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1、全等三角形提高練習(xí)1.如圖所示,ABCZkADE,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)點(diǎn)E,ZACB=ZAED=105°,ZCAD=10°,ZB=50°,求ZDEF的度數(shù)。關(guān)32.如圖,AOB中,ZB=30°,將ZkAOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52°,得到ZkAOB',邊AB與邊OB交于點(diǎn)C(A不在0B上),則ZAZCO的度數(shù)為多少O3.如圖所示,在ABC中,ZA=90°,D、E分別是AC、BC上的點(diǎn),若左ADBAEDBAEDC,則NC的度數(shù)是多少七4.如圖所示,把ZABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°,得到ZABC,A'B'交AC于點(diǎn)

2、D,若NA'DC=90°,則ZA=5.已知,如圖所示,AB二AC,AD«LBC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,則AD是多巧,6.如圖,RtAABC中,ZBAC=90°,AB=AC,分別過(guò)點(diǎn)B、C作過(guò)點(diǎn)A的垂線(xiàn)BC、CE,垂足分別為D、E,若BD=3,CE=2,則DE=DAE7.如圖,AD是ZABC的角平分線(xiàn),DE±AB,DF_LAC,垂足分別是E、F,連接EF,交AD氣G,AD與EF垂直嗎證明你的結(jié)論。/A8.如圖所示,在ZkABC中,AD為匕BAC的角平分線(xiàn),DE±AB于E,DF1AC于F,AABC的

3、面積是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的長(zhǎng).9.已知,如圖:AB二AE,ZB=ZE,ZBAC=ZEAD,ZCAF=ZDAF,求證:AFXCD10.如圖,AD=BD,AD1.BC于D,BE±AC于E,AD與BE相交于點(diǎn)H,則BH與AC相等嗎為什么11.如圖所示,已知,AD為ZkABC的高,E為AC上一點(diǎn),BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求證:BE±ACA12.ADAC.AEBC均是等邊三角形,AF、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N,(3)CMN為等邊三角形(4)MN/7BC13.14.如圖所示,己知ABC和ABDE都是等邊三角形,下列結(jié)論:

4、4;AE=CD:BF=BG;BH平分ZAHD;ZAHC=60°:ZkBFG是等邊三角形:FGAD,其中正確的有(A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)15.已知:BD、CE是ABC的高,點(diǎn)F在BD上,BF=AC,點(diǎn)G在CE的延長(zhǎng)線(xiàn)上,CG=AB,求證:AG1AFAe如圖:在ZABC中,BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CG=AB,連結(jié)AD、AG4A求證:(1)AD=AGG(2)AD與AG的位置關(guān)系如何E如圖,求證:己知E是正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC上,且ZDAE=ZFAEAF=AD-CF18.如圖所示,已知ABC中,AB=AC,

5、D是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),ZADB=60°,E是AD上一點(diǎn),且DE=DB,求證:AC=BE+BCA19.如圖所示,已知在AEC中,ZE=90°,AD平分ZEAC,DF_LAC,垂足為F,DB=DC,求證:BE=CF20.已知如圖:AB=DE,直線(xiàn)AE、BD相交于C,ZB+ZD=180°,AFDE,交BD于F,求證:CF=CD21.如圖,OC是ZAOB的平分線(xiàn),P是OC上一點(diǎn),PD±OA于D,PE10B于E,F是OC上一點(diǎn),連接DF和EF,求證:DF=EF<22.己知:如圖,BF±AC于點(diǎn)F,CE1AB于點(diǎn)E,且BD=CD,求證:(1)ZBDE

6、竺zCDF(2)點(diǎn)D在NA的平分線(xiàn)上23.如圖,己知ABCD,0是NACD與匕BAC的平分線(xiàn)的交點(diǎn),OEJ_AC于E,且0E=2,則AB與CD之間的距離是多少24.如圖,過(guò)線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線(xiàn)AM、BN,使AMBN,按下列要求畫(huà)圖并回答:畫(huà)NMAB、ZNBA的平分線(xiàn)交于E(1)ZAEB是什么角(2)過(guò)點(diǎn)E作一直線(xiàn)交AM于D,交BN于C,觀察線(xiàn)段DE、CE,你有何發(fā)現(xiàn)(3)無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng),只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,AD+BC=AB:AD+BOCD誰(shuí)成立并說(shuō)明理由。,。m25.如圖,MBC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是2。、3。、4。,其三條角平分線(xiàn)將ZABC分為券個(gè)三角形,則S

