埃博拉病毒傳播分析與數(shù)學(xué)建模

1、*大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了*大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽的參賽規(guī)則與競賽紀(jì)律。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽紀(jì)律的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守參賽規(guī)則和競賽紀(jì)律，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽紀(jì)律的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)*大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行

2、正式或非正式發(fā)表等）。參賽的題目 (從A/B中選擇一項(xiàng)填寫)B參 賽 隊(duì) 員姓 名學(xué) 號 院系電話 日期： 2015年 05 月 04日埃博拉病毒傳播分析摘 要本文的研究對象為1976年在蘇丹南部和剛果的埃博拉河地區(qū)發(fā)現(xiàn)的埃博拉病毒。埃博拉病毒是一種生物安全等級為4級，并且能引起人類和靈長類動物產(chǎn)生埃博拉出血熱的烈性傳染病病毒，其主要是通過病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途徑傳播。其病毒的潛伏期通常只有5天至10天，感染后25天出現(xiàn)高熱，69天死亡。面對其強(qiáng)大的傳染力和對人類健康的巨大威脅，本文通過數(shù)學(xué)建模的方法了解埃博拉病毒的傳播規(guī)律，并分析隔離措施的嚴(yán)格執(zhí)行和藥物治療效果的提高等措施對控制

3、疫情的作用。本文中，首先我們根據(jù)已給的信息及相關(guān)假設(shè)數(shù)據(jù)，通過對已知條件和所給表格書記的分析，我們大致明白了猩猩從潛伏到發(fā)病再到死亡或自愈的過程，因此我們采用了excel擬合曲線，分析其發(fā)病、潛伏、自愈、死亡和隔離的相應(yīng)的變化曲線，估計參數(shù)，再根據(jù)其建立數(shù)學(xué)模型，并用MATLAB求解方程組，調(diào)試參數(shù)，從而得到我們需要的結(jié)果。其次通過對已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)和曲線圖的分析，可以得出人類通過嚴(yán)格的藥物控制過后，對其發(fā)病和潛伏的影響，從而能夠達(dá)到對疫情的控制的作用，并且對埃博拉病毒未來發(fā)展趨勢有了更深刻的了解，以為更好的控制埃博拉病毒做出貢獻(xiàn)。關(guān)鍵詞：非線性曲線擬合；微分方程；MATLAB；數(shù)學(xué)模型1 問題

4、的重述1.1 背景埃博拉病毒（又譯作伊波拉病毒）于1976年在蘇丹南部和剛果的埃博拉河地區(qū)被發(fā)現(xiàn)后，引起了醫(yī)學(xué)界的廣泛關(guān)注和重視。該病毒是能引起人類和靈長類動物產(chǎn)生埃博拉出血熱的烈性傳染病病毒，其生物安全等級為4級。埃博拉病毒有傳染性，主要是通過病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途徑傳播。各種非人類靈長類動物普遍易感，經(jīng)腸道、非胃腸道或鼻內(nèi)途徑均可造成感染，病毒的潛伏期通常只有5天至10天，感染后25天出現(xiàn)高熱，69天死亡。發(fā)病后14天直至死亡，血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之間），致死原因主要為中風(fēng)、心肌梗塞、低血容量休克或多發(fā)性器官衰竭。當(dāng)前主流的認(rèn)知是，埃

5、博拉病毒主要通過接觸傳播，而非通過空氣傳播；只有病人在出現(xiàn)埃博拉癥狀以后才具有傳染性。在疾病的早期階段，埃博拉病毒可能不具有高度的傳染性，在此期間接觸病人甚至可能不會受感染，隨著疾病的進(jìn)展，病人的因腹瀉、嘔吐和出血所排出的體液將具有高度的生物危險性；存在似乎天生就對埃博拉免疫的人，痊愈之后的人也會對入侵他們的那種埃博拉病毒有了免疫能力。埃博拉病毒很難根除，迄今為止已有多次疫情爆發(fā)的記錄。據(jù)百度百科，最近的一次在2014年。截至2014年9月25日，此次在西非爆發(fā)的埃博拉疫情已經(jīng)導(dǎo)致逾3000人死亡，另有6500被確診感染。更為可怕的是，埃博拉病毒可能經(jīng)過變異后可以通過呼吸傳播！1.2 問題假設(shè)

