(完整word版)第一章_隨機(jī)事件及其概率習(xí)題

1、第一章隨機(jī)事件及其概率習(xí)題一一、填空題113 一.1 .設(shè)樣本空間x|0 x 2,事件 A x|- x 1, B x|- x 馬,則 A B13113x|0 x-Ux|-x 2 , ABx|-x-Ux|1x-.424222 .連續(xù)射擊一目標(biāo)，Ai表示第i次射中，直到射中為止的試驗(yàn)樣本空間，則=A；A1A2； L ；A1 A2 L An 1An； L3 . 一部四卷的文集，按任意次序放在書架上，各卷自左向右，或自右向左順序恰好為1、2、3、4概率為 .124 . 一批(N個(gè))產(chǎn)品中有M個(gè)次品、從這批產(chǎn)品中任取n個(gè)，其中恰有個(gè) m個(gè)次品的概率是 cmcnm/cN .5 .某地鐵車站，每5分鐘有一趟

2、列車到站，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，則乘客侯 車時(shí)間不超過3分鐘的概率為0.6.6 .在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于-”的概率為 0.6857 .已知 P(A)=0.4, P(B)=0.3,(1)當(dāng) A,B 互不相容時(shí)，P(AU B)=_07; P(AB)=_0.(2)當(dāng) B A 時(shí)，P(A+B )= 0.4 : P(AB)= 0.3:8 .若 P(A) ,P(B) ,P(AB) , P(A B) 1; P(AB);P(A B)=1-1 一99 .事件 A, B,C 兩兩獨(dú)立，滿足 ABC , P(A) P(B) P(C)，且 P(A+B+C 尸一,216則 P(A)

3、=0.25? ?.10 .已知隨機(jī)事件 A的概率P(A) 0.5,隨機(jī)事件 B的概率P(B) 0.6,及條件概率 P(B|A) 0.8 ,則和事件A B的概率P(A B) 0.7 .12 .假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,從中隨機(jī)取一件結(jié)果不是三等品，則取到一等品的概率為13 .已知 P(A) a,P(B|A) b,則P (AB)a ab .14 . 一批產(chǎn)品共10個(gè)正品，2個(gè)次品，任取兩次，每次取一件(取后不放回，則第2次抽取為 次品的概率 -62 1 215 .甲、乙、丙三人入學(xué)考試合格的概率分別是，一，二人中恰好有兩人合格的概3 2 5率為 2/5 .16 . 一

4、次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率為 p,現(xiàn)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，則A至少發(fā)生一次的概 率為 1 (1 p)n； A至多發(fā)生一次的概率為(1 p)n np(1 p)n 1.17 .甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是甲中的概率為0.75 .二、選擇題1 .以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”則其對(duì)立事件N為(D).(A) “甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”；(B) “甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”；(C) “甲種產(chǎn)品滯銷” ；(D) “甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”.2 .對(duì)于任意二事件 A和B,與A B B不等價(jià)的是 (D).(A) A B;(B) BA;

5、(C) AB ;( D) AB .3 .如果事件A, B有B A,則下述結(jié)論正確的是(C).(A) A與B同時(shí)發(fā)生；(B) A發(fā)生，B必發(fā)生；(C) A不發(fā)生B必不發(fā)生；(D) B不發(fā)生A必不發(fā)生.4. A表示“五個(gè)產(chǎn)品全是合格品”，B表示“五個(gè)產(chǎn)品恰有一個(gè)廢品”，C表示“五個(gè)產(chǎn)品不全是合格品”，則下述結(jié)論正確的是(B).(A) A B;( B) A C;(C) B C;(D) A B C.5 .若二事件 A和B同時(shí)出現(xiàn)的概率 P( AB )=0則(C).(A) A和B不相容；(B) AB是不可能事件；(C) AB未必是不可能事件；(D) P(A)=0或P(B)=0.6 .對(duì)于任意二事件 A和

6、B有P(A B) (C ).(A) P(A)P(B);(B)P(A)P(B)P(AB);(C) P(A)P(AB)；(D)P(A)P(B)P(B) P(AB).8 .設(shè)A , B是任意兩個(gè)概率不為 0的不相容的事件，則下列事件肯定正確的(D)(A) AW B 不相容；(B)AWB 相容；(C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A- B)=P(A).9 .當(dāng)事件A、B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 C必發(fā)生則(B).(A)P(C)P(A)P(B) 1; (B)P(C)P(A) P(B)1;(C)P(C)P(AB);(D)P(C)P(A B).10 .設(shè)A,B為兩隨機(jī)事件，且 B A ,則下列式子正

