第二章線性時不變系統(tǒng)

1、1本章內(nèi)容：本章內(nèi)容： 信號的時域分解信號的時域分解用用 表示離散時表示離散時 間信號；用間信號；用 表示連續(xù)時間信號；表示連續(xù)時間信號； LTILTI系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的時域分析卷積運算；卷積運算； LTILTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示；系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示； LTILTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示；系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示；)(t n第二章第二章 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)2 由于由于LTILTI系統(tǒng)滿足系統(tǒng)滿足齊次性齊次性和和可加性可加性，并且具有，并且具有時時不變性不變性的特點，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的的特點，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎。理論與方法奠定了基礎。 基

2、本思想：基本思想：如果能夠把任意的輸入信號都分解如果能夠把任意的輸入信號都分解成基本信號的線性組合，那么只要得到成基本信號的線性組合，那么只要得到LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)對對基本信號基本信號的響應，就可以利用的響應，就可以利用系統(tǒng)的線性特系統(tǒng)的線性特性性，將系統(tǒng)的輸出響應表示成系統(tǒng)對基本信號，將系統(tǒng)的輸出響應表示成系統(tǒng)對基本信號的響應的線性組合。的響應的線性組合。(Introduction)(Introduction)3問題的實質(zhì)：問題的實質(zhì)：1 1 研究信號的分解：即以什么樣的信號作為研究信號的分解：即以什么樣的信號作為 構(gòu)成任意信號的基本信號單元，如何用基本構(gòu)成任意信號的基本信號單元，如何用基

3、本 信號單元的線性組合來構(gòu)成任意信號；信號單元的線性組合來構(gòu)成任意信號； 2 2 如何得到如何得到LTILTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應。系統(tǒng)對基本單元信號的響應。 作為基本單元的信號應滿足以下要求：作為基本單元的信號應滿足以下要求： 盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示 （構(gòu)成）盡可能廣泛的其他信號；（構(gòu)成）盡可能廣泛的其他信號； 2 LTI2 LTI系統(tǒng)對這種信號的響應易于求的。系統(tǒng)對這種信號的響應易于求的。如果解決了信號分解問題，即如果解決了信號分解問題，即 若若( )( )iiix ta x t( )( )iix ty t則則( )( )iiiy

4、ta y t4對信號分解可在時域進行，也可在頻域或變換域?qū)π盘柗纸饪稍跁r域進行，也可在頻域或變換域進行，相應地產(chǎn)生了對進行，相應地產(chǎn)生了對LTILTI系統(tǒng)的時域分析法、頻系統(tǒng)的時域分析法、頻域分析法和變換域分析法。域分析法和變換域分析法。分析方法分析方法：5 離散時間信號中離散時間信號中, ,最簡單的是最簡單的是 , ,可以由它可以由它 的線性組合構(gòu)成的線性組合構(gòu)成 ，即：，即：( )n( )u n0( )( )()nkku nknk 一一 用單位脈沖表示離散時間信號用單位脈沖表示離散時間信號 對任何離散時間信號對任何離散時間信號 , ,如果每次從其中取如果每次從其中取 出一個點，就可以將整個

5、信號拆開來，每次取出出一個點，就可以將整個信號拆開來，每次取出 的一個點都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單的一個點都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單 位脈沖。位脈沖。 ( )x n（Convolution sumConvolution sum） n nu nu nkn nx67 二二 卷積和卷積和（Convolution sum） 于是有于是有：表明：任何信號表明：任何信號 都可以被分解成都可以被分解成移位移位 加權(quán)加權(quán)的單位脈沖信號的單位脈沖信號的線性組合。的線性組合。( )x n( )( ) ()kx nx knkkn nx kx nx 如果一個線性系統(tǒng)對如果一個線性系統(tǒng)對 的響應是的響應

