北師版初三數(shù)學(xué)下冊圓概念講義

1、九年級（下）第三章圓1、到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是：以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；記作O”，讀作“圓O2、到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：線段的中垂線；3、到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是：角的平分線；4、至附線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；.圓的基本概念1 1.弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫直徑。注：圓中有無數(shù)條直徑2 2 .弧.圓上任意兩點(diǎn)間的部分，簡稱為“弧”以A,B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧.記作AB,讀作“弧AB.3 3.半圓，劣弧，優(yōu)?。?圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，其中每一條叫半圓。如弧AD.小于半圓的弧叫做劣

2、弧，如記作AB（用兩個(gè)字母）.大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，如記作ACB（用三個(gè)字母）.4 4.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.也就是等弧一定是同圓或等圓5 5.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角6 6.同心圓：圓心相同，半徑不同的兩個(gè)圓叫做同心圓7 7.弦心距：圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距二.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)A在圓外直線與圓的位置關(guān)系：圓與圓的位置關(guān)系外 離（E到1)無交點(diǎn)dR+r外 切（E到2)有一個(gè)交點(diǎn)d=R+r相 交（E到3)有兩個(gè)交點(diǎn)R-rdR+r內(nèi) 切（E到4)有一個(gè)交點(diǎn)d=R-r內(nèi) 含（E到5)無交點(diǎn)drd=r無交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)相離

3、相交四.圓，弦，弧圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論也即：/AOB=/DOEAB=DEOC=OFBA=EDC.弦的垂直平分線必平分弦所對的兩條弧D.平分一條弧的直線必平分這條弧所對的弦圓的兩條平行弦所夾的弧相等即：在。OABCDAB/CD-cAC=BD如果兩條弦相等，那么（這兩條弦所對的弧相等B.這兩條弦所對的圓心角相等C.這兩條弦的弦心距相等D.以上答案都不對五.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧推論1:（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，

4、并且平分弦所對的兩條??；AB是直徑ABXCDCE=DE劣弧CB=BD優(yōu)弧AC=AD確定圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)便是圓心注意：做題時(shí)盡量補(bǔ)全中垂線的腰卜列判斷中正確的是（A.平分弦的直線垂直于弦B.平分弦的直線也必平分弦所對的兩條弧A六.圓周角定理圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角；圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角;圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半即：一/AOB和/ACB是所對的圓心角和圓周角./AOB=2ZACB圓周角定理的推論:推論 1 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧，即圓心角看弧，等弧對等弦對等圓心角即

5、：在。O中，/C、/D都是所對的圓周角./C=ZD推論 2 2半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在。O中，.AB是直徑或.一/0=90/0=90AB是直徑推論 3:3:三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形即：在AB0中，:OC=OA=OB.ABC是直角三角形或/0=90注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。如圖，已知AB為。O的直徑，/E=20,/DBC=50,貝UzCBE=解析：連結(jié)AC.設(shè)/DCA=x,則zDBA=x,所以/CAB=x為AB為直徑，所以/B0A=90,則zC

6、BA+/CAB=90.又ZDB0=50，.=50+x+(x+20)=90.x=10.ZCBE=60.所以答案是60+20因（08山東濱州）如圖所示，AB是。的直徑，AD=DE,AE與BD交于點(diǎn)C,則圖中與/BCE相等的角有（）數(shù)為解析：直徑所對圓周角是90。且同弧所對圓周角相等.所以得55弦切角定理弦切角等于所夾弧所對的圓周角推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。即：:MN是切線，AB是弦/BAM=/BCA七.圓內(nèi)接四邊形定理圓的內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角即：在。O中，二.四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形C+/BAD=180B+/D=