7、aabo:Sabco:Sacao等于26. 正方形ABCD中,AC、BD交于0,ZEOF=90°,已知AE=3,CF=4,則S"EF為多少27. 如圖,在RtAABC中,ZACB=45°,ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),AF_LCD于H,交BC于F,BEAC交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,求證:BC垂直且平分DE28. 在ZABC中,ZACB=90°,AC=BC,直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD±MN于D,BE±MN于E(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí),求證:DE=AD+BE(2)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí),求證:D

8、E=AD-BE(3)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系。1解:VAABCAAED.ZD=ZB=50°/ZACB=105°)ZACE=75°V ZCAD=10°ZACE=75°ZEFA=ZCAD+ZACE=85°(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)同理可得ZDEF=ZEFA-ZD=85°-50°=35°2根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得ZB=ZB,因?yàn)閆kAOB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52。,所以ZBOB,=52。,而ZA*CO是B9C的外角,所以ZAX

9、O=ZBZBOB然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.解答:解:是由ZkAOB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,ZB=30AZB/=ZB=30°,V AAOB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52。,.ZBOBZ=52%/ZAZCO是B,OC的外角,ZAfCO=ZBz+ZBO.故選D.3全等三角形的性質(zhì):對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角;三角形內(nèi)角和定理.分藥,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ZA=ZDEB=ZDEC,ZADB=ZBDE=ZEDC,根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出ZDEC.ZEDC的度數(shù),根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.解答:解:.'ADB絲ZkEDB絲ZkEDC,.-ZA=ZDEB=ZDEC,ZADB=ZBDE=ZEDC,/ZDEB+

10、ZDEC=180%ZADB+ZBDE+EDC=180.ZDEC=90ZEDC=60°,ZC=180°-ZDEC-ZEDC,=180o-90°-60o=30°.4分析:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得知ZACAT5。,從而求得NA,的度數(shù),又因?yàn)镹A的對(duì)應(yīng)角是ZA即可求出NA的度數(shù).)解答:解:三角形ABC繞著點(diǎn)C時(shí)針旋轉(zhuǎn)35。,得到ABC.NACA'=35°,ZAlDC=90°ZAJ=55%NA的對(duì)應(yīng)角是ZA即ZA=ZAZA=55°;故答案為:55。點(diǎn)評(píng):此題考查了旋轉(zhuǎn)地性質(zhì);圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固

11、定角度的位置移動(dòng).其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有改變.解題的關(guān)鍵是正確確定對(duì)應(yīng)角5因?yàn)锳B二AC三角形ABC是等腰三角形所以AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因?yàn)锳D垂直于BC于D,所以BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6解:VBD±DE,CE1DEcAZD=ZEZBAD+ZBAC+ZCAE=180°又VZBAC=90°,AZBAD+ZCAE=90°.在RtAABD中,ZABD+ZBAD=90°AZA

12、BD=ZCAE.在ABD與ZCAE中ZABD=ZCAEZD=ZEAB=AC/.AABDACAE(AAS)BD=AE,AD=CEVDE=AD+AE/.DE=BD+CEVBD=3,CE=2/.DE=57證明:.胡。是NBAC的平分線(xiàn)AZEAD=ZFAD又.DE_LAB,DF±ACZAED=ZAFD=90°邊AD公共ARtAAEDRtAAFD(AAS)AAE=AF即AAEF為等腰三角形而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線(xiàn)AAD1底邊EF(等腰三角形的頂角的平分線(xiàn),底邊上的中線(xiàn),底邊上的高的重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線(xiàn)合一)8AD平分ZBAC,貝IJZEAD=ZFAD>ZEDA=ZDF