6、是 ， 由線性特性就有系統(tǒng)對任何輸入由線性特性就有系統(tǒng)對任何輸入 的響應為：的響應為：()n k( )kh n( )x n若系統(tǒng)具有時不變性，即若系統(tǒng)具有時不變性，即：( )( )nh n若若 ，則則:()()nkh nkkn nhk nx nhkxnykk nkn nhknh knhkxnyk8910因此，只要得到了因此，只要得到了LTILTI系統(tǒng)對系統(tǒng)對 的響應的響應( )n( )h n單位脈沖響應單位脈沖響應(impulse response)(impulse response)，就可以得到就可以得到LTILTI系統(tǒng)對任何輸入信號系統(tǒng)對任何輸入信號 的的 響應：響應：( )x n這表明，

7、一個這表明，一個LTILTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖 響應來表征。這種求得系統(tǒng)響應的運算關系稱為響應來表征。這種求得系統(tǒng)響應的運算關系稱為 卷積和（卷積和（The convolution sumThe convolution sum）。 n nh nhnxknhkxnyk* nx舉例舉例(下頁下頁)11解：解：12三三 卷積和的計算卷積和的計算計算方法計算方法：有圖解法、解析法（包括數(shù)值解法）有圖解法、解析法（包括數(shù)值解法）圖解法的運算過程圖解法的運算過程：（：（反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn), ,平移平移, ,相乘相乘, ,求和求和）1.1.以以 作為自變量作為自變量, ,畫出畫出 和

8、和 的信號波形的信號波形. .為了確為了確定定 , ,先將先將 相對于相對于 反轉(zhuǎn)得到反轉(zhuǎn)得到 , ,然后再平然后再平移移 。2.2.從從 等于負無窮開始等于負無窮開始, ,也就是將也就是將 向時間軸左端平移。向時間軸左端平移。3.3.寫出中間信號寫出中間信號 的數(shù)學表達式。的數(shù)學表達式。4.4.增加時移量增加時移量 （也就是將（也就是將 向右移動），直到向右移動），直到 的數(shù)學的數(shù)學表達式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時所對應的表達式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時所對應的 值標志著現(xiàn)在區(qū)間的結(jié)值標志著現(xiàn)在區(qū)間的結(jié)束以及下一個新區(qū)間的開始。束以及下一個新區(qū)間的開始。5.5.對新區(qū)間中的對新區(qū)間中的 ，重復步驟，重復

9、步驟3 3和和4 4，直到所有時間區(qū)間被劃分，直到所有時間區(qū)間被劃分，對應的對應的 數(shù)學表達式被確定，這通常意味著將數(shù)學表達式被確定，這通常意味著將 增加到正無窮。增加到正無窮。6.6.在每個時間區(qū)間，將相應的在每個時間區(qū)間，將相應的 對對 求和，得到該區(qū)間的輸求和，得到該區(qū)間的輸出出 。nkh kxknh nykknhkxkgknh kh0knkhnknhkgnnkgnkkg13例例2.4 0n6n 014kk()nkh nkknh kx104( )0nx notherwise1,06( )0nnh notherwise nx nh解：解：1401 2 3 4xn01 2 3 4 5 6hn

10、0 n-6 nhn-k n-6 n n-6 n n-6 n00. 1nynnkknanyn040. 2403.46046 n kknnny na即464.6064610 n kk nnnny na 即0yn10n:46. 5即n15 時，時，0n ( )0y n 時，時，04n00(1)11( )1111nnn knkkknnny n 時，時，46n5410411( )11n knknny n 時，時，610n4746( )1nn kk ny n 時，時，10n ( )0y n ny ny ny ny ny16 通過圖形正確確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表通過圖形正確確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表示，對于確

11、定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和示，對于確定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。的上下限是很有用的。 17 對一般信號對一般信號 ，可以分成很多，可以分成很多 寬度的區(qū)段，寬度的區(qū)段， 用一個階梯信號用一個階梯信號 近似表示近似表示 . .當當 時時，0( )( )d()dtu tt ( )x t一一 用沖激信號表示連續(xù)時間信號用沖激信號表示連續(xù)時間信號 與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間 信號應該可以分解成信號應該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信一系列移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合號的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這。至少