6、某地區(qū)有20萬居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接觸到所有的猩猩，當(dāng)接觸到有傳播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人發(fā)病之后與猩猩的接觸可以忽略。研究人員統(tǒng)計了前40周人類和猩猩的發(fā)病數(shù)量和死亡數(shù)量等信息，請你根據(jù)相關(guān)信息，研究回答以下問題：1、 根據(jù)猩猩的發(fā)病數(shù)量和死亡數(shù)量，建立一個病毒傳播模型，動態(tài)描述病毒在“虛擬猩猩種群”中的傳播，并預(yù)測接下來的在猩猩中的疫情變化，并以下述格式給出“虛擬猩猩種群”在第80周、第120周、第200周的相關(guān)數(shù)據(jù)； “虛擬猩猩種群”群體數(shù)量預(yù)測結(jié)果（單位：只）潛伏群體處于發(fā)病狀態(tài)累計自愈累計因病死亡第80周第120周第200周2、 建立“虛擬種群”相互感染

7、的疾病傳播模型，綜合描述人和猩猩疫情的發(fā)展，并預(yù)測接下來疫情在這兩個群體中的發(fā)展情況，并以下述格式給出 “虛擬人類種群”在第80周、第120周、第200周的相關(guān)數(shù)據(jù)； “虛擬人類種群”群體數(shù)量預(yù)測結(jié)果（單位：個）潛伏人群處于發(fā)病狀態(tài)隔離治療累計治愈累計因病死亡第80周第120周第200周3、 假設(shè)在第41周，外界的專家開始介入，并立即嚴(yán)格控制了人類與猩猩的接觸，且通過某種特效藥物將隔離治療人群的治愈率提高到了80%。請預(yù)測接下來疫情在“虛擬人類種群”的發(fā)展情況，對比第2問的預(yù)測結(jié)果說明其作用和影響，給出“虛擬人類種群”在第45周、第50周、第55周的相關(guān)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)格式同問題2；4、 請依據(jù)前述

8、數(shù)學(xué)模型，分析各種疫情控制措施的嚴(yán)格執(zhí)行和藥物（包括防疫藥物、檢疫藥物和治療藥物等）效果的提高等措施對控制疫情的作用。2 問題分析2.1問題一的分析 通過對已知條件的分析，并通過給出的表格數(shù)據(jù)，大致明白猩猩從潛伏到發(fā)病再到死亡或自愈。我們通過excel作出發(fā)病隨時間的變化曲線，潛伏隨時間變化曲線，估計參數(shù)。然后通過建立數(shù)學(xué)模型用MATLAB解出方程組，調(diào)試參數(shù)使其死亡，自愈等曲線與給出表格大致相同，然后通過建立的模型求出問題一。2.2問題二的分析 同問題一分析，我們通過excel作出相應(yīng)處于發(fā)病狀態(tài)的曲線，自愈以及死亡和隔離的曲線，估計模型相應(yīng)的參數(shù)。然后通過建立的數(shù)學(xué)模型用MATLAB解出方

9、程組，調(diào)試參數(shù)使其自愈，處于發(fā)病等曲線和表格給出的數(shù)據(jù)大致一致。2.3問題三的分析 同問題二分析，我們通過excel作出治愈率提高80%后相應(yīng)處于發(fā)病狀態(tài)的曲線，自愈以及死亡和隔離的曲線，估計模型相應(yīng)的參數(shù)。然后通過建立的數(shù)學(xué)模型用MATLAB解出方程組，調(diào)試參數(shù)使其自愈，處于發(fā)病等曲線和表格給出的數(shù)據(jù)大致一致。2.4問題四的分析 通過上術(shù)數(shù)據(jù)和曲線圖的分析，可以很清楚的看出當(dāng)有人類干預(yù)后即就是嚴(yán)格的通過藥物后，發(fā)病和潛伏等都有很明顯的改善。3 假設(shè)與符號3.1模型的假設(shè)：n 由于埃博拉病毒的傳播期限不是很長，故假設(shè)不考慮這段時間內(nèi)的人口出生率和自然死亡率；n 平均潛伏期限為6天；n 處于潛伏

