力矩__剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

1、6.1 力矩力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程一一. 力矩力矩力力改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài) 剛體獲得角加速度剛體獲得角加速度定義：定義：z OPrFh 力力 F 的大小與的大小與 O 點(diǎn)到點(diǎn)到 F 的的作用線間垂直距離作用線間垂直距離 h 的乘積的乘積FhFMz)(矢量式矢量式FrMz力矩是矢量力矩是矢量 反映力的大小、方向和作用點(diǎn)反映力的大小、方向和作用點(diǎn)zM在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩矢量只有兩個(gè)指向在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩矢量只有兩個(gè)指向sinFr質(zhì)點(diǎn)獲得加速度質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(1) 力對(duì)點(diǎn)的力矩力對(duì)點(diǎn)的力矩更為一般的物體轉(zhuǎn)動(dòng)更為

2、一般的物體轉(zhuǎn)動(dòng)O .FrMO(2) 力對(duì)定軸的力矩力對(duì)定軸的力矩F rMZ力對(duì)軸的力對(duì)軸的力矩力矩為為FF/FrOA(1) 力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過(guò)該點(diǎn)力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過(guò)該點(diǎn) 的任一軸上的投影，等于該力對(duì)的任一軸上的投影，等于該力對(duì) 該軸的力矩該軸的力矩。討論討論說(shuō)明說(shuō)明FroMA(2) 力矩隨參考點(diǎn)而變力矩隨參考點(diǎn)而變例例 已知棒長(zhǎng)已知棒長(zhǎng) L ,質(zhì)量質(zhì)量 m，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的桌面轉(zhuǎn)動(dòng)的桌面轉(zhuǎn)動(dòng) (如圖如圖)解解xLmmddgmfdd根據(jù)力矩根據(jù)力矩xgxLmMdd mgLxgxLmML 21d0 xLOmxdxRTTRMiTTr TTRMiTT例如例如TRTTRMiT在

3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算求求 摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 JM kJM zzJM 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律作用在剛體上所有的外力對(duì)作用在剛體上所有的外力對(duì)定軸定軸 z 軸的力矩的代數(shù)和軸的力矩的代數(shù)和剛體對(duì)剛體對(duì) z 軸軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞剛體繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度的角加速度二二. 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)驗(yàn)證明實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)當(dāng) M 為零時(shí)，為零時(shí)，當(dāng)存在當(dāng)存在 M 時(shí)，時(shí)，與牛頓定律比較：與牛頓定律比較：,FM 說(shuō)明說(shuō)明,mJ a 則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 與與 M 成正比成正比, 而與而與J 成反比成

4、反比OiriFifiiim理論推證理論推證iiiiamfF取一質(zhì)量元取一質(zhì)量元iiiiamfFiniininamfF切線方向切線方向法線方向法線方向iiiiiiiramrfrF對(duì)固定軸的力矩對(duì)固定軸的力矩2iirm2sinsiniiiiiiiirmrfrF對(duì)所有質(zhì)元對(duì)所有質(zhì)元)(sinsin2iiiiiiiirmrfrF合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩 = 0合外力矩合外力矩 M剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JzzJM 在轉(zhuǎn)動(dòng)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)平面內(nèi)三三. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2iizrmJ定義式定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量不連續(xù)分布2iizrmJ質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布VmrJd2dmmrz(2) 當(dāng)剛體質(zhì)量一定，當(dāng)剛體

5、質(zhì)量一定，J 與質(zhì)量分布有關(guān)與質(zhì)量分布有關(guān)例例 圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dmOmmRJ02d2mRmRmmR02d轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素(1) J 與剛體的總質(zhì)量有關(guān)與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例例 兩根等長(zhǎng)、質(zhì)量均勻分布的兩根等長(zhǎng)、質(zhì)量均勻分布的 細(xì)木棒和細(xì)鐵棒細(xì)木棒和細(xì)鐵棒 繞端點(diǎn)軸繞端點(diǎn)軸 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LzOxdmMLxxJ02d 木鐵JJxLxLMx02d231ML質(zhì)量分布的均勻性對(duì)圓環(huán)繞質(zhì)量分布的均勻性對(duì)圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有影響嗎中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有影響嗎?問(wèn)題問(wèn)題OLxdmMz20231dMLxxJLLOxdmM2222121dMLxx

6、J/L/L結(jié)論：結(jié)論：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有三要素：剛體的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有三要素：剛體的質(zhì)量質(zhì)量、質(zhì)量質(zhì)量分布分布和和轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置均有關(guān)均有關(guān)z(3) J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)例例 質(zhì)量均勻分布的圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量均勻分布的圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ROmrdrrrsd2d smddmmrJ02drrRmd22rRmrd22RrrRm032d222Rm2121MLJz22312MLLMJJZZ例例 求均勻細(xì)棒對(duì)其一端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求均勻細(xì)棒對(duì)其一端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄板垂直軸定理薄板垂直軸定理zxyyxzJJJzMLz四四. 平行軸定理平行軸定理zLCMz2MLJJz z剛體

7、繞任意軸剛體繞任意軸剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸兩軸間垂直距離兩軸間垂直距離 例例 求對(duì)圓盤(pán)的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求對(duì)圓盤(pán)的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量221mRJzyxzJJJyxJJ 已知已知垂直軸定理垂直軸定理241mRJJyx yx z 圓盤(pán)圓盤(pán) R C m3rmmrO解解2,mrJo環(huán)2)3(121rmJc棒，2)23(rrmJJCO棒，棒，28mrJJJOOO棒，環(huán)，C求對(duì)過(guò)圓環(huán)中心且垂直于圓求對(duì)過(guò)圓環(huán)中心且垂直于圓環(huán)平面的轉(zhuǎn)軸環(huán)平面的轉(zhuǎn)軸O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例解解 為兩個(gè)實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的差值為兩個(gè)實(shí)心圓柱繞