12、單位階躍與單位沖激之間有這種關系：種關系：( )xt0 ( )( )xtx t( )x t2.2 2.2 連續(xù)時間連續(xù)時間LTILTI系統(tǒng)：卷積積分系統(tǒng)：卷積積分18( )( ) ()dx txt 表明：表明：任何連續(xù)時間信號任何連續(xù)時間信號 都可以被分解為移位都可以被分解為移位 加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。 ( )x t于是：于是：19與離散時間系統(tǒng)的分析類似，如果一個與離散時間系統(tǒng)的分析類似，如果一個線性系線性系統(tǒng)對統(tǒng)對 的響應為的響應為 ，則該系統(tǒng)對，則該系統(tǒng)對 的響應可表示為：的響應可表示為： 若系統(tǒng)是若系統(tǒng)是時不變時不變的，即：的，即： 若若 ，則，則

13、 于是系統(tǒng)對任意輸入于是系統(tǒng)對任意輸入 的響應可表示為：的響應可表示為： ()t( )h t( )x t( )( )( )dy txh t( )( )th t()()th t( )x t表明，表明，LTILTI系統(tǒng)可以完全由它的系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應單位脈沖響應 來來表征。這種求得系統(tǒng)響應的運算關系稱為表征。這種求得系統(tǒng)響應的運算關系稱為 卷積積分（卷積積分（The convolution integralThe convolution integral）。二二 卷積積分（卷積積分（The convolution integral）( )( ) ()d( )( )y txh tx th

14、 t( )h t20三三 卷積積分的計算卷積積分的計算 卷積積分的計算與卷積和很類似，也有卷積積分的計算與卷積和很類似，也有圖解法圖解法、解析法解析法和和數(shù)值解法數(shù)值解法。 運算過程的實質(zhì)也是：參與卷積的兩個信號中，運算過程的實質(zhì)也是：參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量一個不動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量 移動。對移動。對 每每一個一個 的值，的值， 將將 和和 對應相乘，再對應相乘，再計算相乘后曲線所包圍的面積。計算相乘后曲線所包圍的面積。 通過通過圖形圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。有用的。tt( )x()h t21圖解法的運算過程圖

15、解法的運算過程：（：（反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn), ,平移平移, ,相乘相乘, ,求和求和）1.1.以以 作為自變量作為自變量, ,畫出畫出 和和 的信號波形的信號波形. .為了確為了確定定 , ,先將先將 相對于相對于 反轉(zhuǎn)得到反轉(zhuǎn)得到 , ,然后再平然后再平移移 。2.2.從從 等于負無窮開始等于負無窮開始, ,也就是將也就是將 向時間軸左端平移。向時間軸左端平移。3.3.寫出中間信號寫出中間信號 的數(shù)學表達式。的數(shù)學表達式。4.4.增加時移量增加時移量 （也就是將（也就是將 向右移動），直到向右移動），直到 的數(shù)學的數(shù)學表達式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時所對應的表達式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時所對應的 值標志著現(xiàn)在區(qū)間

16、的結(jié)值標志著現(xiàn)在區(qū)間的結(jié)束以及下一個新區(qū)間的開始。束以及下一個新區(qū)間的開始。5.5.對新區(qū)間中的對新區(qū)間中的 ，重復步驟，重復步驟3 3和和4 4，直到所有時間區(qū)間被劃分，直到所有時間區(qū)間被劃分，對應的對應的 數(shù)學表達式被確定，這通常意味著將數(shù)學表達式被確定，這通常意味著將 增加到正無窮。增加到正無窮。6.6.在每個時間區(qū)間，將相應的在每個時間區(qū)間，將相應的 對對 從負無窮到正無窮進行積分，從負無窮到正無窮進行積分，得到該區(qū)間的輸出得到該區(qū)間的輸出 。)(h)(x)(th)(ty)()()(thxg)(th)(h0t)(h)(gtt)(thtt)(gt)(gt220( )( )( )( ) (