10、期的埃博拉病人不具有傳染性。3.2符號說明：t0 表示從最初發(fā)現(xiàn)埃博拉患者到衛(wèi)生部門采取預(yù)防措施的時間間隔；N 表示疫區(qū)總?cè)丝跀?shù)；S(t) 表示t時刻健康人數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的比例；I(t) 表示t時刻感染人數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的比例；E(t) 表示t時刻潛伏期的人口數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的比例；Q(t) 表示t時刻退出類的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；(t) 表示日接觸率，即表示每個病人平均每天有效接觸的人數(shù)；N 表示疫區(qū)總猩猩口數(shù)；S(t) 表示t時刻健康猩猩數(shù)占總猩猩數(shù)的比例；I(t) 表示t時刻感染猩猩數(shù)占總猩猩數(shù)的比例；E(t) 表示t時刻潛伏期的猩猩數(shù)占總猩猩數(shù)的比例；Q(t) 表示t時刻退出類的猩猩數(shù)占總猩猩的比

11、例；(t) 表示日接觸率，即表示每個病猩猩平均每天有效接觸的猩猩數(shù)；(t) 表示日接觸率，即表示每個病猩猩平均每天有效接觸的人數(shù)；g(t) 表示政府控制力度；f(t) 表示疫情指標(biāo)。4 模型的建立與求解4.1問題一模型的構(gòu)建 由問題的分析，將猩猩群分為易感猩猩群S，病毒潛伏猩猩群E，發(fā)病猩猩群I，退出者Q四類：l 易感人群S與病毒潛伏人群E之間的轉(zhuǎn)化易感者和發(fā)病者有效接觸后成為病毒潛伏者，設(shè)每個病人平均每天有效接觸的健康人數(shù)為(t)S，NI個病人平均每天能使(t)SNI個易感者成為病毒潛伏者。故,即l 病毒潛伏人群E與發(fā)病人群I間的轉(zhuǎn)化潛伏人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量減去轉(zhuǎn)為發(fā)病人群的數(shù)量

12、，即。l 發(fā)病人群I與退出者Q間的轉(zhuǎn)化 單位時間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即 很明顯從我們建立的模型是無法得到E,S,I,Q的解析解的。為了解決這個問題，我們求助于計算機(jī)軟件MATLAB來求出它們的數(shù)值解。我們先通過附件中給的數(shù)據(jù)算出每一天的E,S,I,Q,做出它們與時間的函數(shù)圖象，然后畫出我們通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象。對比這兩組圖，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際和理論存在著一定的差異。這必然是因?yàn)槲覀兊膮?shù)估計不合理造成的。所以，我們必須通過不斷調(diào)整那些非計算得到的參數(shù)（，）來使實(shí)際圖象和理論圖象趨于一致。經(jīng)過多次調(diào)試,我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)=0.680人,=0.9,=0.58時,實(shí)際圖象和理論圖象

13、有最好的符合。而這三個值均在我們估計的范圍內(nèi)，所以我們認(rèn)為這三個值的得到是合理的。一旦參數(shù)確定，就可以通過MATLAB軟件求出該方程組在某個區(qū)間段的數(shù)值解，從而可推算出我們所需的數(shù)值如下表所示。周數(shù)SEQ第80周0.71340.00100.2338第120周0.70080.OOO10.2990第200周0.699800.3202 在根據(jù)邏輯關(guān)系式計算可得下表的預(yù)測值 表1 “虛擬猩猩種群”群體數(shù)量預(yù)測結(jié)果單位：只周數(shù)潛伏人群處于發(fā)病狀態(tài)累計治愈累計因病死亡第80周30283596第120周00299598第200周00300600 結(jié)果分析 根據(jù)上表可知，在第80周以后，處于潛伏狀態(tài)的猩猩接近

