大學(xué)物理5 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、一、剛體（理想模型）一、剛體（理想模型） 在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為剛體?；蛘哒f運(yùn)動(dòng)中物體上任二點(diǎn)的間距不變。體稱為剛體?；蛘哒f運(yùn)動(dòng)中物體上任二點(diǎn)的間距不變。1. 1. 理想模型；理想模型； 2. 2. 在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移；在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移； 3. 3. 內(nèi)力無(wú)窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。內(nèi)力無(wú)窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。說明：說明：二、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)二、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 平動(dòng)平動(dòng)整個(gè)剛體可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理，滿足牛頓定律整個(gè)剛體可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理，滿足牛頓定律其中各點(diǎn)的速度、加速度相等，運(yùn)動(dòng)軌跡相同其中各點(diǎn)

2、的速度、加速度相等，運(yùn)動(dòng)軌跡相同 剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。如車刀、活塞等。彼止平行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。如車刀、活塞等。 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸放大放大如果剛體上的任意一條直線的方位在運(yùn)動(dòng)中變了，則稱剛?cè)绻麆傮w上的任意一條直線的方位在運(yùn)動(dòng)中變了，則稱剛體作轉(zhuǎn)動(dòng)。體作轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線可變也可不變，若軸線固定不動(dòng)，則稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的各點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)中都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。而且，剛體上各點(diǎn)在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)軸位置變）平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)

3、軸位置變）輪軸平動(dòng)輪軸平動(dòng)車輪繞車輪繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸平動(dòng)轉(zhuǎn)軸平動(dòng)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸可以當(dāng)作由一平動(dòng)和一繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)組合而成可以當(dāng)作由一平動(dòng)和一繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)組合而成三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 特點(diǎn)特點(diǎn) 剛體中任一點(diǎn)都在垂直于軸的平面內(nèi)剛體中任一點(diǎn)都在垂直于軸的平面內(nèi)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸固定的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸固定的轉(zhuǎn)動(dòng)同一時(shí)刻，各質(zhì)點(diǎn)的角速度和角加速度相等同一時(shí)刻，各質(zhì)點(diǎn)的角速度和角加速度相等在同一時(shí)間間隔內(nèi)，各質(zhì)點(diǎn)的角位移相等在同一時(shí)間間隔內(nèi)，各質(zhì)點(diǎn)的角位移相等作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量1. 1. 角位置，角位移角位置，角位

4、移運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：角位置角位置 ：位矢與：位矢與 oxox 軸夾角。軸夾角。角位移角位移 d d ：dt dt 時(shí)間內(nèi)角位置增量。時(shí)間內(nèi)角位置增量。)(t 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。位矢從位矢從o x o x 軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位置置 為正，反之，為負(fù)。為正，反之，為負(fù)。規(guī)定：規(guī)定：3. 3. 線量與角量的關(guān)系線量與角量的關(guān)系2 rararvrsnt rv 直直v r2. 2. 角速度和角加速度角速度和角加速度tdd 22ddddtt vrs s若若 是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作：勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（或是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作：勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（或勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)勻加

5、速轉(zhuǎn)動(dòng)) )勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式相似：相似： 例題例題5-1 飛輪轉(zhuǎn)速為飛輪轉(zhuǎn)速為1800r/min，因制動(dòng)而均勻，因制動(dòng)而均勻rad/s 60rad/s601800220 n s 20, 0 t 飛輪均勻減速，為勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度為飛輪均勻減速，為勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度為20rad/s 3rad/s2060 t 解解 (1) 設(shè)設(shè) 為初角速度，由題意得為初角速度，由題意得0 10s時(shí)飛輪邊緣點(diǎn)的線速度和切向與法向加速度。時(shí)飛輪邊緣點(diǎn)的線速度和切向與法向加速度。10s時(shí)飛輪的角速度；時(shí)飛輪的角速度；(3)設(shè)飛輪半

6、徑為設(shè)飛輪半徑為0.5m，求在，求在t =始到停止轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；始到停止轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；(2)求制動(dòng)開始后求制動(dòng)開始后t =地減速，經(jīng)地減速，經(jīng)20s停止轉(zhuǎn)動(dòng)。停止轉(zhuǎn)動(dòng)。(1)求角加速度和從制動(dòng)開求角加速度和從制動(dòng)開rad6002120 att 從開始制動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪的角位移從開始制動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)及轉(zhuǎn)數(shù)N 分分（2）t = 10s 時(shí)飛輪的角速度為時(shí)飛輪的角速度為rad/s 300 t m/s 71. 4 rv232n2tm/s 10444m/s 71. 4 .rara 相應(yīng)的切向加速度及法向加速度為相應(yīng)的切向加速度及法向加速度為（3）t = 10s 時(shí)，飛輪邊緣