7、180/DAE=/C八.切線的性質(zhì)與判定定理（1）判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線兩個(gè)條件：過半徑外端（即到圓心的距離等于半徑）且垂直半徑，二者缺一不丁即：:MN，OA且MN過半徑OA外端A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)解析：考察同弧，等弧所對圓周角相等，所以選Bo【例5】（08山西太原）如圖，的弦，連接AC,AD,AB是。的直徑，CD是。O1若/CAB=35,則2ADC的度MN是。O的切線證明：證直線與圓相切，常利用：“已知交點(diǎn)連半徑證垂直”和“不知交點(diǎn)作垂直證半徑”的方法加輔助線九.切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分切線的夾角。即：:PA

8、、PB是的兩條切線PA=PBPO平分/BPA(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等即：在。O中，二.弦AB、CD相交于點(diǎn)PPA-PB=PC-PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線， 切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)即：在。O中，:PA是切線，PB是割線PA2=PCXPBPDXPE=PCXPB(等量代換)冰圓公共弦定理連心線垂直平分公共弦即：O1、0O2相交于A、B兩點(diǎn).O1O2垂直平分AB相交弦定理即：在。O中，二.直徑ABXCD，CE2=ED2=BEXEA(射影定理的轉(zhuǎn)化

9、)AO2O1B十.弧長及扇形的面積n二R;180cn二R21S=-1R36022、圓柱：2圓枉側(cè)面展開圖%=S，2S底二2二rh2r:r2圓枉的體積：V-：rh圓錐側(cè)面展開圖%=S,S底二二Rr二r212圓錐的體積：Vrh32.常識：1 .圓是軸對稱和中心對稱圖形.2 .圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù).3 .三角形的外心 u 兩邊中垂線的交點(diǎn) u 三角形的外接圓的圓心；三角形的內(nèi)心U兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn) U三角形的內(nèi)切圓的圓心n：圓心角R：（母線）扇形多對應(yīng)的圓的半徑1:扇形弧長S：扇形面積已知弦構(gòu)造弦心距P圓外角轉(zhuǎn)化為圓周角1、扇形：（1）弧長公式：l（2）扇形面積公式:兩圓同心，作弦心距，可

10、證得AC=DB.兩圓相交構(gòu)造公共弦，連結(jié)圓心構(gòu)造中垂線.PAPB是切線， 構(gòu)造雙垂圖形和全等.若AD/BC都是切線，連結(jié)OA、OB可證/AOB=180,即A、QB三點(diǎn)一線.等腰三角形底邊上的的高必過內(nèi)切圓的圓心和切點(diǎn)，并構(gòu)造相似形.M兩圓內(nèi)切， 構(gòu)造外公切線與垂直.M兩圓內(nèi)切，構(gòu)造外公切線與平行.M兩圓外切，構(gòu)造內(nèi)公切線與垂直.M構(gòu)造內(nèi)公切兩圓外切，線與平行.造弦切角.周角.直角.圓的外切四邊形對邊和相規(guī)則圖形折疊出一對全等，一對相似.RtAABC的內(nèi)切圓半徑:abcr=.相交弦出相似.ABo2o1AAGFMPABPOCRtA練習(xí)題C5cmC如圖60CBDBDCD的距離是ABBADADOPOC

11、BBBAoC兩弦AB.17cm作ANILBC可證出P是劣弧CD上不同于點(diǎn)C的任意A.45C.75CAPC過圓心，PA是切線D.6cm選擇題如圖，A.3cm如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接正方形A,B,C都在|_O上CD,AB=24cmc.12cmA.34ODB（每題3分，共30分）O中，弦AB的長為6cmB.4cmBDNECO到AB的距離為4cm,則LIO的半徑長為（CCD=10cm,則兩弦D.7cm或17cmOCDCGF_AMBC-ANAB=OI。2(Rr)2AB=： OI。2(R+r)2圓的半徑為13cmA.7cm1、2、3、4、點(diǎn)O到直線a的距離為5,則直線a與。O的位置關(guān)系為（5、。O