17、)de( ) ()d1ed(1 e) ( )ataaty tx th txh tuu tu ta例例2.6： ( )e( )0atx tu ta( )( )h tu t01( )xt01()u t解法一：解析法解法一：解析法解法二：圖解法解法二：圖解法23例例 2.7： 10( )0tTx totherwise 02( )0ttTh totherwise ( )( )( )( ) ()d() ( )dy tx th txh tx th02T2T( )h()x t01tTt解：解：24 當當 時，時，0t ( )0y t 當當 時，時，0tT 201( )d2ty tt 當當 時，時，2TtT

18、21( )d2tt Ty tTtT 當當 時，時，23TtT 2221( )d2()2Tt Ty tTtT 當當 時，時，3tT( )0y t 212T232TT3T2T0t( )y t25 2.22（b）26( )( )( )( ) ()() ( )( )( )kky nx nh nx k h nkx nk h kh nx n一一 、卷積積分與卷積和的性質(zhì)、卷積積分與卷積和的性質(zhì)1 1 、交換律：、交換律：( )( )( )( ) ()d() ( )d( )( )y tx th txh tx thh tx t27()xt()yt()ht( )xn( )y n( )hn()ht()yt()xt

19、( )hn( )xn( )y n結(jié)論：結(jié)論：一個單位沖激響應是一個單位沖激響應是 的的LTILTI系統(tǒng)對輸入信號系統(tǒng)對輸入信號 所產(chǎn)生的響應，所產(chǎn)生的響應，與與一個單位沖激響應是一個單位沖激響應是 的的LTILTI系統(tǒng)對輸入信號系統(tǒng)對輸入信號 所產(chǎn)生的響應相同。所產(chǎn)生的響應相同。( )h t( )x t( )h t( )x t28( )x n12( )( )h nh n12( )( ) ( )( )y nx nh nh n( )x t12( )( )h th t12( )( ) ( )( )y tx th th t( )x n1( )h n2( )h n1( )( )x nh n2( )( )

20、x nh n( )y n( )x t1( )h t2( )h t( )y t結(jié)論：結(jié)論：兩個兩個LTILTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖響應等于各子系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖響應等于各子系統(tǒng)單位脈沖響應之和。系統(tǒng)單位脈沖響應之和。2 2、分配律：、分配律：12121212( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh nx th th tx th tx th t29303 結(jié)合律結(jié)合律:12121212 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )x nh nh nx nh nh nx

21、th th tx th th t( )x t1( )h t2( )h t1( )( )x th t12( ) ( )( )( )y tx th th t( )x n1( )h n2( )h n12( ) ( )( )( )y nx nh nh n12( )( )h th t( )x t( )x n12( )( ) ( )( )y tx th th t12( )( ) ( )( )y nx nh nh n12( )( )h nh n結(jié)論：結(jié)論：兩個兩個LTILTI系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激脈系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激脈沖響應等于沖響應等于各子系統(tǒng)單位沖激脈沖響應的卷積各子系統(tǒng)單位沖激脈沖響應

22、的卷積。31 由于卷積滿足交換律，因此，由于卷積滿足交換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后系統(tǒng)級聯(lián)的先后次序次序可以可以調(diào)換調(diào)換。12211221( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t( )x n( )x n( )y n( )y n1( )h n2( )h n2( )h n1( )h n( )x t( )x t( )y t( )y t1( )h t1( )h t2( )h t2( )h t32產(chǎn)生以上結(jié)論的產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：前提條件：系統(tǒng)必須是系統(tǒng)必須是LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)； 所有涉及到的所有

