線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和分析方法

1、§10-2 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和分析方法大多數(shù)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可以用線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來描述。對(duì)于單輸入單輸出線性離散系統(tǒng)，人們習(xí)慣用線性常系數(shù)差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來表示。離散系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程和脈沖傳遞函數(shù)，分別和連續(xù)系統(tǒng)的線性常系數(shù)微分方程和傳遞函數(shù)在結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則上相類似。對(duì)于多變量、時(shí)變和非線性系統(tǒng)用狀態(tài)空間方法處理比較方便。一、線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述1. 差分方程對(duì)簡(jiǎn)單的單輸入單輸出線性離散系統(tǒng)，其輸入和輸出之間的關(guān)系可用下列線性常系數(shù)差分方程來表示 (10.17)(10.17)式也可以寫成如下緊縮的形式 (10.18)如果引入后移算子，即 (10

2、.19)則(10.18)式可寫成多項(xiàng)式的形式 (10.20)式中方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假設(shè)左右兩端階次相同，這并不失一般性，差分方程中最高和最低指數(shù)之差被稱為差分方程的階數(shù)。如果(10.17)式中右端的系數(shù)項(xiàng)，不全為零，則此方程被稱為非齊次方程。方程右端又被稱為驅(qū)動(dòng)項(xiàng)。方程的階數(shù)和系數(shù)反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。用差分方程作為物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，方程中各變量代表一定的物理量，其系數(shù)有時(shí)具有明顯的物理意義。如果(10.17)式右端的系數(shù)全為零，則被稱作齊次方程。齊次差分方程表征了線性離散系統(tǒng)在沒有外界作用的情況下，系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)，它反映了系統(tǒng)本身的物理特性。2. 差分方程

3、的解線性常系數(shù)差分方程求解方法和線性代數(shù)方程的求解相類似，其全解由齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩部分組成， 即 (10.21)其中特解可用試探法求出，非齊次差分方程的特解反映了離散系統(tǒng)在外界作用下，系統(tǒng)的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。(10.17)的特征方程為 (10.22)其中為特征方程的根。根據(jù)特征根的不同情況，齊次方程的通解形式也不同。考慮下面三種情況。(1) 無重根，即當(dāng)時(shí)，則通解為 (10.23)式中待定系數(shù)，由系統(tǒng)的個(gè)初始條件確定。(2) 全為重根，即 ，則通解為 (10.24)其中為待定系數(shù)。(3) 有個(gè)重根，其余的不是重根，即，當(dāng)時(shí)；而，當(dāng)且時(shí)則通解為 (10.25)其中為待定系數(shù)。從上面討論

4、中，可以歸納出經(jīng)典的解差分方程方法如下：(1) 求齊次方程的通解；(2) 求非齊次方程的一個(gè)特解；(3) 差分方程的全解為 ；(4) 利用個(gè)初始條件或其它條件確定通解中的個(gè)待定系數(shù)。例10-1 求解二階差分方程，解：先設(shè)特解為，代入方程試探求出。再由特征方程得出和，則齊次方程的通解為方程的全解為代入初始條件得求出和。因而，非齊次差分方程的解為二、變換 類似于連續(xù)實(shí)變函數(shù)的拉氏變換，對(duì)序列也有相應(yīng)的變換。這里也是一個(gè)復(fù)變量。通過變換，在復(fù)數(shù)域內(nèi)研究和運(yùn)算有時(shí)比直接在時(shí)域內(nèi)分析更為簡(jiǎn)便，因此變換是線性時(shí)不變離散系統(tǒng)時(shí)域分析和穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)，其主要局限性是它只能提取采樣時(shí)刻的幅值信息，不能提供采樣