12、的半徑是A.相離6,B.相切C.相交D.內(nèi)含1，一6、如圖，已知扇形OBC,OAD的半徑之間的關(guān)系是OB=OA,則BC的長是AD長的（）21 .1.A.一倍B.2倍C._倍D.4倍2 41一10、如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去-圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊）3那么這個(gè)圓錐的高為（）A.6cmB,375cmC.8cmD.5.3cm12、如圖，點(diǎn)AB是LO上兩點(diǎn)，AB=10,點(diǎn)P是UO上的動(dòng)點(diǎn)（P與A,B不重合），連結(jié)AP,PB,過點(diǎn)O分別作OE_LAP于E,OF_LPB于F,則EF=.13、已知，如圖：AB為。的直徑，AB=AC,BC交。于點(diǎn)D,AC交。于點(diǎn)E,

13、/BAC=45。給出以下五個(gè)結(jié)論：/EBC=22.50,;BD=DC;AE=2EC;（即AB的長）為cm.（結(jié)果保留幾）17、。O的半徑為3cm,B為。O外一點(diǎn)，OB交。于點(diǎn)A,AB=OA,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以冗cm/s的速度在。上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A立即停止.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為s時(shí)，BP與。相切二、填空題（每題3分，共30分）11、如圖，AB切。0于點(diǎn)B,AB=4cm,AO=6cm，則。O的半徑為cm.,108”.60cm第16題圖14、兩圓的半徑分別為3和5,當(dāng)這兩圓相交時(shí),圓心距d的取值范圍是15、已知一個(gè)圓錐體的底面半徑為2,母線長為4,則它的側(cè)面展開圖面積是.（結(jié)果保留幾）1

14、6、如圖所示為一彎形管道，其中心線是一段圓弧AB.已知半徑OA=60cm,/AOB=108,則管道的長度劣弧AE是劣弧DE的2倍；AE=BC。其中第13題圖BA18、已知LO1、LO2的圓心距OQ2=5,當(dāng)LQ與1_O2相交時(shí)，則LO1的半徑R=.L。2的半徑r=.（寫出一組滿足題意的R與r的值即可）三、解答題(每題10分，共60分)21、如圖，已知AB是|_0的直徑，AC是弦,BD=10.(1)求證：CA=CD;(2)求L0的半徑.22、如圖，AB是。的直徑，弦BC=8,/BOC=60,OEXAC,垂足為E.(1)求0E的長.(2)求劣弧AC的長.23、如圖，AB是10的切線，A為切點(diǎn)，AC

15、是|_0的弦，過0作OH_LAC于點(diǎn)H.若0H=2,AB=12,BO=13.求：(1)|_0的半徑；(2)sin/OAC的值;(3)弦AC的長.24、如圖是某城市一個(gè)主題雕塑的平面示意圖，它由置放于地面l上兩個(gè)半徑均為2米的半圓與半徑為4米的。A構(gòu)成.點(diǎn)B、C分別是兩個(gè)半圓的圓心，OA分別與兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)E、F,BC長為8米.求EF的長.第21題圖B第24題圖C11.下列語句中不正確的有（）。相等的圓心角所對的弧相等平分弦的直徑垂直于弦圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸長度相等的兩條弧是等弧A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.4個(gè)、選擇題（每小題3分，共45分）1.在ABC中，Z0=90,A

16、B=3cm,BC=2cm,以點(diǎn)A為圓心，以2.5cm為半徑作圓，則點(diǎn)C和。A的位置關(guān)系是（）。A.C在OA上C.C在OA內(nèi)2.一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為A.16cm或6cmB.C在OA外D.C在OA位置不能確定。11cm,最小距離為5cm,則圓的半徑為B.3cm或8cmC.3cm3. AB是。O的弦，/AOB=80則弦AB所對的圓周角是（）。A.40B,140或40C.20D,20或1604. O是4ABC的內(nèi)心，/BOC130,則/A的度數(shù)為（）。A.130B,60C.70D,805.如圖1,OO是ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別是D、E、F,已知/A=100,/C=30,則/DFE的度數(shù)是（B.60C