23、涉及到的卷積運算必須收斂卷積運算必須收斂。如如：( )x t平方平方乘乘22( )2( )y tx t( )x t乘乘2平方平方2( )4( )y tx t若交換級聯(lián)次序，即：若交換級聯(lián)次序，即：顯然是不等價的。顯然是不等價的。又如：又如：若若 ，系統(tǒng)都是，系統(tǒng)都是LTILTI系統(tǒng)。當系統(tǒng)。當 時，時，12( )( )(1),( )( )h nnnh nu n( )1x n 由于由于 不收斂，因而也不能交換其級聯(lián)次序。不收斂，因而也不能交換其級聯(lián)次序。( )( )x nu n( )x n1( )h n2( )h n0( )0y n 334 4、卷積還有如下性質(zhì)：、卷積還有如下性質(zhì)：卷積積分卷積

24、積分滿足微分、積分及時移特性：滿足微分、積分及時移特性： 若若 ，則，則: : 若若 ，則，則: :( )( )( )x th ty t( )( )( )( )( )( )d ( )( ) ( )d ( )d tttx th tx th ty txh tx thy( )( )( )x th ty t000()( )( )()()x tth tx th tty tt補充性質(zhì)：補充性質(zhì)：34卷積和卷積和滿足差分、求和及時移特性：滿足差分、求和及時移特性： 若若 ，則，則 若若 ，則，則 ( )( )( )x nh ny n( )( )( )x nh ny n ( )(1)( )( )(1)( )(

25、 )( ) ( )( )nnnkkkx nx nh ny ny nx kh nx nh ky k000()( )( )()()x nnh nx nh nny nn35tttdxtdxdtxtutx)()()()()()(*)()()()(:)()()(:2121tttytthttxthtxty則若)()(*)(*)();(*)(*)(*)()()()()()()(:2121212121tttytttttyttttthtxttthtttxtthttx結(jié)合率證微分器);()(*)(txttx積分器;)()(*)(tdxtutx與與 (t)(t)的卷積的卷積: :單位沖激響應等于單位沖激響應等于 (

26、t)(t)的系統(tǒng)是的系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)恒等系統(tǒng) 信號平移信號平移: :)()()(txttx）00()()(ttxtttx)()()(1010tttxttttx36將將 微分一次的，微分一次的，( )x t( )( )()x tttT02T2Tt( )h t( )x ttT0(1)( 1)( )( )( )( ) ( )()( )()y tx th th tttTh th tT恰當?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計算：恰當?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計算：例如：例如：2.2 2.2 中的例中的例2.72.737T2TT2T( )y t3T2TT0t212T232TT3T2T0t( )y t( )(

27、 )dty ty38則在任何時刻則在任何時刻 ， 都只能和都只能和 時刻的輸時刻的輸入有關，即和式中只能有入有關，即和式中只能有 時的一項為非時的一項為非零，因此必須有：零，因此必須有：二、二、LTILTI系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)1 1、記憶性：、記憶性： LTI LTI系統(tǒng)可以系統(tǒng)可以由由它的單位沖激它的單位沖激/ /脈沖響應脈沖響應來來表表征征，因而其特性（，因而其特性（記憶性記憶性、可逆性可逆性、因果性因果性、穩(wěn)穩(wěn)定性定性）都應在其單位沖激響應中有所體現(xiàn)。）都應在其單位沖激響應中有所體現(xiàn)。根據(jù)根據(jù) ，如果系統(tǒng)是，如果系統(tǒng)是無記憶無記憶的，的，( )( ) ()ky nx k h nkn( )

28、y nnkn()0,h nkkn即：即：( )0,0h nn39因此，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖響應為：因此，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖響應為：( )( )( )( )h nknh tkt( )( )( )( )( )( )x nh nkx nx th tkx t，當，當 時系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。時系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。1k 如果如果LTILTI系統(tǒng)的單位沖激響應不滿足上述要求，系統(tǒng)的單位沖激響應不滿足上述要求，則系統(tǒng)是則系統(tǒng)是記憶的記憶的。此時，此時，40 如果如果LTILTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且 該逆系統(tǒng)也是該逆系統(tǒng)也是LTILTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等