5、間的波動(dòng)信息。1. 定義在線性連續(xù)系統(tǒng)中，連續(xù)時(shí)間函數(shù)的拉氏變換為，同樣在線性離散系統(tǒng)中，也可以對(duì)采樣信號(hào)作拉氏變換。采樣信號(hào)可描述為 (10.26)則對(duì)采樣信號(hào)作拉氏變換得令，則有 (10.27)可看作是的離散拉氏變換或采樣拉氏變換。一般稱為離散序列的變換，有時(shí)也稱之為的象，記作 。是復(fù)變量的函數(shù)，它被表示為一個(gè)無窮級(jí)數(shù)。如果此級(jí)數(shù)收斂，則序列的變換存在。序列的變換存在的條件是(10.27)式所定義的級(jí)數(shù)是收斂的，即存在。原函數(shù)和象函數(shù)是一變換對(duì)，即和下面計(jì)算幾種簡(jiǎn)單函數(shù)的變換，并列出一個(gè)常用的變換表（表10-1）。(1) 單位脈沖時(shí)間序列則延遲的單位脈沖時(shí)間序列則(2) 單位階躍時(shí)間序列則

6、(3) 單位斜坡時(shí)間序列則(4) 衰減指數(shù)序列則表10-1 常用拉氏變換及變換表 1 1 2. 變換的基本性質(zhì)(1) 線性性質(zhì)變換是一種線性變換，即 (10.28)其中和為兩個(gè)任意常數(shù)。線性性質(zhì)的證明可以由定義直接得到。(2) 滯后性質(zhì)序列的變換為 (10.29)同樣，由于單邊序列均為零，故 (10.30)從這個(gè)性質(zhì)可以看出代表序列滯后了個(gè)周期。(3) 超前性質(zhì)序列的變換為 (10.31)推廣到超前步序列，可得 (10.32)(4) 象函數(shù)尺度的變化 (10.33)(5) 初值定理由可得 (10.34)(6) 終值定理由得 (10.35)(7) 卷積和的卷積被定義為 (10.36)則 (10.

7、37)以上是幾個(gè)主要的變換性質(zhì)，這些性質(zhì)為變換的計(jì)算和離散系統(tǒng)的分析都帶來很大方便。3. 變換的方法在許多參考書中都附有變換表，可以利用它查出序列的變換。但是即使所引用的變換表是如何的詳細(xì)，在實(shí)際應(yīng)用中還是常常遇到有的變換不能從變換表上直接查出來的時(shí)候。因而熟悉變換的基本性質(zhì)和運(yùn)算方法是十分必要的。常用的變換方法有下列幾種。1) 級(jí)數(shù)求和法：這是最直接的方法，即由變換的定義出發(fā)，應(yīng)用變換的基本運(yùn)算規(guī)則和級(jí)數(shù)求和公式而求得。例如在前面定義一節(jié)中所用的例子。2) 部分分式法：已知某函數(shù)的拉式變換，先把它分解為一些基本的部分分式，然后再分別求出與各基本部分分式相對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，對(duì)離散化得，對(duì)取變換得到

8、，最后由變換的線性性質(zhì)可得 。例10-23) 留數(shù)計(jì)算法：由復(fù)變函數(shù)中留數(shù)定理可知，如果函數(shù)除有限個(gè)極點(diǎn)外，在某域內(nèi)是解析的，則 (10.38)其中為內(nèi)一段封閉的積分回路，表示函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)。留數(shù)的計(jì)算方法因是否有重極點(diǎn)而異，1）當(dāng)無重極點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則2）當(dāng)所有極點(diǎn)都相同時(shí)，即，則3）當(dāng)有個(gè)重極點(diǎn)時(shí)，即，而，且，則例10-3 例10-4 4. 反變換由求出相應(yīng)的脈沖序列稱為反變換。記作 (10.39)下面給出幾種常用的求反變換的方法。1) 冪級(jí)數(shù)展開法：把展開為的負(fù)冪級(jí)數(shù)，即把它展開為的冪級(jí)數(shù)，的系數(shù)相應(yīng)于在第個(gè)采樣時(shí)刻的時(shí)間函數(shù)的值。當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，反變換可以用長除法得到。例如 (10.