17、.65D.706.如圖2,邊長為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A、B、CD處各有一棵樹，且AB=BC=CD=3.現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的一棵樹上.為了使羊在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在（A.A處B.B處C.C處D.D處圖23,那么這兩圓的位置是（8. （2009年廣西南寧）如圖，AB是。O的直徑，弦CD-LAB于點(diǎn)E,/CDB=30,OO的半徑為J3cm,則弦CD的長為（）A.3cmB.3cm2C.23cmD.9cm9.已知圓錐的底面半徑為3,高為4,則圓錐的側(cè)面積為A.10兀B.12兀C.15兀10.如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍用兩個(gè)正方形和A.3B.4Cn個(gè)正三角形恰好可

18、以進(jìn)行平面鑲嵌，則.5D,6n的值是（圖17.已知兩圓的半徑分別是2和4,圓心距是13.如圖3,/ABC中，/0=90,BC=4AC=3。內(nèi)切于ABC,則陰影部分面積為（）B.12-2兀C.14-4兀D.6-兀2為半徑的。A與BC相切于點(diǎn)D,交AB于E,交AC于F,點(diǎn)88兀9圖3圖4圖5二、填空題（每小題3分，共30分）1 .兩圓相切，圓心距為9cm,已知其中一圓半徑為5cm,另一圓半徑為.2 .兩個(gè)同心圓，小圓的切線被大圓截得的部分為6,則兩圓圍成的環(huán)形面積為。5 .矩形ABCD,對角線AC=4,ZACB=30,以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱的表面積是。6.扇形的圓心角度數(shù)60。，面積6兀，

19、則扇形的周長為。8.在半彳仝為5cm的圓內(nèi)有兩條平行弦，一條弦長為6cm,另一條弦長為8cm,則兩條平行弦之間的距離為9 .如圖6,4ABC內(nèi)接于。O,AB=AC/BOC=100,MN是過B點(diǎn)而垂直于OB的直線，則/ABM=/CBN=三、解答下列各題（第9題11分，其余每小題8分，共75分）10如圖，OO的圓心在。O的圓周上，OO和。交于A,B,AC切。于A,連結(jié)CBBD是。的直徑，/D=40求：/AO1B、/ACB和/CAD勺度數(shù)。A.12-兀14.如圖4,在4ABC中，BC=4,以點(diǎn)A為圓心、P是。A上的一點(diǎn)，且/EPF=40。，則圖中陰影部分的面積是（15.如圖5,圓內(nèi)接四邊形ABCD勺

20、BACD的延長線交于P,AGBD交于E,則圖中相似三角形有（B4 .如圖，ABC虛。的內(nèi)接四邊形，DP/AC,交BA的延長線于P,求證：AD-DC=PA-BQ5 .如圖/ABC中/A=90,以AB為直徑的。O交BC于D,E為AC邊中點(diǎn),求證：DE是OO的切線。6 .如圖，已知扇形OACBK/AOB=120,弧AB長為L=4兀,。O和弧AROAOB分別相切于點(diǎn)C、DE,求。O的周長。8 .如圖，AABC的/C=RtZ,BC=4,AC=3,兩個(gè)外切的等圓。d,OC2各與AB,AC,BC相切于F,H,E,G,求兩圓的半徑。FHAEAFABAC63AEFABCEFAEBCABEF=BC些二8二二差A(yù)B

21、33參考答案（一）1、C;2、D;3、A;4、D;5、C;6、A;7、B;8、B;9、C;10、B;11、2拆;12、5;13、；14、2cd8;15、8兀；16、36兀；17、1或5;23、解：（1）AB是|_O的切線，二/OAB=90,_22_2二AO=OB-AB，,OA=5.(2) ；OHAC,.NOHA=90,/.sin/OAC=0H=2.OA5(3) 7OH_AC,.AH2=AO2-OH2,AH=CH,AH2=25-4=21,.AH=而，AC=2AH=2=9.2.24、解：:OA分別與兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)E、F,點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)圓的圓心，AE=AF=4,BE=CF=2,AB=AC=6