7、確的是(A ).(A)P(A B)P(A) ;(B) P(AB) P(A);(C)P(B| A)P(B);(D) P(BA) P(B)P(A).11 .設(shè)A、B、C是三隨機(jī)事件，且 P(C) 0,則下列等式成立的是 (B).(A) P(A|C) P(A|C) 1;(B) P(AUB|C) P(A|C) P(B| C) P(AB|C);(C) P(A|C) P(A|C) 1;(D) P(AUB|C) P(A|C)P(B |C).12.設(shè)A,B是任意兩事件，且A B, P(B) 0,則下列選項(xiàng)必然成立的是(B).(A) P(A) P(A|B);(C) P(A) P(A|B);13.設(shè)A, B是任意

8、二事件，且P(B)(A) P(A B) P(A);(C) P(A B) P(A);(8) P(A) P(A|B);(D) P(A) P(A|B).0, P(A|B) 1,則必有(C )(B) P(A B) P(B);(D) P(A B) P(B).1614 .袋中有5個(gè)球，其中2個(gè)白千和3個(gè)黑球，又有5個(gè)人依次從袋中任取一球，取后不放回，則第二人取到白球的概率為( D)(A)1-;4(B)(C)(D)15 .設(shè) 0 P(A) 1,0 P(B) 1, P(A|B) P(A| B) 1,則(D)(A)事件A和B互不相容；(B)事件A和B互相對(duì)立；(C)事件A和B互不獨(dú)立；(D)事件A和B相互獨(dú)立.

9、16 .某人向同一目標(biāo)重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p (0 p 1),則此人第 4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為(C).(A) 3P(1 p)2;(B) 6P(1 p)2;2222(C) 3p2(1 P)2;(D) 6P2(1 P)2.三、解答題1 .寫出下列隨機(jī)實(shí)驗(yàn)樣本空間：(1)同時(shí)擲出三顆骰子，記錄三只骰子總數(shù)之和；(2) 10只產(chǎn)品中有3次產(chǎn)品，每次從中取一只(取出后不放回)，直到將3只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)；(3)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品” ，不合格的蓋上“次品”，如連 續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。(4)將一尺之

10、棒折成三段，觀察各段的長(zhǎng)度.解 1 (1) 3,4,5, ,18;(2) 3,4,5, ,10;(3)查出合格品記為“ 1”，查出次品記為“ 0”，00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101 , 1110, 1111;(4) (x, y,z)|x 0, y 0, z 0, x y z 1其中 xy, z分別表示三段之長(zhǎng).2 .設(shè)A,B,C為三事件，用 A,B,C運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：(1) A發(fā)生，B和C不發(fā)生；(3) A,B,C均發(fā)生；(5) A,B,C都不發(fā)生；(7) A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生;(2) A與B都發(fā)生，而C

11、不發(fā)生;(4) A, B,C至少一個(gè)不發(fā)生；(6) A, B,C最多一個(gè)發(fā)生；(8) A, B,C中至少二個(gè)發(fā)生.解 (1) ABC 或 A- (AB+AC)或 A (B+C); (2) ABC 或 AB ABC 或 ABC; (3)ABC; (4) A B C; (5) ABC 或 A B C;(6) ABC ABC ABC ABC; ABC; (8) AB AC BC .3 .下面各式說明什么包含關(guān)系？(1) AB A ; (2) A B A;(3) A B C A解(1) A B;(2) A B;(3) A B C4 .設(shè)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, A 2,3,4, B

12、3,4,5, C 5,6,7具體寫出下列各事件:(1) AB ,(2) A B ,(3) AB,(4) ABC ,(5) A( B C).解(1)5；(2) 1,3,4,5,6,7,8,9,10;(3) 2,3,4,5;(4) 1,5,6,7,8,9,10 ;(5) 1,2,5,6,7,8,9,10.5 .從數(shù)字1,2,3,，10中任意取3個(gè)數(shù)字，(1)求最小的數(shù)字為 5的概率；記“最小的數(shù)字為 5”為事件A10個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)為一組：選法有 C13)種，且每種選法等可能.又事件A相當(dāng)于：有一個(gè)數(shù)字為5,其余2個(gè)數(shù)字大于5。這種組合的種數(shù)有1 C；P(A)1 C； 1"CT 12(2

13、)求最大的數(shù)字為 5的概率。記“最大的數(shù)字為5”為事件B,同上10個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)，選法有C30種，且每種選法等可能，又事件 B相當(dāng)于：有一個(gè)數(shù)字為 5,其余2數(shù)字小于5,選法有1 C2種P(B)1 C42Cw1206 .從5雙不同鞋子中任取 4只，4只鞋子中至少有 2只配成一雙的概率是多少?記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”則A表“4只人不配對(duì)”從10只中任取4只，取法有14)種，每種取法等可能。要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有424P(A)C4 24821P(A) 1 P(A)2113217.試證 P (AB AB)P (A) P (B) 2P (