14、于0 ，處于發(fā)病狀態(tài)的猩猩也趨近與0，且猩猩的治愈數(shù)和因病死亡數(shù)變化不大，由該模型預(yù)測出的結(jié)果與附件中的數(shù)據(jù)的得出的發(fā)病率和累計死亡率趨勢相同。 健康人數(shù)占總數(shù)比例 （比對）圖1.1 健康人數(shù)占總數(shù)比例圖（參考數(shù)據(jù)）圖1.2 健康人數(shù)占總數(shù)的比例圖（模擬數(shù)據(jù)）潛伏人數(shù)占總數(shù)比例（比對）圖2.1 潛伏人數(shù)占總數(shù)的比例圖（參考數(shù)據(jù)）圖2.2 潛伏人數(shù)占總數(shù)的比例圖（模擬數(shù)據(jù)）退出人數(shù)占總數(shù)比例（比對）圖3.1 退出人數(shù)占總數(shù)的比例圖（參考數(shù)據(jù)）圖3.2 退出人數(shù)占總數(shù)的比例圖（模擬數(shù)據(jù)）MATLAB主要程序function dx=rossler(t,x,flag,a,b,c)dx=-a*

15、x(1)+a*x(1)*x(3)+a*x(1)*x(2)+a*x(1)*x(1);a*x(1)-a*x(1)*x(3)-a*x(1)*x(2)-a*x(1)*x(1)-b*x(2);c-c*x(3)-c*x(2)-c*x(1);a=0.680;b=0.90;c=0.580;x0=0.995 0.005 0't,y=ode45('rossler',0 80,x0,a,b,c);flot(t,y); 4.2問題二模型的構(gòu)建 由問題的分析，將人群分為易感人群S，病毒潛伏人群E，發(fā)病人群I，退出者Q四類：l 易感人群S與病毒潛伏人群E之間的轉(zhuǎn)化易感

16、者和發(fā)病者有效接觸后成為病毒潛伏者，設(shè)每個病人平均每天有效接觸的健康人數(shù)為(t)S，NI個病人平均每天能使(t)SNI個易感者成為病毒潛伏者。故,即l 病毒潛伏人群E與發(fā)病人群I間的轉(zhuǎn)化潛伏人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量減去轉(zhuǎn)為發(fā)病人群的數(shù)量，即。l 發(fā)病人群I與退出者Q間的轉(zhuǎn)化 單位時間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即 很明顯從我們建立的模型是無法得到E,S,I,Q的解析解的。為了解決這個問題，我們求助于計算機(jī)軟件MATLAB來求出它們的數(shù)值解。 我們先通過附件中給的數(shù)據(jù)算出每一天的E,S,I,Q,做出它們與時間的函數(shù)圖象，然后畫出我們通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象。對比這兩組圖

17、，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際和理論存在著一定的差異。這必然是因?yàn)槲覀兊膮?shù)估計不合理造成的。所以，我們必須通過不斷調(diào)整那些非計算得到的參數(shù)（，）來使實(shí)際圖象和理論圖象趨于一致。隔離治療人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例圖4.1 隔離治療人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例圖（模擬數(shù)據(jù)）圖4.2 隔離治療人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例圖（參考數(shù)據(jù)）死亡人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例圖5.1 死亡人數(shù)占總數(shù)的餓比例圖（模擬數(shù)據(jù)）圖5.2 死亡人數(shù)占總數(shù)的比例圖（參考數(shù)據(jù)）自愈人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例圖6.1 自愈人數(shù)占總數(shù)的比例圖（模擬數(shù)據(jù)）圖6.2 自愈人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例（參考數(shù)據(jù)）發(fā)病人數(shù)占總數(shù)的比例圖圖7.1 發(fā)病人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例（參考數(shù)據(jù)）圖7.2 發(fā)病人數(shù)占總數(shù)