29、系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等 系統(tǒng)。系統(tǒng)。( )x t( )x t( )h t( )g t因此有：因此有：( )( )( )( )( )( )h tg tth ng nn例如：例如：延時器延時器是可逆的是可逆的LTILTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其 ，其逆，其逆 系統(tǒng)是系統(tǒng)是 ，顯然有：，顯然有：0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tttttt 累加器累加器是可逆的是可逆的LTILTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其 ，其逆系，其逆系 統(tǒng)是統(tǒng)是 ，顯然也有：，顯然也有：( )( )h nu n( )( )(1)g nnn( )( )( ) ( )(1)( )(1)( )

30、h ng nu nnnu nu nn2 2、可逆性：、可逆性：413 3、因果性：、因果性：由由 ，當，當LTILTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時，( )( ) ()ky nx k h nk在任何時刻在任何時刻 ，都只能取決于，都只能取決于 時刻及其以時刻及其以前的輸入，即和式中所有前的輸入，即和式中所有 的項都必須為零，的項都必須為零，n( )y nnkn()0,h nkkn( )0,0h nn或或?qū)B續(xù)時間系統(tǒng)，對連續(xù)時間系統(tǒng)， 這是這是LTILTI系統(tǒng)具有因果性的系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件充分必要條件。( )0,0h tt即：即：42( ) 0,0h nn( )0,0h tt對于

31、一個因果的離散時間對于一個因果的離散時間LTILTI系統(tǒng)，由：系統(tǒng)，由：那么其卷積和及卷積積分式：那么其卷積和及卷積積分式：43根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由 ， 若若 有界，則有界，則 若系統(tǒng)穩(wěn)定，則若系統(tǒng)穩(wěn)定，則 必有界，由必有界，由( )( ) ()ky nx k h nk( )x n()x nkA( )y n( )( ) ()( )()( )kkky nh k x nkh kx nkAh k可知，可知，( )nh n 對連續(xù)時間系統(tǒng)，對連續(xù)時間系統(tǒng)， ( )dh tt 這是這是LTILTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。4 4 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：例題例題2.13

32、2.13445 5、LTILTI系統(tǒng)的單位階躍響應：系統(tǒng)的單位階躍響應： 在工程實際中，也常用在工程實際中，也常用單位階躍響應單位階躍響應來描述來描述LTILTI系統(tǒng)。系統(tǒng)。單位階躍響應就是系統(tǒng)對單位階躍響應就是系統(tǒng)對 或所產(chǎn)生的響應?；蛩a(chǎn)生的響應。( )u t( )u n( )( )( )( )( )( )s tu th ts nu nh nd( )( )d( )( )dts thh ts ttLTILTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應來描述。系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應來描述。 ( )( )( )( )(1)nks nh kh ns ns n45 在工程實際中有相當普遍的一類系

33、統(tǒng)，其數(shù)學在工程實際中有相當普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學模型可以用模型可以用線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程或或線性常系數(shù)差分線性常系數(shù)差分方程方程來描述。分析這類來描述。分析這類LTILTI系統(tǒng)，就是要求求解系統(tǒng)，就是要求求解線線性常系數(shù)微分性常系數(shù)微分或或差分方程。差分方程。 (The causal LTI Systems described by (The causal LTI Systems described by differential and difference equation) differential and difference equation)46解：解：上上（1）

34、求特解求特解：求特解的通用方法是找一個所謂的受迫響應，即一：求特解的通用方法是找一個所謂的受迫響應，即一個與輸入形式相同的信號。令：個與輸入形式相同的信號。令：代入方程可得：代入方程可得：（2）求齊次解求齊次解：設：設 代入齊次方程有：代入齊次方程有：綜上，完全解為：綜上，完全解為： （A為某一常數(shù)）為某一常數(shù)） 47一一 線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程 （Linear constant-coefficient differential equationLinear constant-coefficient differential equation）00d( )d( ),ddkkNMk