14、AB).8.已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)取一只，作不放回抽樣,求下列事件的概率。（1）兩只都是正品 ；（2）兩只都是次品 ；（3） 一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。解（1）C8228 .2；C12045(2) P2C；C10145(3) P3c8c2C12016一;45(4) P4 1P24445 459.把10本書任意放在書架上，求其中指定的5本書放在一起的概率。解所求概率6! 5!1p 110!4210 .某學(xué)生宿舍有8名學(xué)生，問（1） 8人生日都在星期天的概率是多少？ （2） 8人生日都不在星期天的概率是多少？ （3） 8人生日不都在星期天的概率是多

15、少?8-11解P17r7(2) P268P3117811 .從0 9中任取4個(gè)數(shù)構(gòu)成電話號(hào)碼（可重復(fù)取）求：（1）有2個(gè)電話號(hào)碼相同，另 2個(gè)電話號(hào)碼不同的概率 p;（2）取的至少有3個(gè)電話號(hào)碼相同的概率 q.1 22解 p C10C44A90.432；10C10c4 A9 C102 2） q 4 0.037.1012 .隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班中，這 15名新生有3名優(yōu)秀生.求（1）每個(gè) 班各分一名優(yōu)秀生的概率p （2） 3名優(yōu)秀生在同一個(gè)班的概率q .解基本事件總數(shù)有5種5! 5! 5!（1）每個(gè)班各分一名優(yōu)秀生有3!種，對(duì)每一分法，12名非優(yōu)秀生平均分配到三個(gè)班中分3 12!法

16、總數(shù)為2種，所以共有 且返 種分法.所以 p =型里空 空.4! 4! 44 4 4!15!915 51 5（2）3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班，分法有3種，對(duì)每一分法，12名非優(yōu)秀生分配到三個(gè)班中3 12!分法總數(shù)為治，共有襦種,所以q駕91.5 51 513 .在單位園內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)Q,試求以Q為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)超過1的概率.解：在單位園內(nèi)任取一點(diǎn)Q,并記Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y),由題意得樣本空間2x,y x2,y 1 ,記事件a為“以q為中心的弦長(zhǎng)超過1”，則事件A x, y 1 x2y22x, y x由幾何概率計(jì)算公式得P(A)34 314.14 .設(shè)A, B是兩事件且P (A)=0.6, P (

17、B)=0.7.問(1)在什么條件下 P (AB)取到最大值, 最大值是多少？ ( 2)在什么條件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6, P (B) = 0.7即知ABw。，(否則AB =。依互斥事件加法定理,P(AU B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3 >1 與 P (AU B)<1 矛盾)從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)-P (AU B)(*)(1)從0W P(AB)W P(A)知，當(dāng)AB=A,即A n B時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6,(2)從(*)式知，當(dāng)AUB= 時(shí)，P(A

18、B)取最小值，最小值為P(AB)=0.6+0.7 1=0.3 .15 .設(shè) A, B 是兩事件，證明：P (AB AB) P (A) P(B) 2P(AB)證 P (AB AB) P (AB) P(AB) P(ABAB) P(A B) P(B A)P(A) P(AB) P(B) P(AB) P(A) P(B) 2P(AB).16 .某門課只有通過口試及筆試兩種考試，方可結(jié)業(yè).某學(xué)生通過口試概率為80%,通過筆試的概率為65%,至少通過兩者之一的概率為75%,問該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性有多大？解 A= "他通過口試”，B= "他通過筆試”，則 P(A)=0.8, P(B)=0

19、.65, P(A+B)=0.75P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B)=0.8+0.65 - 0.75=0.70即該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性為70%.17 .某地有甲、乙、丙三種報(bào)紙，該地成年人中有20%讀甲報(bào)，16%讀乙報(bào)，14%讀丙報(bào)，其中8%兼讀甲和乙報(bào)，5%兼讀甲和丙報(bào)，4%兼讀乙和丙報(bào)，又有 2%兼讀所有報(bào)紙， 問成年人至少讀一種報(bào)紙的概率.解 設(shè)A, B, C分別表示讀甲，乙，丙 報(bào)紙P(A B C)P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)0.2 0.16 0.14 0.08 0.05 0.04 0.02 0.35 ._1_118 .已知