13、A=90AD=AD所以AEDAAFDDE=DFSAABC=SAAED+SAAFD28=l/2(AB*DE+AC*DF)=l/2(20*DE+8*DE)DE=29AB=AE,ZB=ZE,ZBAC=ZEAD則左ABC絲ZXAEDAC=ADAACD是等腰三角形ZCAF=ZDAFAF平分ZCAD則AF±CD10 解:VAD±BCZADB=ZADC=90AZCAD+ZC=90VBEXAC.ZBEC=ZADB=90AZCBE+ZC=90.ZCAD=ZCBEVAD=BDAABDHAADC(ASA).BH=AC11 解:(1)證明:VAD1BC(已知),AZBDA=ZADC=90o(垂直定

14、義),.Zl+Z2=90°(直角三角形兩銳角互余).在RtABDF和RtAADC中,.-RtABDFRtAADC().AZ2=ZC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).VZl+Z2=90°(己證),所以Zl+ZC=90°.VZ1+ZC+ZBEC=18O°(三角形內(nèi)角和等于180°),AZBEC=90°.ABE±AC(垂直定義);12證明:(1).DAC、ZkEBC均是等邊三角形,.AC=DGEC=BC,ZACD=ZBCE=60%ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,即ZACE=ZDCB.在ZkACE和zDCB中,AC=DCZACE=

15、ZDCBEC=BCACE絲ZkDCB(SAS)AAE=BD(2)由(1)可知:ZACE絲DCB,AZCAE=ZCDB.即匕CAMNCDN.DAC、AEBC均是等邊三角形,.AC=DGZACM=ZBCE=60°.又點(diǎn)A、C、B在同一條直線(xiàn)上,ZDCE=180°-ZACD-ZBCE=180°60°-60°=60°,即ZDCN=60°.ZACM=ZDCN.在ZkACM和ZkDCN中,ZCAM=ZCDNAC=DCZACM=ZDCNAAACMADCN(ASA)ACM=CN.(3)由(2)可知CM二CN,NDCN二60°.CM

16、N為等邊三角形由(3)知ZCMN=ZCNM=ZDCN=60°(.ZCMN+ZMCB=180°MN/BC13分析:(1)由等邊三角形可得其對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等,對(duì)應(yīng)角相等,進(jìn)而可由SAS得到CANAMCB,結(jié)論得證:(2)由(1)中的全等可得ZCAN=ZCMB,進(jìn)而得出ZMCF=ZACE.由ASA得出CAE竺ZkCMF,即CE=CF,又ECF=60。,所以CEF為等邊三角形.解答:證明:(1).ACM,ACBN是等邊三角形,.AC=MC,BC二NC,ZACM=60°,ZNCB=60°,在ZkCAN和AMCB中,AC=MC,ZACN=ZMCB,NC=BC,AACAN

17、AMCB(SAS),AAN=BM.(2)VACANTACMB,AZCAN=ZCMB,又VZMCF=180o-ZACM-ZNCB=180°-60o-60°=60.ZMCF=ZACE,在ZCAE和ZkCMF中,ZCAE=ZCMF,CA=CM,ZACE=ZMCF,CAE竺ZkCMF(ASA),CE=CF,.CEF為等腰三角形,又VZECF=60°,CEF為等邊三角形.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問(wèn)題,能夠掌握并熟練運(yùn)用.14考點(diǎn):等邊三角形的性質(zhì):全等三角形的判定與性質(zhì):旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).分析:由題中條件可得左ABE絲ZkCBD,得出對(duì)應(yīng)邊、

18、對(duì)應(yīng)角相等,進(jìn)而得出左BGDABFE,AABFACGB,再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確,進(jìn)而可得出結(jié)論.解答:解:VAABC與ZBDE為等邊三角形,AAB=BC,BD二BE,ZABC=ZDBE=60°,ZABE=ZCBD>即AB=BC,BD=BE,ZABE=ZCBD.ABE絲ZCBD,AE=CD,ZBDC=ZAEB,又VZDBG=ZFBE=60%BGD絲ZkBFE,ABG=BF,ZBFG=ZBGF=60%.BFG是等邊三角形,.FGAD,VBF=BG,AB=BC,ZABF=ZCBG=60°,ABF絲ACGB,.ZBAF=ZBCG,ZCAF+ZACB+ZBCD=Z

