2-氣動(dòng)-能量均分定理-速率分布11-1解析

1、k32np kTm23212kv233kTR T: mM 方方 均均 根根 速速 率率vmpVRTRTM nkTp pdV VdpRdTANNVNn ANRk 0zyxvvv222231vvvvzyx力力 學(xué)學(xué) 假假 設(shè)設(shè)統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 性性 假假 設(shè)設(shè)1一、自由度：決定物體空間位置的一、自由度：決定物體空間位置的獨(dú)立獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)坐標(biāo)數(shù)1）質(zhì)點(diǎn)：一般情況：）質(zhì)點(diǎn)：一般情況：3個(gè)平動(dòng)自由度。個(gè)平動(dòng)自由度。 即加入某種約束條件下，自由度相應(yīng)減少。如球即加入某種約束條件下，自由度相應(yīng)減少。如球面運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)滿足面運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)滿足 ： 自由度減少為自由度減少為 2個(gè)。個(gè)。x + y + z = R2222特殊情

2、況：特殊情況：21 平平面面運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)：個(gè)個(gè)自自由由度度直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)： 個(gè)個(gè)自自由由度度XYZo7-5 能量均分定理能量均分定理 理想氣體內(nèi)能理想氣體內(nèi)能3 2）剛體自由度：）剛體自由度： 一般情況：平動(dòng)自由度一般情況：平動(dòng)自由度+轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：1個(gè)自由度個(gè)自由度XYZABC363 質(zhì)心平動(dòng)個(gè)質(zhì)心平動(dòng)個(gè)個(gè)自由度個(gè)自由度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)個(gè)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)個(gè)3 3）氣體分子的自由度氣體分子的自由度理想氣體的剛性分子理想氣體的剛性分子A A：單原子分子：單原子分子33個(gè)自由度個(gè)自由度B B：雙原子分子：雙原子分子決定質(zhì)心決定質(zhì)心 3 3個(gè)自由度個(gè)自由度確定轉(zhuǎn)軸方位確定轉(zhuǎn)軸方位 2 2個(gè)自

3、由度個(gè)自由度222(coscoscos1 )兩個(gè)獨(dú)立C C：三原子以上的分子：三原子以上的分子X XY YZ Z6 6個(gè)自由度個(gè)自由度視為剛體視為剛體實(shí)際氣體實(shí)際氣體不能看成剛性分子，因原子之間不能看成剛性分子，因原子之間 還有還有振動(dòng)振動(dòng)。5iX XY YZ ZC Cc c4例如：氫氣（例如：氫氣（H H2 2）在高溫下兩氫原子之間就有）在高溫下兩氫原子之間就有 振動(dòng)，氯氣（振動(dòng)，氯氣（ClCl2 2）在常溫下便有振動(dòng)。）在常溫下便有振動(dòng)。 這時(shí)可以看作由兩質(zhì)點(diǎn)組成的彈性諧振子這時(shí)可以看作由兩質(zhì)點(diǎn)組成的彈性諧振子 對(duì)雙原子分子對(duì)雙原子分子-6-6個(gè)自由度（多了個(gè)自由度（多了確定兩原子之間相對(duì)

4、位置的自由度）確定兩原子之間相對(duì)位置的自由度）對(duì)多原子系統(tǒng)（對(duì)多原子系統(tǒng)（N N 3 3）3 3個(gè)平動(dòng)自由度（個(gè)平動(dòng)自由度（t）3 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（r）（3N-63N-6）個(gè)振動(dòng)自由度（）個(gè)振動(dòng)自由度（v）3N3N個(gè)自由度個(gè)自由度 （不證明了）（不證明了）5二、二、 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理先來分析一下單原子分子的平均平動(dòng)動(dòng)能先來分析一下單原子分子的平均平動(dòng)動(dòng)能21322_mkT v222213_xyz vvvvm21兩邊同乘兩邊同乘22221111 12223 2_xyzmmmm ()vvvvkTkT21)23(31622211112222_xyzmmmkTvv

