45，所以 BS=sin45 =3 2.答案B6.在 200 米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂和塔底的俯角分別為30 60則塔咼為()15tan45+tan30 10解析作出示意圖如右圖，由已知，在 RtAOAC 中，0A= 200,/ OAC= 30 貝 S OC= OA tan/ OAC=200ta n30 =203.在 RtAABD 中，AD =203,zBAD=30廠r200J3200貝 S BD =

5、AD tan/ BAD = tan30 =, BC= CD BD= 200-200=竽答案A二、填空題7. 船以每小時(shí) 15 km 的速度向正東航行，船在 A 處看到一個(gè)燈塔 M 在北偏東 60方向，行駛 4 h 后，船到 B 處，看到這個(gè)燈塔在北偏東 15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為 _ km.解析如圖所示，依題意有:AB=15X4=60,/MAB=30/AMB=45在厶 AMB 中，由正弦定理得60 = BMsin45 =sin30，解得 BM = 30 2(km).答案30,28 （2017 廣東廣州市高三綜合測(cè)試）江岸邊有一炮臺(tái)高 30 m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水面上，由炮臺(tái)

6、頂部測(cè)得俯角分別為45和 60而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成 30角，則兩條船相距 _ m.解析如圖，由題意知，OA= 30,/ OAM = 45 / OAN= 30/ MON = 30在 RtAAOM 中，OM = OA tan / OAM = 30 tan45 = 30.在 RtAAON 中，ON= OAtan/ OAN = 30 tan30 = 13.在厶 MON 中，由余弦定理得MN = OM2+ ON2 2OM ON cos/ MON=900+3002X30 x10,3X j=.300= 10 3(m).答案10 39. (2018 山西大學(xué)附中檢測(cè))如圖，從氣球 A 上測(cè)得正前方的河流

7、的兩岸 B,C 的俯角分別為 75 30此時(shí)氣球的高是 60 m，則河流的寬度 BC 等于_m.A 3060 mi 、! 上工_二亠D BC解析如圖，/ ACD = 30/ ABD= 75 AD = 60 m,AD60在 RgACD 中，CD = tan/ACD=tan3060 3(m)，在 RtA ABD 中，BD = -今 ABD=t656r:tan/ ABD tan75 2 + p 3=60(2 - 3)(m), BC= CD- BD= 60 3-60(2 3)= 120( 3- 1)(m).答案120( 3- 1)三、解答題10.港口 A 北偏東 30方向的 C 處有一檢查站，港口正東

8、方向的 B 處有一輪 船，距離檢查站為 31 海里，該輪船從 B 處沿正西方向航行 20 海里后到達(dá) D 處 觀測(cè)站，已知觀測(cè)站與檢查站距離 21 海里，問此時(shí)輪船離港口 A 還有多遠(yuǎn)？解 在厶 BDC 中，BC= 31, BD = 20, CD = 21,由余弦定理知，cos/ CDBBD2+ CD2 BC22BD CD17,sin / CDB =43.冗inn3sin/ACD=sin/CDB3 J= sin/CDBCOS3cos/CDBsin在ACD中，由正弦定理知 sDD=誥？AD=21-f=15二此時(shí)輪船距港口還有 15 海里.能力提升11.（2017 山西太原模擬）某登山隊(duì)在山腳 A

9、 處測(cè)得山頂 B 的仰角為 45沿 傾斜角為 30的斜坡前進(jìn) 1000 m 后到達(dá) D 處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?60 則山的高度 BC 為()A . 500( 3 + 1)mC. 500( 2 + 1)mB. 500 mD. 1000 m解析過點(diǎn) D 作 DE/ AC 交 BC 于 E,因?yàn)? DAC = 30故/ ADE= 150.于是/ADB = 360 150 60= 150.又/ BAD = 45 30= 15 故/ ABD = 15 由正ADsin/ ADB 1000si n150弦疋理，得AB=前/ABD = sin15 =500( 6+2)(m)所以在 RtAABC 中，BC=