19、CAF+ZACB+ZBAF=60°+60°=120°,ZAHC=60%/ZFHG+ZFBG=120°+60°=180%AB.G、H、F四點(diǎn)共圓,VFB=GB,AZFHB=ZGHB,ABH平分ZGHF,題中都正確.故選D.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題,能夠熟練掌握.15考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì).分析:仔細(xì)分析題意,若能證明八ABF絲ZkGCA,則可得AG=AF.在ABF和AGCA中,有BF二AC、CG=AB這兩組邊相等,這兩組邊的夾角是NABD和ZACG,從己知條件中可推出/ABDNACG.在RtAAGE中

20、,ZG+ZGAE=90而ZG=ZBAF,則可得出ZGAF=90%即AG_LAF.解答:解:AG=AF,AG1AF.VBD.CE分別是ZABC的邊AC,AB上的高.ZADB=ZAEC=90°AZABD=90°-ZBAD,ZACG=90°-ZDAB,AZABD=ZACG在ZABF和ZkGCA中BF=ACZABD=ZACGAB=CGAAABFAGCA(SAS).AG=AFZG=ZBAFj又NG+/GAE=90度.AZBAF+ZGAE=90度.ZGAF=90°.AG_LAF.點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì):要求學(xué)生利用全等三角形的判定條件及等量關(guān)系靈活解

21、題,考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解和掌握,運(yùn)用所學(xué)知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力,范圍較廣.161、證明:VBEXACZAEB=90AZABE+ZBAC=90VCF±AB)ZAFC=ZAFG=90AZACF+ZBAC=90,ZG+ZBAG=90AZABE=ZACFVBD=AC>CG=ABAAABDAGCA(SAS)AAG=AD2、AG1AD證明vAabdAgca.ZBAD=ZG.AZGAD=ZBAD+ZBAG=ZG+ZBAG=90AAG±AD17過(guò)E做EG1AF于G,連接EFVABCD是正方形.ZD=ZC=90°AD=DCVZDAE=ZFAE,ED1AD,EG1AFA

22、DE=EGAD=AG.E是DC的中點(diǎn)ADE=EC=EGVEF=EFRtAEFGRtAECFAGF=CF.AF=AG+GF=AD+CF18因?yàn)椋航荅DB=60°DE=DB所以:AEDB是等邊三角形,DE=DB=EB過(guò)A作BC的垂線(xiàn)交BC于F因?yàn)椋篈ABC是等腰三角形所以:BF=CF,2BF=BC又:角DAF=30°所以:AD=2DF又:DF=DB+BF所以:AD=2(DB+BF)=2DB+2BF=2DB+BC(AE+ED)=2DB+BC,其中ED=DB所以:AE=DB+BC,AE=BE+BC19補(bǔ)充:B是FD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn):ED=DF(角平分線(xiàn)到兩邊上的距離相等):BD=CD;

23、角EDB=FDC(對(duì)頂角):則三角形EDB全等CDF:則BE=CF:或者補(bǔ)充:B在AE邊上;ED=DF(角平分線(xiàn)到兩邊上的距離相等):DB=DC則兩直角三角形EDB全等CDF(HL)即BE=CF20解:VAF/DEAZD=ZAFCVZB+ZD=180°/,ZAFC+ZAFB=180°AZB=ZAFB(AAB=AF=DEAAFC和EDC中:ZB=ZAFBzZACF=ZECD(對(duì)頂角),AF=DEAAFCAEDC/.CF=CD21證明:.點(diǎn)P在ZAOB的角平分線(xiàn)OC上,PE10B,PD±AO,PD二PE,ZDOP=ZEOP,ZPDO=ZPEO=90%AZDPF=ZEP

