圖像處理(第5章)

1、第五章第五章 濾波和濾波器設(shè)計濾波和濾波器設(shè)計 本章要點： 線性系統(tǒng)理論 經(jīng)典數(shù)字濾波方法 魏納濾波器及其設(shè)計方法 MATLAB線性濾波器設(shè)計5.1 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 5.1.1 線性系統(tǒng)理論 系統(tǒng)是指任何一個接收輸入并產(chǎn)生相應(yīng)輸出的實體。輸入和輸出可以是一維、二維和更高維數(shù)的。 可以證明，線性函數(shù)表達(dá)式：dxtfty)(),()( 就足夠說明任何線性系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系。5.1.2 一維卷積一維卷積 參見線性系統(tǒng)相關(guān)內(nèi)容 P82 卷積定義：dxtgty)()()( 上式表明，線性移不變系統(tǒng)的輸出可以通過輸入信號與一個表征系統(tǒng)特性的函數(shù)卷積得到，這個表征函數(shù)叫做系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。

2、卷積離散形式為jjigjfigifih)()()(*)()( 其中，I=0，1，m；j=0，1，n。 矩陣形式如下：)(.)2()1()1(.)1()(.)3(.)1()2()2(.)()1(NfffgNgNgggggNggfGh5.1.3 二維卷積二維卷積 二維卷積的表達(dá)式如下： dudvvyuxgvufgfyxh),(),(),( 二維卷積的離散形式如下：1010),(),(),(MmNnnjmiGnmFjiH 卷積常用來實現(xiàn)對信號或圖像進(jìn)行線性運算（具體見第七章），在圖像濾波、去卷積、去噪音和增強等方面用處較大。5.1.4 卷積定理和相關(guān)性定理卷積定理和相關(guān)性定理 卷積定理是線性系統(tǒng)分析

3、中最常用、最重要的定理之一，該定理指出了傅立葉變換的一個重要性質(zhì)：時域中的卷積相當(dāng)于頻域中的相乘，即：)()()()(sgsFtgtfF)()()()(1tgtfsGsFF 相關(guān)性定理也是線性系統(tǒng)理論中比較重要的一個定理，該定理描述了函數(shù)自變量尺度變換對其傅立葉變換的影響： 減小自變量的尺度將會展寬函數(shù)的傅立葉變換頻譜，而增大自變量的尺度則會壓縮函數(shù)的傅立葉變換頻譜。即：)(1)(asFaatfF5.1.5 濾波與濾波器設(shè)計濾波與濾波器設(shè)計 濾波是信號處理的一種最基本而又極為重要的技術(shù)，利用濾波技術(shù)可以從復(fù)雜的信號中提取出所需要的信號，抑制不需要的信號。 濾波器就是一種選頻器件或結(jié)構(gòu)，它對某一

4、頻率的信號給予很小的衰減，使這部分信號能順利通過，而對其他不需要的頻率信號則進(jìn)行大幅度衰減，盡可能阻止這些信號通過。 在圖像處理中，濾波常常用來修改或增強圖像，以提高圖像的信息量。數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 若濾波器的輸入、輸出都是離散時間信號，那么該濾波器的沖激響應(yīng)也必然是離散的，這樣的濾波器稱為數(shù)字濾波器。 按照濾波器的時域特性可以將數(shù)字濾波器分為無限沖激響應(yīng)濾波器（IIR濾波器）和有限沖激響應(yīng)濾波器（FIR濾波器）兩種。 MATLAB所有濾波器設(shè)計函數(shù)都將返回一個FIR濾波器。 FIR濾波器是一個對單點或脈沖具有有限響應(yīng)范圍的濾波器，由于它具有描述方便（可以用系數(shù)矩陣表示）、可以有效防止圖像失