35、kkkkky tx tabtt,kkab均為常數(shù) 求解該微分方程，通常是求出一個特解求解該微分方程，通常是求出一個特解 和通解和通解 ，則，則 ；特解；特解 是與輸入是與輸入 同類型的函數(shù)通解；同類型的函數(shù)通解； 是齊次方是齊次方程的解，即程的解，即 的解，的解，欲求得齊次解，欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個特征方程：可根據(jù)齊次方程建立一個特征方程： ( )pyt( )hy t( )( )( )phy tyty t( )pyt( )x t( )hy t0d( )0dkNkkky tat00Nkkka48求出其特征根。在特征根均為單價根時，可得出齊求出其特征根。在特征根均為單價根時，可得出齊

36、次解的形式為：次解的形式為：1( )e,kNthkky tC其中其中 是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。kC 要確定系數(shù)要確定系數(shù) ，需要有一組條件，稱為，需要有一組條件，稱為附加附加條件條件。僅僅從確定待定系數(shù)。僅僅從確定待定系數(shù) 的角度來看，這一的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。給出附加條件的時刻都可以是任意的。 kCkC49 當微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須滿當微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須滿足系統(tǒng)足系統(tǒng)零輸入零輸入零輸出零輸出的特性。系統(tǒng)在沒有輸入的特性。系統(tǒng)在沒有輸入即即 時，微

37、分方程就蛻變成齊次方程，因而時，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零即所有描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零即所有的都為零。這就要求確定待定系數(shù)的都為零。這就要求確定待定系數(shù) 所需的一組所需的一組附加條件的值必須全部為零，即具有零附加條件，附加條件的值必須全部為零，即具有零附加條件，LCCDELCCDE才能描述線性系統(tǒng)。才能描述線性系統(tǒng)。 在這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，在這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，LCCDELCCDE描述的系統(tǒng)不僅是描述的系統(tǒng)不僅是線性的線性的，也是，也是因果的因果的和和時時不不變變的。的。 ( )0 x t kC50

38、在信號加入時刻給出的零附加條件稱為在信號加入時刻給出的零附加條件稱為零零 初始條件。初始條件。結(jié)論：結(jié)論：LCCDELCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描具有一組全部為零的初始條件可以描 述一個述一個LTILTI因果系統(tǒng)。這組條件是：因果系統(tǒng)。這組條件是：(1)(0)0,(0)0,(0)0Nyyy如果一個因果的如果一個因果的LTILTI系統(tǒng)由系統(tǒng)由LCCDELCCDE描述（方程描述（方程 具有零初始條件），就具有零初始條件），就稱稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最該系統(tǒng)初始是靜止的或最 初是松弛的初是松弛的。 如果如果LCCDELCCDE具有一組非零的初始條件，則可以具有一組非零的初始條件，則可以

39、證明它所描述的證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性系統(tǒng)是增量線性的。的。P P414151二二 線性常系數(shù)差分方程（線性常系數(shù)差分方程（LCCDELCCDE）: (Linear constant-coefficient difference equation) 一般的線性常系數(shù)差分方程（一般的線性常系數(shù)差分方程（LCCDELCCDE）可表示為：）可表示為： 與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個 特解特解 和一個和一個通解通解，即齊次解，即齊次解 來進行，其過來進行，其過 程與解微分方程一樣。程與解微分方程一樣。 要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加

40、要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加 條件條件. .同樣地，當同樣地，當LCCDELCCDE具有一組全部為零的初始條件具有一組全部為零的初始條件 時，所描述的系統(tǒng)是時，所描述的系統(tǒng)是線性線性、因果因果、時不變時不變的。的。 00()()NMkkkka y n kb x n knypnyh52 無論微分方程還是差分方程，由于其特解都是無論微分方程還是差分方程，由于其特解都是與輸入信號具有與輸入信號具有相同函數(shù)形式相同函數(shù)形式的，也就是說它是完的，也就是說它是完全由輸入決定的全由輸入決定的, ,因而特解所對應的這一部分響應因而特解所對應的這一部分響應稱為稱為受迫響應受迫響應或或強迫響應強迫響