24、F,在ZkDPF和AEPF中PD=PE)ZDPF=ZEPFPF=PF(SAS),AADPFAEPF.DF=EF.22考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì).專(zhuān)題:證明題.分析:(1)根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得ZBED竺ZkCFD:(2)連接AD.利用(1)中的ABED竺ZCFD,推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊ED=FD.因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,所以點(diǎn)D在匕A的平分線(xiàn)上.解答:AFC證明:(1)VBFXAC,CE±AB,ZBDE=ZCDF(對(duì)頂角相等),azb=zc(等角的余角相等);在RtABED和RtACFD中,ZB=ZCBD=CD(己知)ZBDE=ZCDFAABEDACFD

25、(ASA);(2)連接AD由(1)知,BEDWZkCFD,AED=FD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),AD是NEAF的角平分線(xiàn),即點(diǎn)D在NA的平分線(xiàn)上.點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).常用的判定方法有:ASA,AAS,SAS,SSS,HL等,做題時(shí)需靈活運(yùn)用.公考點(diǎn):角平分線(xiàn)的性質(zhì).分析:要求二者的距離,首先要作出二者的距離,過(guò)點(diǎn)。作FGJ_AB,可以得到FGXCD,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得,OE=OF=OG,即可求得AB與CD之間的距離.A,尸B*解答:CG。解:過(guò)點(diǎn)。作FG±AB,.'ABCD,.ZBFG+ZFGD=180°,VZBFG=90%.ZFGD=90

26、.FG_LCD,.FG就是AB與CD之間的距離.O為ZBAC,ZACD平分線(xiàn)的交點(diǎn),OEXAC交AC于E,AOE=OF=OG(角平分線(xiàn)上的點(diǎn),到角兩邊距離相等),AAB與CD之間的距離等于2OE=4故答案為:4.點(diǎn)評(píng):本題主要考查角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì),作出AB與CD之間的距離是正確解決本題的關(guān)鍵.4考點(diǎn):梯形中位線(xiàn)定理:平行線(xiàn)的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理:等腰三角形的性質(zhì).專(zhuān)題:作圖題:探究型.分析:(1)畚兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),及角平分線(xiàn)的性質(zhì)不難得出Zl+Z3=90°,再由三角形內(nèi)角和等于180%即可得出ZAEB是直角的結(jié)論:(2)過(guò)E點(diǎn)作輔助線(xiàn)EF使其平行于AM

27、,由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系,進(jìn)一步求出邊之間的關(guān)系:(3)由(2)中得出的結(jié)論可知EF為梯形ABCD的中位線(xiàn),可知無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng),只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,AD+BC的值總為一定值.解答:解:(1)AMBN,AZMAB+ZABN=180°,又AE,BE分別為NMAB、ZNBA的平分線(xiàn),AZ1+Z3=7(ZMAB+ZABN)=90°,ZAEB=180°-Zl-Z3=90%即NAEB為直角:(2)過(guò)E點(diǎn)作輔助線(xiàn)EF使其平行于AM,如圖則EFADBC,.-ZAEF=Z4,ZBEF=Z2,VZ3=Z4,Zl=Z2tAZAEF=Z3,ZBEF=Z1,

28、.F為AB的中點(diǎn),又EFADBC,根據(jù)平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理得到E為DC中點(diǎn),AED=EC;(3)由(2)中結(jié)論可知,無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng),只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,總滿(mǎn)足EF為梯形ABCD中位線(xiàn)的條件,所以總有AD+BC=2EF=AB.點(diǎn)評(píng):本題是計(jì)算與作圖相結(jié)合的探索.對(duì)學(xué)生運(yùn)用作圖工具的能力,以及運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,及梯形中位線(xiàn)等基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力都有較高的要求.B25C衛(wèi)如圖,AABC的三邊AB,BC,CA長(zhǎng)分別是20,30,40,其三條角平分線(xiàn)將ABC分為三個(gè)三角形,則Saabo:Sabco:S.t.cao等于()A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5考點(diǎn):角平分線(xiàn)的性質(zhì).專(zhuān)題:數(shù)形結(jié)合.分杭利用角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì),可知三個(gè)三角形高相等,底分別是20,30,40,所以面積之比就是2:3:4.解答:解:利用同高不同底的三角形的面積之比就是底之比可知選C.故選C.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式.做題時(shí)應(yīng)用了三個(gè)

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