5、真（相位呈線性）、設(shè)計可靠、容易實現(xiàn)、效果穩(wěn)定等特征，所以成為MATLAB環(huán)境下最理想的濾波工具。數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 數(shù)字濾波器可分為兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。 經(jīng)典濾波器是假定輸入信號中的有用頻率成分和希望去除的頻率成分各占有不同的頻帶。 經(jīng)典濾波器又可以分為四種，即低通（LP）濾波器、高通（HP）濾波器、帶通（BP）濾波器和帶阻（BS）濾波器。 LP使截止頻率以下的所以信號通過，截止頻率以上的信號則給予很大的衰減，阻止其通過； HP使截止頻率以上的信號通過，阻止截止頻率以下的信號通過； BP使某一頻帶內(nèi)的信號通過，而對于這個頻帶范圍以外的信號則給予很大的衰減； BS抑制某一頻帶內(nèi)的

6、信號，同時讓這一頻帶以外的其他信號通過。 BP與BS中有兩個截止頻率，分別稱為上截止頻率和下截止頻率。 如果信號和噪聲的頻譜相互重疊，那么就需要使用現(xiàn)代濾波器。 現(xiàn)代濾波器主要研究如何從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱時間序列）中估計出信號的某些特征或信號本身。 通常估計信號的信噪比將會高于原始信號。 現(xiàn)代濾波器把信號和噪聲都視為隨機信號，利用它們的統(tǒng)計特征（如，自相關(guān)函數(shù)、功率譜等）導(dǎo)出一套最佳的估算法，然后予以實現(xiàn)。 魏納（Wiener）濾波是一種最基本而常用的現(xiàn)代濾波方法，這種濾波器以最小均方誤差作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)，通過分析輸入隨機信號和噪聲的自相關(guān)性，利用傅立葉變換得到原始信號的最優(yōu)估計。5.2 經(jīng)

7、典數(shù)字濾波方法經(jīng)典數(shù)字濾波方法 5.2.1 LP濾波器 通常信號或圖像的大部分能量都集中在其頻譜的中、低頻段，而在高頻部分，圖像中有用的信息常被噪聲淹沒，因此，可以用一個降低高頻成分的濾波器來達(dá)到一種圖像平滑效果。 最簡單的LP濾波器有三種：矩形濾波器、三角形濾波器、高頻截止濾波器。5.2.2 帶通和帶阻濾波器帶通和帶阻濾波器 理想帶通濾波器： 一對矩形脈沖的沖激響應(yīng)曲線 （參見MATLAB與科學(xué)計算） 1.矩形函數(shù)的傅立葉變換曲線 2.三角形函數(shù)的傅立葉變換曲線 3.一對矩形的傅立葉變換曲線 4.高斯函數(shù)的傅立葉變換曲線 5.各種函數(shù)的傅立葉變換曲線5.2.3 高通濾波器高通濾波器 高通濾波

8、器也稱為高頻增強濾波器，其傳遞函數(shù)在0頻率處取值為單位1，隨著頻率的增長，傳遞函數(shù)的數(shù)值逐漸增加，當(dāng)頻率增加到一定數(shù)值后傳遞函數(shù)又取0值或降低某個大于1的增益。如果傳遞函數(shù)通過原點，那么稱該濾波器為拉普拉斯濾波器。5.3 魏納濾波器及其設(shè)計方法魏納濾波器及其設(shè)計方法 5.3.1 隨機變量 5.3.2魏納濾波原理 5.3.3 魏納濾波器設(shè)計方法 （參見線性系統(tǒng)相關(guān)內(nèi)容）5.3.4 圖像的魏納濾波方法圖像的魏納濾波方法 對圖像進(jìn)行魏納濾波主要是為了消除圖像中存在的噪聲。 可以利用MATLAB的winener2函數(shù)對一幅圖像進(jìn)行自適應(yīng)魏納濾波。 調(diào)用格式： J=winener2（I，M N，NOIS

9、E） 其中，I表示輸入圖像，M N表示卷積使用的鄰域大小，缺省值為3 3，NOISE是噪聲強度，如果不指定此參數(shù)，那么wiener2函數(shù)將返回一個估計的噪聲強度。5.4 MATLAB線性濾波器設(shè)計線性濾波器設(shè)計 5.4.1 MATLAB線性濾波器設(shè)計 主要設(shè)計方法有三種： 頻率變換方式 頻率采樣方式（根據(jù)所需頻率響應(yīng)創(chuàng)建濾波器） 窗口方式（將理想脈沖響應(yīng)乘以窗口函數(shù)從而生成所需濾波器）5.4.2 頻率變換方式頻率變換方式 頻率變換設(shè)計方法首先設(shè)計一個性能較好的一維FIR濾波器，然后將其變換為二維FIR濾波器。 函數(shù)ftrans2可以實現(xiàn)頻率變換濾波器的設(shè)計。 調(diào)用格式： H=ftrans2（B

