2020高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)教材：專題研究導(dǎo)數(shù)與不等式

1、專題研究(一) )導(dǎo)數(shù)與不等式專題概述： 1 證明 f(x)vg(x), x (a, b)， 可以直接構(gòu)造函數(shù) F(x) =f(x)-g(x)，如果 F (x)0，則 F(x)在(a, b)上是減函數(shù)，同時若 F(a)0,由減函數(shù)的定義可知，x (a, b)時，有 F(x)0，即證明了 f(x)2(x- lnx).審題程序第一步：求 f (x)，寫出在點 P 處的切線方程；第二步：直接構(gòu)造 g(x) = f(x)-2(x-1nx),利用導(dǎo)數(shù)證明 g(x)min0.exexx exex(x 1)(1)因為f(x)=，所以 f(x)=x=x, f (2) =e,又切點為 2,專,所以切線方程為y專

2、=歆 x-2),即 e2x 4y= 0.e(2)證明：設(shè)函數(shù) g(x) = f(x)-2(x Inx) = ;-2x+2lnx, x (0,+乂),規(guī)范解答g(x 1)2 ($ 2x)(x 1)則 g (x)=x2 2 + x= 護 ，x (0,+).設(shè) h(x) = ex 2x, x (0,+),則 h (x)= e 2, 令 h (x) = 0,則 x= In2.當(dāng) x (0, In2)時，h (x)0. 所以 h(x)min= h(ln2) = 2 2ln20，故 h(x)= ex 2x0.(ex 2xKx 1)令 g (x)= 0,則 x= 1.當(dāng) x(0,1)時，g(x)0.所以 g

3、(x)min= g(1) = e 20,故 g(x) = f(x) 2(x Inx)0，從而有f(x)2(x Inx).解題反思本例中(2)的證明方法是最常見的不等式證明方法 之一，通過合理地構(gòu)造新函數(shù)g(x).求 g(x)的最值來完成.在求 g(x)的最值過程中，需要探討 g (x)的正負(fù)，而此時 g (x)的式子中有一 項 ex 2x的符號不易確定，這時可以單獨拿出ex 2x 這一項，再重新構(gòu)造新函數(shù) h(x) = ex 2x(x0)，考慮 h(x)的正負(fù)問題，此題看似簡 單，且不含任何參數(shù)，但需要兩次構(gòu)造函數(shù)求最值，同時在(2)中定 義域也是易忽視的一個方向.答題模板解決這類問題的答題模

4、板如下:合理轉(zhuǎn)化把不等戎問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.V把不等式進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新的函數(shù).構(gòu)造函數(shù)一有時要變形，切記變形的依據(jù)是能夠通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.1r判斷單調(diào)性一 -利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.確定最值 由函數(shù)的單調(diào)性，確定新函數(shù)的最值.得出結(jié)論 利用新函數(shù)的極值或最值”得出結(jié)論題型專練1 .設(shè)函數(shù) f(x) = 1 nx x+ 1.(1)討論 f(x)的單調(diào)性；x 一 1證明：當(dāng) x(1,+x)時，1ixx.解(1)由題設(shè)，f(x)的定義域為(0,+乂),1f (x) = - 1,令 f (x)= 0,解得 x= 1.zv當(dāng) 0vx0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x1 時，f

5、 (x)0, f(x)單調(diào)遞減.證明：由(1)知，f(x)在 x= 1 處取得最大值，最大值為 f(1) = 0.所以當(dāng)XM1 時，Inxx 1.1 1故當(dāng) x(1,+x)時,inxx1,In_1.x xx 1即*猛0).(1) 求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；1(2) 若 m= 2e，對? Xi,2,2e1 2都有 g(xj哄)成立，求實數(shù)a 的取值范圍.審題程序第一步：利用導(dǎo)數(shù)判斷 f(x)的單調(diào)性，對 m 分類討論；第二步：對不等式進行等價轉(zhuǎn)化，將 g(xi) f(x?)轉(zhuǎn)化為g(x)min f(x)max；第三步：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并判斷其單調(diào)性進而求極值(最值)；第四步：確定結(jié)果.1 1規(guī)范解