5、v 麥克斯韋將以上情況推廣到分子的轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)麥克斯韋將以上情況推廣到分子的轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)即對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)的即對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)的每個(gè)自由度每個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)也都的運(yùn)動(dòng)也都有一份能量有一份能量kT/2。7 這 說 明 ， 分 子 的 平 均 平 動(dòng) 動(dòng) 能這 說 明 ， 分 子 的 平 均 平 動(dòng) 動(dòng) 能 3 k T / 2 是均勻地分配在對(duì)應(yīng)每一個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)上的。即是均勻地分配在對(duì)應(yīng)每一個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)上的。即對(duì)應(yīng)每一個(gè)自由度，就有對(duì)應(yīng)的一份能量對(duì)應(yīng)每一個(gè)自由度，就有對(duì)應(yīng)的一份能量kT/2 。 氣體處于氣體處于平衡態(tài)平衡態(tài)時(shí)，分子任何一個(gè)自由度的平時(shí)，分子任何一個(gè)自由度的平均能量都相等，均為均能量都

6、相等，均為 ，這就是，這就是能量按自由度能量按自由度均分定理均分定理 。/ 2kT 如某種分子有如某種分子有t 個(gè)平動(dòng)自由度，個(gè)平動(dòng)自由度，r 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，v個(gè)個(gè) 振動(dòng)自由度，則分子具有：振動(dòng)自由度，則分子具有：平均平動(dòng)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能能tkT2平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能rkT2平均振動(dòng)動(dòng)能平均振動(dòng)動(dòng)能kTv2 為什么均分到各自由度所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)能量都是二分為什么均分到各自由度所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)能量都是二分之一之一kT呢？主要是分子不斷碰撞以達(dá)到平衡態(tài)的結(jié)果。呢？主要是分子不斷碰撞以達(dá)到平衡態(tài)的結(jié)果。 8注意：對(duì)應(yīng)分子的一個(gè)振動(dòng)自由度，除有一份振動(dòng)注意：對(duì)應(yīng)分子的一個(gè)振動(dòng)自由度，除有一份振

7、動(dòng) 的的動(dòng)能動(dòng)能外，還有一份平均外，還有一份平均勢(shì)能勢(shì)能。所以，分子的平均總能量：所以，分子的平均總能量：_t + r +kT +kTvv11()22總i=kT2t + r +kTv1(2 )2t, r, v分別代表平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)的自由度。分別代表平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)的自由度。t-translation, r-rotation, v-vibrationi 代表代表分子的能量自由度分子的能量自由度9i=t+r+ v2t+r kT /()2總對(duì)剛性分子：對(duì)剛性分子：t+r+kT /v(2 )2總對(duì)非剛性分子：對(duì)非剛性分子：這是這是必須必須記住的幾個(gè)記住的幾個(gè)i值值!10300332053217330

8、6 t,r,i, t,r,i, t,r,i, t,r,ivvvv 。對(duì)單原子分子：對(duì)單原子分子：雙原子剛性分子：雙原子剛性分子：雙原子非剛性分子：雙原子非剛性分子：三（多）原子剛性分子：三（多）原子剛性分子：關(guān)于自由度的詳細(xì)推導(dǎo)可參見馬文蔚等編寫的關(guān)于自由度的詳細(xì)推導(dǎo)可參見馬文蔚等編寫的物物理學(xué)理學(xué)（高等教育出版社、第五版）（高等教育出版社、第五版）184-186頁頁關(guān)于能量均分定理的幾點(diǎn)說明：關(guān)于能量均分定理的幾點(diǎn)說明：4）定理有一定的局限性。）定理有一定的局限性。3）定理也適用于液體和固體。）定理也適用于液體和固體。2）能量按自由度均分是氣體分子在無規(guī)則運(yùn)動(dòng)中）能量按自由度均分是氣體分子在

9、無規(guī)則運(yùn)動(dòng)中 不斷碰撞不斷碰撞 ，交換能量的結(jié)果。碰撞時(shí)，分子之，交換能量的結(jié)果。碰撞時(shí)，分子之 間可交換能量，分子的動(dòng)能與勢(shì)能之間也可相間可交換能量，分子的動(dòng)能與勢(shì)能之間也可相 互轉(zhuǎn)化?；マD(zhuǎn)化。1）定理是一條）定理是一條統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只能適用于，只能適用于大量大量分子的分子的 平均或一個(gè)分子長時(shí)間的平均或一個(gè)分子長時(shí)間的平均平均。11三、理想氣體的內(nèi)能三、理想氣體的內(nèi)能1、內(nèi)能是、內(nèi)能是狀態(tài)量狀態(tài)量一般言之，分子除有動(dòng)能外，分一般言之，分子除有動(dòng)能外，分 子之間還有勢(shì)能。動(dòng)能與溫度有關(guān)，勢(shì)能與分子子之間還有勢(shì)能。動(dòng)能與溫度有關(guān)，勢(shì)能與分子 之間的距離有關(guān)，即與體積有關(guān)，即與溫度、體之間的