7、上一點(diǎn)的線速度為時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度為30026002 N別為別為成成的的平平面面內(nèi)內(nèi)。組組與與且且在在向向的的右右手手螺螺旋旋方方至至FrFr ,FrM sinrFMFr F0 M/FrF F/F1r2r2211rFrF 21FF FrM MFrdFM 21MMM 2211dFdFMzF0 MFFF kJMJM 寫寫成成等等式式1轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JM im im iiiiamfF 內(nèi)內(nèi)外外niininiamfF tiititiamfF 2iiiitiiitiitrmramrfrF irim 外外iF內(nèi)內(nèi)ifir 2iiiitiitrmrfrF itirFM 外外0 itirF內(nèi)內(nèi)力力

8、矩矩和和 )(2iirmM 外外為為剛剛體體所所受受的的合合外外力力矩矩其其中中M JM iririm 2iirmJ 大大小小成成正正比比。的的方方向向一一致致與與大大小小成成正正比比。的的方方向向一一致致與與,MdtdFadtvda FavamF JM 2iirmJ dmrrmJii22 dmrJ2233222211rmrmrmJ JM rdmmFa 22/2/32/2/221213mlxdxxdmxJllllc 202231mldxxdmxJlA 2mdJJcB 22222)2(4112131mdlmmlmlmlJJCA （2mrJ rr221mrJ r221mrJ 1r2r)(22221

9、rrmJ 221mrJ rrl12422mlmrJ 122mlJ ll32mlJ r2252mrJ r2232mrJ dxdmlm sinxr 2212122sin)sin(22mldxxdmrJlllm 2 2121mlJ 2mdJJoo 2222121)sin(sin lmml 2231sinml 23203222mRRmRdRdmRJ 2403221212mRRdrrdmrJR 22222221)34(81)34(2123)2(212321RmMrmMmrrMmrMRJJJ av v Mmmghv 24rrvMmmgh 24 )2(2mMmga mgvmMavt2)2(00 2. 轉(zhuǎn)動(dòng)定

10、律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用基本步驟：基本步驟： 隔離法選擇研究對(duì)象；隔離法選擇研究對(duì)象； 質(zhì)點(diǎn)受力分析和剛體受力矩分析；質(zhì)點(diǎn)受力分析和剛體受力矩分析； 對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓定律，對(duì)剛體運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律；對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓定律，對(duì)剛體運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律； 建立角量與線量的關(guān)系，求解方程；建立角量與線量的關(guān)系，求解方程； 結(jié)果分析及討論。結(jié)果分析及討論。 )31(cos22mllmg cos23lg 2 cos2lmgM lg sin3 0,3 lgm dlgd 00cos23 cos23lgdddtddddtd 圓盤以圓盤以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng), ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止解解rrsmd2ddmgrf

11、rMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例例求求 到圓盤靜止所需時(shí)間到圓盤靜止所需時(shí)間取一質(zhì)元取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律摩擦力矩摩擦力矩0R221 JEk 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2222121 iiiikrmvmE2222121 iirmvmEiiki cosFdssdFdw sincos rdds dFrdwsin MddWFrM sin力力矩矩的的大大小小又又21222121212121 JJdJddtdJMddWW 2122212121 JJMdW 即即F21222121 JJW 力力矩矩轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)力力矩矩kEW 2122212121

12、JJMdW 021)2sin(220 Jdlmg22)31(21sin2 mlmgl lg sin3 cos23)sin3(lglgdddddtddtd 2 21EE ,恒恒量量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) pkEE為質(zhì)心處的勢(shì)能為質(zhì)心處的勢(shì)能cpmghE )sin2(02 lmgEk sin2)31(2122lmgml lg sin3 sin2l例例：一個(gè)質(zhì)量為：一個(gè)質(zhì)量為m m0 0半徑為半徑為的定滑輪的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為為m m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求