9、40)如果能夠找到的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式則最好，否則也可以寫出若干項(xiàng)的數(shù)值來。例10-52) 部分分式法設(shè)是的有理分式，當(dāng)其實(shí)根互不相同時(shí)，利用部分分式法求反變換的步驟為： 展開 ，其中 把展開式乘以 ，得 反演展開式得 ，其中 例10-6 現(xiàn)在討論如果中至少包含一對(duì)共軛復(fù)根的情形，即其中是把具有共軛復(fù)根的項(xiàng)分離出來后的剩余分式。由變換表知?jiǎng)t的反變換可由前面介紹的方法求得。例10-7把具有共軛復(fù)根項(xiàng)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，有于是3) 留數(shù)計(jì)算法由留數(shù)定理，得 (10.41)其中是的個(gè)極點(diǎn)。留數(shù)的計(jì)算方法隨是否有重極點(diǎn)而異，1）當(dāng)無重極點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則2）當(dāng)所有極點(diǎn)都相同時(shí)，即，則3）當(dāng)有個(gè)重極點(diǎn)時(shí)，即，而，且

10、，則例10-8例10-9 5. 用變換法求解差分方程類似于用拉氏變換可以求解微分方程，利用變換中的滯后和超前性質(zhì)，以及已知函數(shù)的變換，也可以求線性常系數(shù)差分方程的解。它把解差分方程變?yōu)橐詾樽兞康拇鷶?shù)運(yùn)算問題?？紤]差分方程 (10.42)利用變換的線性性質(zhì)，對(duì)差分方程兩邊作變換，得 (10.43)由超前性質(zhì)，得 (10.44)式中代表(10.44)式第一個(gè)等式右端第二項(xiàng)起所具有的多項(xiàng)式。如果把(10.43)右端的變換記為，并把(10.44)代入(10.43)，可得它是一個(gè)的代數(shù)方程，可把它寫成 (10.45)式中為(10.45)第一個(gè)等號(hào)右端的分母所代表的特征多項(xiàng)式。是第一個(gè)分式的分子，它由的個(gè)

11、初始條件所決定。對(duì)(10.45)作反變換，可得 (10.46)(10.46)表示差分方程(10.42)的解由與初始條件有關(guān)的通解和與驅(qū)動(dòng)項(xiàng)有關(guān)的特解兩部分組成。例10-10 求解二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。設(shè)，。解：對(duì)方程兩端取變換，得其中和為二階方程的根，和為展成部分分式后的系數(shù)。求反變換得此二階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線形狀將與和取值的大小及正負(fù)號(hào)有關(guān)。三、脈沖傳遞函數(shù)1. 定義一個(gè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為：在初始靜止的條件下，是系統(tǒng)輸出脈沖序列的變換和輸入脈沖序列的變換之比。即 (10.47)有時(shí)又被稱為傳遞函數(shù)。對(duì)用線性常系數(shù)差分方程(10.42)所代表的離散系統(tǒng)，當(dāng)考慮初始條件為零時(shí)，兩邊

12、取變換得 (10.48)系統(tǒng)的特征方程為 (10.49)由特征方程可求出系統(tǒng)的極點(diǎn)，由可求出系統(tǒng)的零點(diǎn)。系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)目表示系統(tǒng)的階數(shù)。但要注意在決定系統(tǒng)階數(shù)時(shí)，傳遞函數(shù)要寫成的正冪形式。例10-11 求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。解：現(xiàn)在我們進(jìn)一步分析脈沖傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)之間的關(guān)系。所謂系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是指輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出序列。即代入(10.47)，得 (10.50)或 (10.51)因此，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和單位沖激響應(yīng)是一對(duì)變換，見圖10-6。其中 圖10-6 系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和單位沖激響應(yīng)或記為 (10.52)如果系統(tǒng)的輸入為任意函數(shù)，則輸出為 (10.53)由變換