10、距離有關(guān)，即與體積有關(guān)，即與溫度、體 積有關(guān)。積有關(guān)。( ,)Ef T V2、理想氣體的內(nèi)能表達(dá)式、理想氣體的內(nèi)能表達(dá)式 理想氣體之間的相互作用可以忽略，故理想氣體之間的相互作用可以忽略，故理想氣理想氣體的內(nèi)能應(yīng)為各分子總能量之和體的內(nèi)能應(yīng)為各分子總能量之和。_2iENkT N總12一句話，內(nèi)能是狀態(tài)量一句話，內(nèi)能是狀態(tài)量AiiEkTNRTtrRT v01(2 )2221mol理想氣體的內(nèi)能：理想氣體的內(nèi)能：m克理想氣體的內(nèi)能：克理想氣體的內(nèi)能：mm iiEERTRTMM022結(jié)論：結(jié)論：內(nèi)能是溫度的內(nèi)能是溫度的單值單值函數(shù)函數(shù)理想氣體的另一理想氣體的另一 定義。定義。（如果是剛性分子，（如果

11、是剛性分子，v=0）idERdT2 理想氣體內(nèi)能變化：理想氣體內(nèi)能變化： 13討論：下列各式所表示的物理意義？討論：下列各式所表示的物理意義？RTiMmRTikTikTkT2)5( ;2)4( ;2)3( ;23)2( ;21) 1 (解：解：（1）表示理想氣體分子每一自由度所具有的平均能量。）表示理想氣體分子每一自由度所具有的平均能量。（2）表示單原子分子的平均動(dòng)能或分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。）表示單原子分子的平均動(dòng)能或分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。（3）表示自由度為）表示自由度為i的分子的平均能量。的分子的平均能量。（4）表示分子自由度為）表示分子自由度為i的的1mol理想氣體的內(nèi)能。理想氣體的內(nèi)能。（5

12、）表示）表示自由度為自由度為i，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的理想氣體的內(nèi)能。的理想氣體的內(nèi)能。147-6 麥克斯韋氣體分子速率分布律麥克斯韋氣體分子速率分布律2022-4-1415 氣體分子在無序運(yùn)動(dòng)中不斷發(fā)生頻繁碰撞，每氣體分子在無序運(yùn)動(dòng)中不斷發(fā)生頻繁碰撞，每個(gè)分子運(yùn)動(dòng)速率不斷地發(fā)生變化。某一特定時(shí)刻，個(gè)分子運(yùn)動(dòng)速率不斷地發(fā)生變化。某一特定時(shí)刻，氣體中個(gè)別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全氣體中個(gè)別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的。但對(duì)大量分子的整體，在一定條件下，是偶然的。但對(duì)大量分子的整體，在一定條件下，實(shí)驗(yàn)和理論都證明氣體分子的速率分布遵從一定的實(shí)驗(yàn)和理論都證明氣體分子的速率分布遵從一

13、定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 大量分子的系統(tǒng)大量分子的系統(tǒng)處于處于平衡態(tài)平衡態(tài)時(shí)的速率分布為麥時(shí)的速率分布為麥克斯韋速率分布?？怂鬼f速率分布。一、氣體速率分布的實(shí)驗(yàn)一、氣體速率分布的實(shí)驗(yàn) 1920年斯特恩（年斯特恩（O.Stern)首先測(cè)出銀蒸汽分子首先測(cè)出銀蒸汽分子的速率分布。的速率分布。 在近代氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)成功之前，在近代氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)成功之前，1859年年麥克斯韋、玻爾茲曼等人已從理論（概率論、統(tǒng)計(jì)力麥克斯韋、玻爾茲曼等人已從理論（概率論、統(tǒng)計(jì)力學(xué)等）上確定了氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。學(xué)等）上確定了氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 斯特恩實(shí)驗(yàn)是歷史上最早驗(yàn)證麥克斯韋速率分斯特恩實(shí)