10、，T） 其中，B是一維FIR濾波器，T是將一維FIR濾波器變換為二維FIR濾波器H的頻率變換矩陣，缺省值為1 2 1；2 4 2；1 2 1/8 利用函數(shù)ftrans2可以使用所有信號處理和濾波器設(shè)計工具箱中設(shè)計函數(shù)進(jìn)行各種二維圖像濾波器的設(shè)計。 例如：先調(diào)用函數(shù)butter進(jìn)行一維LP、HP、BP、BS等的BUTTERWORTH濾波器的設(shè)計然后將其變換為二維的。 利用Help BUTTER在MATLAB命令窗口可得到相關(guān)信息。5.4.3 頻率采樣方法頻率采樣方法 頻率采樣方法是一種根據(jù)所需頻率響應(yīng)創(chuàng)建濾波器的方法。給出一個指定頻率響應(yīng)幅值的點陣，頻率采樣方法將創(chuàng)建一個相應(yīng)的濾波器，該濾波器的

11、頻率響應(yīng)將經(jīng)過所有給定點。頻率采樣對于給定點之間的頻率響應(yīng)行為不做任何限制，因而給定點之間的頻率響應(yīng)通常都是振動的。 MATLAB圖像處理工具箱函數(shù)fsamp可以實現(xiàn)二維FIR濾波器的頻率采樣設(shè)計。 Fsamp2調(diào)用格式； H=fsamp2（F1，F(xiàn)2，HD，M N） 其中，返回的M*N維濾波器H的頻率響應(yīng)將與頻率響應(yīng)HD中每一個由F1和F2指定的點相匹配。參數(shù)F1、F2和M N都是可選參數(shù)，缺省情況下H將與HD具有相同的大小，其頻率響應(yīng)將匹配HD中的每一個點。 也可以使用freqspace函數(shù)創(chuàng)建一個符合要求的頻率響應(yīng)幅值矩陣，該函數(shù)對任意大小的響應(yīng)都能返回均勻間隔的頻率值。例P98 將所需

12、的頻率響應(yīng)離散化后調(diào)用函數(shù)fsamp2就可以實現(xiàn)任意所需的濾波器。 NOTE：當(dāng)所需頻率響應(yīng)中存在尖銳躍遷的時候，真實的頻率響應(yīng)就會出現(xiàn)振動現(xiàn)象。5.4.4 窗口方法窗口方法 窗口方法是將理想的脈沖響應(yīng)與窗口函數(shù)相乘來獲得濾波器的方法。 和頻率采樣方法類似，窗口方法將產(chǎn)生一個頻率響應(yīng)近似于所需頻率響應(yīng)的濾波器，但是窗口方法得到的結(jié)果比頻率采樣方法要好。 MATLAB圖像處理工具箱提供兩個函數(shù)實現(xiàn)基于窗口的濾波設(shè)計： fwind1和fwind2。 fwind1函數(shù)根據(jù)由輸入?yún)?shù)指定的一維窗口創(chuàng)建一個二維窗口，然后進(jìn)行二維濾波器設(shè)計，fwind2函數(shù)則直接使用指定的二維窗口函數(shù)設(shè)計二維濾波器。 fwind1函數(shù)函數(shù)支持兩種不同的二維窗口創(chuàng)建方法：一種方法是對一個單獨的一維窗口進(jìn)行變換，使用類似旋轉(zhuǎn)的方法創(chuàng)建一個近似中心對稱的二維窗口，其調(diào)用格式： H=fwind1（HD，WIN） 其中，HD是所需的頻率響應(yīng)，WIN是指定的一維窗口函數(shù)，如，oxcar、hamming、hanning、kaiser等。 Fwind1函數(shù)另一種創(chuàng)建二維窗口的方法是計算兩個一維窗口的乘機，從而生成一個二維矩形可分窗口。 調(diào)用格式：H=f