8、中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的差值圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為22ddRmJ Vmdd lRd2 實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2202dRlRJl lR421 lRRm) (2122 空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 )(214142lRlRJ )(212122RRmzR1R2lm從半徑為從半徑為R 的均質(zhì)圓盤(pán)上挖掉一塊半徑為的均質(zhì)圓盤(pán)上挖掉一塊半徑為r 的小圓盤(pán)，該的小圓盤(pán)，該系系統(tǒng)的質(zhì)量為統(tǒng)的質(zhì)量為m,兩圓盤(pán)中心兩圓盤(pán)中心O 和和O相距為相距為d ，且，且(d + + r) R d O ORr挖掉小圓盤(pán)后，該系統(tǒng)對(duì)垂直于盤(pán)

9、面挖掉小圓盤(pán)后，該系統(tǒng)對(duì)垂直于盤(pán)面, 且過(guò)中心軸的且過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例解解求求使用補(bǔ)償法使用補(bǔ)償法則填滿后的總質(zhì)量為則填滿后的總質(zhì)量為m+m/設(shè)小圓盤(pán)的質(zhì)量為設(shè)小圓盤(pán)的質(zhì)量為m/2222/rRrRmmm)(222/rRmrm2/21RmmJ）（滿2/2/21dmrmJo小oJJJ小滿m求均勻立方體求均勻立方體(邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)l、質(zhì)量質(zhì)量m)繞通過(guò)面心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量繞通過(guò)面心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例解解設(shè)設(shè)2mlkJCk是一個(gè)無(wú)量綱的量是一個(gè)無(wú)量綱的量Cz立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 22)21()2(mlklmJJCz分成八個(gè)相同的小立方體分成八個(gè)相同的小立方體

10、他們繞各自棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為他們繞各自棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為228)21(）（）（小lmkJ八個(gè)相同的小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量八個(gè)相同的小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=JC 即即)21(328kk61k261mlJC小JJC8FOr(1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度(2) 如以重量如以重量P=98N的物體掛在繩的物體掛在繩 端，試計(jì)算飛輪的角加速度端，試計(jì)算飛輪的角加速度解解 (1)JFr 2rad/s 239502098.JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區(qū)別兩者區(qū)別五五. 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例mgT例例求求一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪

11、邊緣，在繩端施以F=98N 的的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=0.5kgm2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，計(jì)，2mrJmgr22rad/s 8212010502098.T 一個(gè)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為一個(gè)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=2.0kgm2 ，正以角速度正以角速度0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)對(duì)輪子加一恒定的力矩勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)對(duì)輪子加一恒定的力矩 M=-7.0Nm，經(jīng)過(guò)時(shí)間經(jīng)過(guò)時(shí)間t=8.0s時(shí)輪子的角速度為時(shí)輪子的角速度為-0求求 解解例例0tJMdd 00dd0 JtMt02 JMts /rad140 R=0.2m, m=1kg, h=1.5m,

12、v0=0 。繩輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，繩不可繩輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，繩不可伸長(zhǎng)，下落時(shí)間伸長(zhǎng)，下落時(shí)間t=3sJ0求求 解解例例定軸定軸ORthmv0=0mgaNTGT由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 0JTR maTmg由牛頓定律得由牛頓定律得 Ra 221ath 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程22214. 1) 12(mkgmRhgtJo一不變的力矩一不變的力矩M作用在絞車(chē)的鼓輪上使輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖作用在絞車(chē)的鼓輪上使輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。所示。Mrm1m2繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)， 鼓輪可看作均質(zhì)圓柱。鼓輪可看作均質(zhì)圓柱。開(kāi)始時(shí)此系統(tǒng)靜止，開(kāi)始時(shí)此系統(tǒng)靜止，鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)角鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)角 時(shí)，繩中的張力及鼓輪的角速

13、度時(shí)，繩中的張力及鼓輪的角速度求求 解解例例MTTfm1gm2g對(duì)鼓輪對(duì)鼓輪 使用轉(zhuǎn)動(dòng)定律使用轉(zhuǎn)動(dòng)定律 1JTrM對(duì)物體對(duì)物體使用牛頓定律使用牛頓定律amgmgmT222sincos 21121rmJ ra 2212)2()cos(sin 2rmmgrmM NNrmmmgrmMT)2()cos(sin22121 2212)2()cos(sin 2rmmgrmM t dd t dddddd2212)2()cos(sin4rmmgrmM 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)直棒，可繞軸的均勻細(xì)直棒，可繞軸 O 在豎直平在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置

14、求求 它由此下擺它由此下擺 角時(shí)的角時(shí)的 OlmCx解解mxggmxMdd取一質(zhì)元取一質(zhì)元CmxmxdCmgxM dmcos21mglM lgmlmglJM2cos33cos212由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律t ddddmg00d23dlcosg3 singl例例gmdx圓盤(pán)以圓盤(pán)以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng), ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止解解rrsmd2ddmgrfrMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d043d00gRttgRt430例例求求 到圓盤(pán)靜止所需到圓盤(pán)靜止所需時(shí)間時(shí)間取一質(zhì)元取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律摩擦力矩摩擦力矩R例例 一個(gè)剛體系統(tǒng)，如圖所示，一個(gè)剛體系統(tǒng)，如圖所示，已知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量231mlJ ，現(xiàn)用一