6、答(1)f(x) = qinx mx, x0,所以 f (x)=以m,當(dāng) mW0 時，f (x)0, f(x)在(0,+乂)上單調(diào)遞增.1 f(xj0,1當(dāng) m0 時，由 f (0)= 0 得 x= 2m；由 0得 0 xf(x)max,訂x0得x2m.當(dāng) m0 時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,石丿，單調(diào)遞減區(qū)間為(1、-+ OO2m，/1由(1)知在2,2e2上 f(x)的最大值為 f(e2) = 2，agf(x)= 1+X20(a0),x 2,2e2，函數(shù) g(x)在2,2e2上是增函數(shù), aa 1g(x)min= g(2)= 2-2，由 2-22，得 aw3,又 a0,所以 a (0,3

7、,所以實數(shù) a 的取值范圍為(0,3.解題反思本例(1)的解答中要注意 f(x)的定義域，(2)中問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù) f(x)、g(x)的最值問題.本題中，？X1,X2有 g(X1) f(X2)? g(x)minf(x)max若改為:? E , ?沁都有 g(xj 哄), 則有g(shù)(X)maxf(x)max.若改為：？禺,? X2都有 gg)g(X2)，貝卩有 g(x)min f(x)min，要仔細(xì)體會，轉(zhuǎn)化準(zhǔn)確.答題模板解決這類問題的答題模板如下:討論單調(diào)性一利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.確定最值一依據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性確定最值情況.得出結(jié)論一整合結(jié)論，得出結(jié)果，注意區(qū)間開閉.題型專練

8、2.已知 f(x) = xlnx, g(x)=- x2+ ax- 3.(1) 對一切 x (0,+乂), 2f(x)g(x)恒成立，求實數(shù) a 的取值范 圍；1 2 一(2) 證明：對一切 x (0,+乂 ), lnxg &恒成立.解(1 )由題意知 2xlnx -x2+ ax-3 對一切 x (0,+)恒成構(gòu)分離參數(shù)法構(gòu)造函數(shù)與直接法構(gòu)造函數(shù) 靈活選用.心3貝 S a0),，(x+3)(x 1)則 h(x)= 曠1當(dāng) x (0,1)時，h (x)0, h(x)單調(diào)遞增，所以 h(x)min=h(1)=4,對一切 x(0,+x),2f(x)g(x)恒成立，所以 ae (x (0,+).

9、e e又 f(x) = xlnx, f (x) = lnx+ 1,f “當(dāng) x 0, e 時，f (x)0, f(x)單調(diào)遞增，所以 f(x)min= f)=1e.x 2設(shè) m(x)=exe(x(0,+5),1 x貝 y m (x) = e,令 m (x) = 0,則 x= 1,當(dāng) x0，貝卩 m(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x1 時，m (x)-x-畐恒成立.課后跟蹤訓(xùn)練(十七)1.(2019 石家莊市高三一檢)已知函數(shù) f(x)= axex-(a + 1)(2x- 1).(1)若 a= 1,求函數(shù) f(x)的圖象在點(0, f(0)處的切線方程；當(dāng) x0 時，函數(shù) f(x)0 恒成立，求實數(shù) a 的

10、取值范圍.解(1)若 a= 1,則 f(x) = xex-2(2x- 1),ff(x) = xeT+ ex-4, 則 f (0)=-3, f(0) = 2,所以所求切線方程為 y= 3x+ 2.1由已知可得，f(1)0,得 a0,e- 1a2x-1f(x) 0 對任意的 x0 恒成立可轉(zhuǎn)化為xex對任意的 x0a+1xe恒成立.2x- 1(2x + 1 Xx- 1)設(shè)函數(shù) F(x)=_xe(x0)，貝 s F (x)=-xe當(dāng) 0 x0，當(dāng) x1 時，F(xiàn) (x)0,所以函數(shù) F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+乂)上單調(diào)遞減,1所以 F(X)max= F(1)= e，-1丄、故實數(shù) a 的取值范圍是e，+ ge 3 4丿2.已知函數(shù)f(x)= lnx+ ax5 6+ (2a + 1)x.(1)討論 f(x)的單調(diào)性；3當(dāng) a0 時，證明：f(x)0;當(dāng) x (1 ,+*)時，g (x)0,則當(dāng) x (0,+工)時，f (x)0，故 f(x)在