13、物體物體m m由靜止下落高度由靜止下落高度h h時(shí)的速度。時(shí)的速度。RmTgm0gmT0mhN解解：根據(jù)機(jī)械能守恒定律：根據(jù)機(jī)械能守恒定律：22v2121mJmgh 024mmmghR vv 可可解解出出 2021 RmJ地球、滑輪、物體地球、滑輪、物體m m系統(tǒng)中只有內(nèi)力重力做功，系統(tǒng)中只有內(nèi)力重力做功，所以滑輪質(zhì)心動(dòng)能與物體所以滑輪質(zhì)心動(dòng)能與物體m m的動(dòng)能的動(dòng)能 、勢(shì)能之和是、勢(shì)能之和是恒量。恒量。例、例、 如圖，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如圖，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J、半徑、半徑r r，物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量m m，彈簧勁，彈簧勁度度k k，由輕繩連接，繩和滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸的摩擦不，由輕繩連接

14、，繩和滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸的摩擦不計(jì)，（計(jì)，（1 1）在彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)將物體由靜止釋放而下落的最大）在彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)將物體由靜止釋放而下落的最大距離距離x x1 1；（；（2 2）物體的最大速度）物體的最大速度v v0 0及位置及位置x x0 0。解：（1 1）以彈簧、物體、滑輪為研究對(duì)象，以彈簧、物體、滑輪為研究對(duì)象，物體下落時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：物體下落時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：21121kxmgx kmgx21（2 2）物體與滑輪受力如圖，）物體與滑輪受力如圖，當(dāng)物體的速度達(dá)最大當(dāng)物體的速度達(dá)最大v v0 0時(shí)，有時(shí)，有00a則有則有kmgxmgkx00物體下落至物體下落至x x0 0過

15、程系統(tǒng)機(jī)械能守恒，過程系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：有：RvkxJmvmgx002020200212121 得得)(120RJmkmgv x0Ep=0圖示裝置可用來測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。待測(cè)物體圖示裝置可用來測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。待測(cè)物體A裝在轉(zhuǎn)裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，轉(zhuǎn)軸動(dòng)架上，轉(zhuǎn)軸Z上裝一半徑為上裝一半徑為r 的輕鼓輪，繩的一端纏繞的輕鼓輪，繩的一端纏繞在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為 m 的重物。的重物。重物下落時(shí)，由繩帶動(dòng)被測(cè)物體重物下落時(shí)，由繩帶動(dòng)被測(cè)物體 A 繞繞 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。今測(cè)得軸轉(zhuǎn)動(dòng)。今測(cè)得重物由靜止下落一段距離重物由靜止下落一段距離 h，所用時(shí)間為，所用

16、時(shí)間為t，例例解解 01PE01kE22222/J/mEZkv)2()(222r/JmrZv分析（機(jī)械能）：分析（機(jī)械能）： mghEP2求求 物體物體A對(duì)對(duì)Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz。設(shè)繩子。設(shè)繩子不可伸縮，繩子、各輪質(zhì)量及輪軸不可伸縮，繩子、各輪質(zhì)量及輪軸處的摩擦力矩忽略不計(jì)。處的摩擦力矩忽略不計(jì)。)(2222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthddddvv，) 12(22hgtmrJZ22222121tJmrmgrathZ常量ZJmrmgra220)2()(222r/JmrmghZv機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒prL L rv sin,rmvL大大小小為

17、為為為矢矢量量rp1sin90 L = P r = m v rdtPdrdtPdrPdtrddtPrddtLd )()0( vmvpdtrddtpdrdtLd LLLdtM 0dtLdM 12LLLddtM dtPdF dtpdrFrM dtpdrdtLd 又又1212)(vrrv gmTN JrrmvrmLiiiiiiii JL dtdLdtJddtdJJM )( L ivLirdtdLM 112212 JJLLdLdtM 常常量量 0)( JJL mrmrJL 2剛剛體體 JmrmrL 2質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)0 iM0 iM J0 iM 當(dāng)當(dāng)變形體所受合外力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒變形體所受合外

18、力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒 常量tJ tJ tJ 222214121)2(21mRMRRmMRJ 22221mRMRJ 222122)21()4121( mRMRmRMR 12422 mMmM R/2R/20 2Rvv2)0(0或或 iMR/2R/20 0vv222Rv 2412mR Rv 221mR 2)2(412Rm 221mR2412mR 0 2)2(412Rm 0 0 )22()2(42)(4221222RvRmRvRmmR 0 020202)2(424221 RmRmmRR/2R/20 0vv2例例3 3、一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為 l l、質(zhì)量為、質(zhì)量為M M的均勻細(xì)直棒，其的均勻細(xì)直棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一子彈質(zhì)量為一子彈質(zhì)量