20、 P(A) P(B) P(C) ,P(AB) 0, P(AC) P(BC) ，求事件 A, B,C 全不發(fā)416生的概率.解 P(ABC) P(AB C) 1 P(A B C)3 131 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) 14 88.19.某廠的產(chǎn)品中有 4%的廢品，在100件合格品在有75件一等品，試求在該產(chǎn)品任 取一件的是一等品的概率.解令 A "任取一件是合格品”B "任取一件是一等品”P(AB) P(A)P(B|A) (10.04) 0.75 0.72 .20.在100個(gè)次品中有10個(gè)次品,每次從任取一個(gè)(不放回)，求直

21、到第4次才取到正品的概率.解 Ai = "第i次取到正品” i=1, 2, 3, 4.P(A1A2AA4) P(A)P(A |A)P(A3lAA2)P(A4lAA2A3)109890 0.00069100 99 98 9721.某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過三次而 接通所需的電話的概率是多少？記H表撥號(hào)不超過三次而能接通，Ai表第i次撥號(hào)能接通注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼.H AA1A2KA2 A3三種情況互斥P(H) P(A) P(H)P(A2|Ai) P(A)P(A2 |Ai)P(A3|AA)19198 1310 10 9 10

22、 9 8 1022.若 P(A) 0,P(B)0,且 P(A|B) P(A),證明 P(B|A) P(B).證 因?yàn)?P(A|B) P(A),則 P(AB) P(A) P(AB) P(A)P(B)P(B)所以P(B|A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)P(B)23.證明事件 A與B互不相容，且0<P(B)<1,則P(A|B)P (A)1 P (B)P (A | B)P(AB) P(A)P(B) 1 P(B)24.設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1、0.2、0.3,從這10箱中任取一箱，再從這箱中

23、任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率解 設(shè)人=取得的產(chǎn)品為正品 , Bi 1,2, 3分別為甲、乙、丙三廠的產(chǎn)品P(BJ = 0.5 , P(B2)=0.3, P(B3)=0.2 , P(A|BJ 0.9,P(A|B2)0.8,P(A|B3) 0.73所以 P (A)P B P A Bi0.83.i 125 .某一工廠有A, B,C三個(gè)車間生產(chǎn)同一型號(hào)螺釘，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占該廠螺釘總產(chǎn)量的25 %、35 %、40 %,每個(gè)車間成品中的次品分別為各車間產(chǎn)量的5 %、4 %、2 %,如果從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品螺釘為次品，問它是 A,B,C車間生產(chǎn)的概率.解 A、B、C分別表示A、B、C三車間生產(chǎn)

24、的螺釘，D = "表示次品螺釘”P (A) 25% P (B) 35% P (C) 45%P(D|A) 5% P(D|B) 4% P (D|C) 2% P A P D A PAD P D=.PAPDA=25 525P A P D A P B P D B P C P DC 25 5 35 4 40 269同理P (B|D) =-28- ; P (C|D) =16- 696926 .已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有 0.25 %的色盲患者，今從男女人數(shù)中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少?解 B = 從人群中任取一人是男性, A = 色盲患者因?yàn)?P (B)

25、P B 0.5 P(A|B) 5%, P(A|B) 0.25%P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A| B) 0.5 0.05 0.5 0.0025 0.02625所以 p(b|A) P(B)P(A|B) 0.5 0.05 至P(A) 0.026252127 .設(shè) A,B是任意二事件，其中A的概率不等于0和1,證明，P(B|A) P(B| A)是事件A 與B獨(dú)立的充分必要條件.證 因?yàn)锳的概率不等于0和1,所以A的概率不等于0和1,P(B| A) P(B|A)P(AB) P(AB)P(A) P(A)1 P(A)P(AB) P(A)P(B) P(AB) P(AB) P(A)P(B),即

26、A和 B 獨(dú)立.28 .設(shè)六個(gè)相同的元件，如下圖所示那樣 安置在系統(tǒng)中，設(shè)每個(gè)元件正常工作的概率 為p,求這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率。假定各個(gè) 能否正常工作是相互獨(dú)立的.解：設(shè)Ai第i條線路正常工作,i 1,2,3, A 代表這個(gè)系統(tǒng)正常工作,P4,將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。A 代表這個(gè)系統(tǒng)正常工作,由條件知，P(A) p2, P(Ai) 1 p2,23P(A) 1 P(A) 1 P(AiA2 A3) 1 (1 p2)3.二十六(1)設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2, 3, 4。它們的可靠性分別為 Pi, P2, P3,記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1, 2, 3, 4,A表不系統(tǒng)正常。A=A iA2A3+ A1A4兩種情況不互斥P (A)= P (AiA2A3)+P (A1A4) P (A1A2A3 A4)(加法公式)=P (Ai) P (A2)P (A3)+ P (Ai) P (A4) P (Ai) P (A2)P (A3)P (A4)=P1P2P3