18、的比例圖（模擬數(shù)據(jù)）表2 “虛擬人類種群”群體數(shù)量預(yù)測結(jié)果 單位：個潛伏人群處于發(fā)病狀態(tài)隔離治療累計治愈累計因病死亡第80周6547610002370第120周7250814504980第200周5946521007650結(jié)果分析 ： 由上表可知，在第80周以后，處于潛伏狀態(tài)的人群變化幅度不大，處于發(fā)病狀態(tài)的人群也變化幅度不大，且人群的治愈數(shù)和因病死亡數(shù)持續(xù)增長，由該模型預(yù)測出的結(jié)果與附件中的數(shù)據(jù)的得出的發(fā)病率和累計死亡率趨勢相同。4.3問題三的分析外界的專家開始介入，并立即嚴(yán)格控制了人類與猩猩的接觸，且通過某種特效藥物將隔離治療人群的治愈率提高到了80%。專家的預(yù)防措施力度g(t)在控制疫情

19、的過程中起到了重要的作用，與下列因素有關(guān)：l 專家關(guān)注的疫情來自于最近幾天的疫情，不妨取近三天的平均值；l 當(dāng)t=t0時，g(t)有一個初始值，即為潛在的政府力度K0；綜上所述，可以給出g(t)隨疫情變化的曲線，形態(tài)如圖所示，（橫坐標(biāo)為疫情，縱坐標(biāo)為g(t)），其表達(dá)式為其中k0+k1=1,。根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)，令k0=0.2，k1=0.8，當(dāng)=0.58時，取g(t0)=0.7，得參數(shù)估計=0.1803.政府控制力度g(t)與日傳染率(t)的關(guān)系：(1)當(dāng)政府控制力度為0的時候(t)取最大值；(2)隨著g(t)的增大，(t)減?。?3)當(dāng)g(t)不強(qiáng)時，對(t)的變化所起的作用較小；(4)當(dāng)g(t)

20、超過一定的數(shù)值時對(t)的影響效果明顯；(5)當(dāng)g(t)趨近于1的時候(不可能為1)，則(t)趨近0。由以上幾點(diǎn)可以確定(t)隨g(t)的變化關(guān)系曲線，采用函數(shù)刻畫此形態(tài)，其中為常數(shù)。圖8 g(t)和(t)的關(guān)系圖 表3 “虛擬人類種群”群體數(shù)量預(yù)測結(jié)果 單位：個潛伏人群處于發(fā)病狀態(tài)隔離治療累計治愈累計因病死亡第45周6334127151786第50周5827118241825第55周4613149581876結(jié)果分析 由上表可知，在專家介入后，埃博拉病毒的預(yù)防控制力度加大，累計治愈的人數(shù)在增多，因病死亡人數(shù)雖然在增加，但是其增加幅度不大，說明埃博拉病毒已經(jīng)得到了良好的控制，與預(yù)期估測結(jié)果相吻

21、合。4.4問題四的分析在發(fā)病初期，由于人們對埃博拉病毒的認(rèn)識不夠，重視不足，防范措施較差，沒有有效的防疫藥物、檢疫藥物和治療藥物治療，也沒有相應(yīng)的政府控制措施，隨著時間t的增長，病情不斷惡化，感染病情所占比例I呈現(xiàn)不斷增加的趨勢，健康人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例S不斷下降，退出率Q也呈現(xiàn)持續(xù)增長的趨勢，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡。在發(fā)病中后期，隨著相關(guān)政府的介入和對該病毒的相關(guān)知識的普及，提高了人們對埃博拉病毒的預(yù)防意識，同時，在科研人員的不斷努力下，防疫藥物、檢疫藥物和治療藥物的種類增多、療效增強(qiáng)，隨著時間的增長，感染患者的比例I呈下降趨勢，健康人數(shù)所占比例S的下降趨勢由急變緩，治愈率不斷提高，死亡人數(shù)得到控制，一場殃及全人類的疫情風(fēng)波得到較好的控制。5 模型的評價本模型中，我們根據(jù)已給的信息及相關(guān)