高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一一若定理定理 1. 正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和部分和序列有界有界 .若收斂 , 部分和數(shù)列有界, 故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共24頁證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvunvvv 21 小發(fā)大發(fā)小發(fā)大發(fā) 大收小收大收小收機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共24頁nns 則則

2、)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv定理證畢定理證畢.比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 須有參考級數(shù)須有參考級數(shù). 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共24頁解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共24頁 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級數(shù)收斂級數(shù)收斂則則 P重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù)

3、, , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共24頁機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)散發(fā)散而級數(shù)而級數(shù).)1(11 nnn發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)小發(fā)則大發(fā)小發(fā)則大發(fā)第6頁/共24頁定理定理3.3.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時時, , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時，若時，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時時, , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則

4、則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共24頁證明證明lvunnnlim由, 02 l 對于對于,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共24頁機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共24頁的斂散性. 的斂散性 .解解: 根據(jù)比較審斂法的極限形式知例例4. 判別級數(shù)解解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共24頁解解nnnn3131

5、lim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共24頁設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .證明證明,為有限數(shù)時為有限數(shù)時當(dāng)當(dāng) , 0 對對,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共24頁,1時時當(dāng)當(dāng) ,1時時當(dāng)當(dāng) ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111

6、 mNmur收斂收斂而級數(shù)而級數(shù),11收斂收斂 NnnmmNuu收斂收斂, 1 取取, 1 r使使,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共24頁比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn): 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 兩點(diǎn)注意兩點(diǎn)注意:,11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)例例 nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共24頁,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.

7、limlim1不存在不存在nnnnnauu 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共24頁的斂散性 .解解: 根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂 ;級數(shù)發(fā)散 ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共24頁解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nn第17頁/共24頁),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收

8、斂收斂級數(shù)級數(shù) nn.)12(211收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nnn第18頁/共24頁對任意給定的正數(shù) 設(shè) 為正項(xiàng)級則證明提示證明提示: 即分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確.數(shù), 且機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共24頁時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .例如 , p 級數(shù) 但級數(shù)收斂 ;級數(shù)發(fā)散 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共24頁收斂于S ,似代替和 S 時所產(chǎn)生的誤差 . 解解: : 由定理5可知該級數(shù)收斂 .令則所求誤差為并估計以部分和 Sn 近 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共24頁1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法根值審斂法收 斂發(fā) 散不定 比較審斂