10、ABsin45 = 500&3 + 1)(m).方向前進(jìn) 10 米到 D， 測(cè)得塔頂 A 的仰角為 30，則塔高為（A . 15 米C. 10 米解析如圖，設(shè)塔高為 h,在 RtAAOC 中，/ ACO = 45 貝卩 OC= OA= h.在 RtAAOD 中，/ ADO = 30則 OD= 3h,在厶 OCD 中，/ OCD= 120CD = 10,由余弦定理得：OD2= OC2+ CD2 2OC CDcosZOCD,即 C.3h）2=h2+1022hx10Xcos120 h2 5h 50= 0,解得 h= 10 或 h= 5（舍）.答案C13._甲船在A 處觀察乙船，乙船在它的北偏

11、東 60的方向，兩船相距 a 海里, 乙船正向北行駛，若12.某人在 C 點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西 80塔頂仰角為 45此人沿南偏東 40B. 5 米D. 12 米甲船是乙船速度的（3 倍，則甲船應(yīng)取方向 _能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了海里.1_ 書sin/ CAB=sin 120， sin/CAB= 1，二/ CAB= 30/ ACB= 30BC= AB= a, AC2= AB2+ BC2 2AB BCcos120 =a2+ a2 2a2 2= 3a2,. AC= 3a.答案北偏東 30 3a14. （2017廣東省五校協(xié)作體高三一診）如圖所示， 在一個(gè)坡度一定的山坡 AC 的頂上有一高度為 25

12、 m 的建筑物 CD,為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角0,在山坡的 A 處測(cè)得/ DAC = 15沿山坡前進(jìn) 50 m 到達(dá) B 處，又測(cè)得/ DBC= 45根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得 cos0=_.解析速度為 v,如圖所示，設(shè)到 C 點(diǎn)甲船追上乙船，乙到 C 地用的時(shí)間為 t,乙船則 BC = tv, AC= 3tv, B= 120由正弦定理知BC_ ACsin/ CAB=sinB，B解析由/DAC= 15 / DBC = 45可得/ BDA = 30 / DBA = 135 /BDC = 90 (15+0)-30 = 45-0,由內(nèi)角和定理可得/ DCB= 180 (45 -0)45 = 90+0

13、,根據(jù)正弦定理可得.50 = .DB ,即 DB = 100sin15 =sin 30sin 15100 xsin(4530=1 2231)，又 譎=2驚 0+0，即 磊257x0-1，得到 cos0=3-1.答案.3 115.海島 B 上有一座高為 10 米的塔，塔頂有一個(gè)觀測(cè)站 A,上午 11 時(shí)測(cè)得 一游船位于島北偏東 15方向上，且俯角為 30。的 C 處，一分鐘后測(cè)得該游船位 于島北偏西 75方向上，且俯角為 45的 D 處.(假設(shè)游船勻速行駛)在 RtAABD 中，/ BAD= 45 AB= 10,貝 S BD = 10 米;1 求該船行駛的速度(單位：米/分鐘);2 又經(jīng)過一段時(shí)

14、間后，游船到達(dá)海島 B 的正西方向 E 處，問此時(shí)游船距離 海島B 多遠(yuǎn)？解(1)在 Rt ABC 中，/ BAC= 60 AB= 10, 則 BC= 10 .3 米；在乂BCD 中，/ DBC = 75 + 15= 90貝 S CD = BD2+ BC2= 20 米.CD所以速度 v= CD = 20 米/分鐘.（2）在 Rt BCD 中，/ BCD= 30又因?yàn)? DBE= 15 所以/ CBE= 105 所以/ CEB= 45EBBC在BCE中,由正弦定理可知 sin30=sinBCsin30 、/所以EB=sin45=5 6米.延伸拓展（2017 江西宜春段考）某工廠實(shí)施煤改電工程防治霧霾， 欲拆除高為 AB 的 煙囪，測(cè)繪人員取