41、應。齊次解所對應的部分。齊次解所對應的部分 由于與輸入信號無關，也稱為系統(tǒng)的由于與輸入信號無關，也稱為系統(tǒng)的自然響應自然響應。 說明：說明： 增量線性系統(tǒng)的響應分為增量線性系統(tǒng)的響應分為零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應和和零輸入零輸入 響應響應。零輸入響應由于與輸入信號無關，因此它屬零輸入響應由于與輸入信號無關，因此它屬 于自然響應。于自然響應。零狀態(tài)響應既與輸入信號有關，也與零狀態(tài)響應既與輸入信號有關，也與 系統(tǒng)特性有關，因而它包含了受迫響應，也包含有系統(tǒng)特性有關，因而它包含了受迫響應，也包含有 一部分自然響應。一部分自然響應。53 線性常系數(shù)差分方程還可以采用線性常系數(shù)差分方程還可以采用迭代迭代的方法

42、求解，將的方法求解，將方程改寫為：方程改寫為：0101( )()()MNkkkky nb x nka y nka可以看出，要求出可以看出，要求出 , ,不僅要知道所有的輸入不僅要知道所有的輸入 , ,還要知道還要知道 用遞推的方法可以求得用遞推的方法可以求得 n n 0 0時所有的時所有的例如例如:y(0) 可從可從 y(-1),y(-2),y(-3)y(-N)求得求得 y(1) 可從可從 y(0), y(-1),y(-2)y(-N+1)求得求得 y(2) 可從可從 y(1), y(0), y(-1)y(-N+2)求得求得 . . .( )x n( )y n) 4(),3(),2(),1(ny

43、nynyny)(ny54 由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為為遞歸方程遞歸方程（recursive equationrecursive equation）。）。1001()()()MNkkkkNy nNb x nka y nka將將(K=N的項提出的項提出) 方程改寫為方程改寫為: 用遞推的方法可以求得用遞推的方法可以求得 n 0時所有的時所有的y(n)例如例如:y(-1) 可從可從 y(0),y(1),y(2)y(N-1)求得求得 y(-2) 可從可從 y(-1), y(0),y(1)y(N-2)求得求得 y(-3) 可從可從 y(-2), y

44、(-1), y(0)y(N-3)求得求得 . . .舉例舉例2.15551)()(2) 1(Nnxnyny)1 () 1 (21)2()0() 1 (21) 1 ()1()0(21)0()(0)1()(21)(yxyyxyyxynynnynxny的求出)2(2)2()3()1(2) 1()2()0(2)0() 1()(0)(2)() 1(yxyyxyyxynynnynxny的求出) )()(1)(010NkNkkkknyaknxbany) )()(1)(010NkNkkkNknyaknxbaNny總結(jié)：總結(jié)：差分方程的遞推迭代解法差分方程的遞推迭代解法補充例題補充例題56當當 ，差分方程變?yōu)椋?/p>

45、，差分方程變?yōu)椋?此時此時, ,求解方程不再需要迭代運算，因而稱為求解方程不再需要迭代運算，因而稱為非非 遞歸方程遞歸方程（nonrecursive equationnonrecursive equation）。顯然，此時方）。顯然，此時方 程就是一個卷積和的形式，相當于程就是一個卷積和的形式，相當于 此時，系統(tǒng)單位脈沖響應此時，系統(tǒng)單位脈沖響應 是有限長的是有限長的, ,因因 而把這種方程描述的而把這種方程描述的LTILTI系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為FIRFIR系統(tǒng)系統(tǒng)（Finite Finite Impulse ResponseImpulse Response）. .將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIRIIR系統(tǒng)系統(tǒng)（Infinite Impulse ResponseInfinite Impulse Response）, ,此時系統(tǒng)此時系統(tǒng) 的單位脈沖響應是一個無限長的序列。的單位脈沖響應是一個無限長的序列。 FIRFIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與IIRIIR系統(tǒng)是離散時間系統(tǒng)是離散時間LTILTI系統(tǒng)中兩類很系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設計方法都存在重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設計方法都存在很大的差異。很大的差異。00( )()Mkkby nx nka0( ),0n