13、的卷積定理，得表10-2 簡(jiǎn)單環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 2. 系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)實(shí)際系統(tǒng)常常是由一些子系統(tǒng)組成的，子系統(tǒng)之間又以一定的方式相互聯(lián)系著。最基本的聯(lián)系形式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋。下面將分析這三種基本系統(tǒng)和一些復(fù)雜系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。首先介紹一些寫法，為簡(jiǎn)便起見，記 表示根據(jù)利用沖激不變法得到的與相對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)。 表示傳遞函數(shù)乘積的脈沖響應(yīng)函數(shù)經(jīng)采樣后的變換。1) 串聯(lián)系統(tǒng)兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)的情況如圖10-7所示。圖10-7(a)表示兩個(gè)離散系統(tǒng)串聯(lián)，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 (10.54)圖10-7(b)顯示串聯(lián)系統(tǒng)之間帶有采樣器，則整個(gè)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 (10.55)圖10

14、-7(c)表示兩個(gè)連續(xù)系統(tǒng)串聯(lián)后再離散化，則整個(gè)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 (10.56)注意，(a)(b)(c)圖10-7 串聯(lián)系統(tǒng)例10-12 圖10-7中設(shè) ，則對(duì)圖10-7(a)中情況有而對(duì)于圖10-7(c)中直接串連的情況有2) 并聯(lián)系統(tǒng)圖10-8所示并聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 (10.57)g圖10-8 并聯(lián)系統(tǒng)3) 反饋系統(tǒng)設(shè)線性離散閉環(huán)系統(tǒng)如圖10-9所示。圖10-9 線性離散閉環(huán)系統(tǒng)由圖10-9可得到故 線性離散閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 從上述例子的推導(dǎo)過程可以看出，閉環(huán)傳遞函數(shù)或輸出量的變換的推導(dǎo)步驟大致可分為三步：(1) 在主通道上建立輸出與中間變量的關(guān)系；(2) 在閉環(huán)回路中建

15、立中間變量與輸入的關(guān)系；(3) 消去中間變量，建立和的關(guān)系。圖10-10給出了幾種典型反饋系統(tǒng)的原理框圖及其脈沖傳遞函數(shù)或輸出量的變換，由此可看出線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)或輸出量的變換具有以下特點(diǎn)： （1）分子部分與主通道上的各個(gè)環(huán)節(jié)有關(guān)；（2）分母部分與閉環(huán)回路中的各個(gè)環(huán)有關(guān)；（3）采樣開關(guān)的位置對(duì)分子、分母部分都有影響，不僅閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的形式不同，而且會(huì)有不能寫出閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的情況，只能寫出輸出的變換表達(dá)式。圖10-10 典型線性離散反饋系統(tǒng)及其脈沖傳遞函數(shù)或輸出量的變換四、平面和平面之間的映射關(guān)系可以把變換看成是一種離散拉氏變換，于是有 (10.58)(10.58)關(guān)系式反

16、映了平面和平面之間的映射關(guān)系： 平面 平面極點(diǎn)： 極點(diǎn)：，其中虛軸： 單位圓上：右半平面： 單位圓外：左半平面： 單位圓內(nèi)：注意，在平面上極點(diǎn)的位置與采樣周期有關(guān)，這一點(diǎn)是與平面的極點(diǎn)有差別的。圖10-11表示出平面和平面上一些特殊線段之間的關(guān)系。圖10-11 平面和平面之間的映射關(guān)系平面與平面之間的映射關(guān)系是“多對(duì)一”的關(guān)系，即在左半平面上每個(gè)寬的帶子都映射到平面上同一單位圓內(nèi)，見圖10-12。設(shè)則圖10-12 “多對(duì)一”的變換關(guān)系習(xí)題1. 求解下列差分方程(1) (2) (3) (4) 2. 寫出求解差分方程的計(jì)算程序3. 求下列時(shí)間序列的變換(1) ，為單位階躍序列(2) (3) (4) (5) 設(shè)某單位脈沖序列定義為試求它的變換。(6) 為周期序列，試求它的變換。4. 由拉氏變換式，求函數(shù)的變換(1) (2) (3) (4) (5) 5. 求下列函數(shù)的反變換(1) (2) (3) (4) (5) 6. 已知系統(tǒng)的差分方程，用變換求單位階躍輸入時(shí)的(1) (2) (3) 7. 試用變換法求解差分方程(1) (2) (3) (4) (5) (6) 8. 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下，求輸出量的變換(1)TTX(