14、驗(yàn)是歷史上最早驗(yàn)證麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)。布律的實(shí)驗(yàn)。 1955年密勒年密勒（Mlier)和庫士和庫士（Kusch)測(cè)出釷蒸測(cè)出釷蒸汽分子的速率分布。汽分子的速率分布。 1934年我國物理學(xué)家葛正權(quán)測(cè)出鉍蒸汽分子的年我國物理學(xué)家葛正權(quán)測(cè)出鉍蒸汽分子的速率分布。速率分布。16實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)驗(yàn)裝置1、 測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)裝置裝置 P206llvv2lHg金屬蒸汽金屬蒸汽顯示屏顯示屏狹狹縫縫接抽氣泵接抽氣泵到顯示屏的是分子射線中速率在到顯示屏的是分子射線中速率在 的分子的分子 vvv2、實(shí)驗(yàn)結(jié)果、實(shí)驗(yàn)結(jié)果(1) 分布在分布在不同速率區(qū)間不同速率區(qū)間內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)內(nèi)的相

15、對(duì)分子數(shù)不相等不相等。(2) 實(shí)驗(yàn)條件一定時(shí)，分布在一定速率區(qū)間內(nèi)的實(shí)驗(yàn)條件一定時(shí)，分布在一定速率區(qū)間內(nèi)的 相對(duì)分子數(shù)是確定的。即大量分子的速率遵相對(duì)分子數(shù)是確定的。即大量分子的速率遵 從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。2022-4-1418分子速率分布圖分子速率分布圖N：分子總數(shù)分子總數(shù)N 為速率在為速率在 區(qū)間的分子數(shù)。區(qū)間的分子數(shù)。vvv)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 區(qū)間的分區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的子數(shù)占總分子數(shù)的百分比百分比 。NNSvvv2022-4-1419v)(vfoSfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf3、分布函數(shù)、分布函

16、數(shù) 表示速率在表示速率在v-v+dv 區(qū)區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比分比 。NdNfdNvv0( )10 歸一化歸一化條件條件vvv dSd 表示在溫度為表示在溫度為T 的平衡的平衡狀態(tài)下，速率在狀態(tài)下，速率在v附近附近單位速單位速率區(qū)間率區(qū)間 的分子數(shù)占總數(shù)的百的分子數(shù)占總數(shù)的百分比分比 。物理意義物理意義20v)(vfo1vS2v( )dNfddSNvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 內(nèi)分子數(shù)內(nèi)分子數(shù)vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù)21vv vvvvvvd)()(2121fNNS速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)

17、的百分比區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比21vv 2123 2224()2mkTdNmedNkTvvv22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麥?zhǔn)消準(zhǔn)戏植己瘮?shù)分布函數(shù)二、二、 麥克斯韋氣體速率分布定律麥克斯韋氣體速率分布定律 反映理想氣體在熱動(dòng)反映理想氣體在熱動(dòng)平衡條件下，各速率區(qū)間平衡條件下，各速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)的百分分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律。比的規(guī)律。vvNddNf)(v)(vfo22三、三、 三種統(tǒng)計(jì)速率三種統(tǒng)計(jì)速率pv1）最概然速率最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41. 12pvMRT41. 1pvkNRmNMAA,v)(vfopvmaxf根據(jù)分布函數(shù)求得根據(jù)分布

18、函數(shù)求得 氣體在一定溫度下分布在最概然氣體在一定溫度下分布在最概然速率速率vp附近單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)分附近單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)最多子數(shù)最多 。物理意義物理意義23NNNNNnniidddd2211vvvvv2）平均速率平均速率v0NdNNdNfNvvvvv0( ) mkTf8d)(0vvvvMRTmkT60.160.1vv)(vfo243）方均根速率方均根速率2vmkT32v233rmskTRTmMvvv)(vfoNNfNNN02022d)(dvvvvv2pvvvMRTmkT60. 160. 1vMRTmkT22pv25p2 TmkvmkT8vmkT32vv)(vfovpv2v2022-4-1426 N2 分子在不同溫度分子在不同溫度下的速率分布下的速率分布KT3001