243正多邊形和圓

1、正三正三角形角形正方形正方形問題問題1，什么樣的圖形是正多邊形？，什么樣的圖形是正多邊形？各邊相等各邊相等, ,各角也相等各角也相等的多邊形是的多邊形是正多邊形正多邊形. .練習(xí)練習(xí):1. 矩形是正多邊形嗎矩形是正多邊形嗎?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢?為什么為什么?矩形不是正多邊形，因為四條邊不都相等矩形不是正多邊形，因為四條邊不都相等;菱形不是正多邊形，因為菱形的四個角不都相等菱形不是正多邊形，因為菱形的四個角不都相等;正方形是正多邊形因為四條邊都相等，四個角都相等正方形是正多邊形因為四條邊都相等，四個角都相等.3.正多邊形都是軸對稱圖形，一個正正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有邊

2、形共有n 條對稱軸，每條對稱軸都通過條對稱軸，每條對稱軸都通過n邊形的中心。邊形的中心。正多邊形的性質(zhì)及對稱性正多邊形的性質(zhì)及對稱性4. 邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形， 它的中心就是對稱中心。它的中心就是對稱中心。1、正多邊形的各邊相等、正多邊形的各邊相等2、正多邊形的各角相等、正多邊形的各角相等正正n邊形與圓的關(guān)系邊形與圓的關(guān)系1.把正把正n邊形的邊數(shù)無限增多邊形的邊數(shù)無限增多,就接近于圓就接近于圓.2.怎樣由圓得到多邊形呢？怎樣由圓得到多邊形呢？ABCD思考思考1: 把一個圓把一個圓4等分等分, 并依次連并依次連 接這些點接這些點,得到正多邊形

3、嗎得到正多邊形嗎?思考思考2: 把一個圓把一個圓5等分等分, 并依次連接這些點并依次連接這些點, 得到正多邊形嗎得到正多邊形嗎?ABCDE定義：定義：把圓分成把圓分成n n（n3n3）等份：）等份： 依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓 的的內(nèi)接正多邊形內(nèi)接正多邊形. .EFCD中心角中心角邊心距邊心距r rAB新課講解新課講解中心中心EDCBAO半徑半徑中心角中心角邊心距邊心距正多邊形中的有關(guān)概念：正多邊形中的有關(guān)概念：F既是外接圓的圓心，也是內(nèi)切圓的圓心既是外接圓的圓心，也是內(nèi)切圓的圓心ABCODABCODABCEFODABCEO每個每個正多邊形正多邊形的半

4、徑，分別將它們分割成什么的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規(guī)律？樣的三角形？它們有什么規(guī)律？ 正正n n邊形的邊形的n n條半徑分正條半徑分正n n邊形為邊形為n n個全等的等個全等的等腰三角形腰三角形 正多邊形與三角形正多邊形與三角形DFABCEOGHDABCEFOMNPQGHDFHABCEOGMNDFABCEO作每個正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？作每個正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？ 邊心距又把這邊心距又把這n n個等腰三角形分成了個等腰三角形分成了2n2n個直角個直角三角形，這些直角三角形也是全等的三角形，這些直角三角形也是全等的EFCD.360n中心角180AOGBO

5、Gn邊心距把邊心距把AOBAOB分成分成2 2個個全等的直角三角形全等的直角三角形設(shè)正多邊形的邊長為設(shè)正多邊形的邊長為a,a,半徑為半徑為R R, ,它的周長為它的周長為L=naL=na. .R Ra a2211222rSLrnaraR，（ ）邊心距（ ）邊心距面積邊心距（ ）新課講解新課講解EDCBAOF360n nn 180)2(中心角與內(nèi)角互補中心角與內(nèi)角互補搶答題：搶答題：1.o1.o是正是正與與 的圓心。的圓心。ABCABC的中心，它是的中心，它是ABCABC的的2 2、OBOB叫正叫正ABCABC的的它是正它是正ABCABC的的 的半徑。的半徑。 3 3、ODOD叫作正叫作正ABC

6、ABC的的它是正它是正ABCABC的的 的半徑。的半徑。ABC.OD半徑半徑外接外接圓圓邊心距邊心距內(nèi)切圓內(nèi)切圓外接外接圓圓內(nèi)切內(nèi)切圓圓4、正方形、正方形ABCD的外接圓圓心的外接圓圓心O叫做叫做正方形正方形ABCD的的5、正方形、正方形ABCD的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的ABCD.OE中心中心邊心距邊心距6、 O是正五邊形是正五邊形ABCDE的外接圓，弦的外接圓，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五邊形叫正五邊形ABCDE的的 ，它是正五邊形它是正五邊形ABCDE的圓的半徑。的圓的半徑。7、 AOB叫做正五邊形叫做正五邊形ABCDE的角，的角，它的度數(shù)是它的度

7、數(shù)是DEABC.OF邊心距邊心距內(nèi)切內(nèi)切中心中心72度度8 8、圖中正六邊形、圖中正六邊形ABCDEFABCDEF的中心角是（的中心角是（ ）它的度數(shù)是（它的度數(shù)是（ ）9 9、你發(fā)現(xiàn)正六邊形、你發(fā)現(xiàn)正六邊形ABCDEFABCDEF的半徑與邊長具有的半徑與邊長具有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？什么數(shù)量關(guān)系？為什么？BAEFCD.OAOB60度度解答：正六邊形的半徑與邊解答：正六邊形的半徑與邊長數(shù)量關(guān)系是相等長數(shù)量關(guān)系是相等因為：正六邊形的中心角因為：正六邊形的中心角是是6060度和半徑組成的三角度和半徑組成的三角形是等邊三角形，所以邊形是等邊三角形，所以邊長與半徑相等。長與半徑相等。例例1、 有一個亭

8、子它的地基是半徑為有一個亭子它的地基是半徑為4m的正六邊的正六邊形，形， 求地基的周長和面積求地基的周長和面積FADE.B BC CrR RP P)(6 .4132242121322242422224mLrSrBCPCOCOPCRt亭子的面積心距根據(jù)勾股定理，可得邊，中，在.606360半徑六邊形的邊長等于它的是等邊三角形，從而正，它的中心角等于是正六邊形，所以由于OBCABCDEF亭子的周長亭子的周長 L=6L=64=24(m)4=24(m)FADE.B BC CrR=4R=4P P例例2、如圖：已知正六邊形、如圖：已知正六邊形ABCDEF的邊長為的邊長為6cm，（1）求正六邊形）求正六邊形

9、ABCDEF的外接圓的半徑。的外接圓的半徑。（2）求正六邊形）求正六邊形ABCDEF的邊心距。的邊心距。作半徑作半徑OA、OB；OA=OBOA=OB，AOB=60 OABOAB是正三角形，是正三角形，R=AB=6cm， r r6 6DFABCEOHR解：解：（1）HHOB= 60= 30 21答：正六邊形的外接圓半徑是答：正六邊形的外接圓半徑是6cm，邊心距是，邊心距是 cm。33（2）作）作OGAB于于H，得，得RtOHB練習(xí)：已知正六邊形練習(xí)：已知正六邊形ABCDEF的的邊心距為的的邊心距為 r =6cm，求正六邊形，求正六邊形ABCDEF的外接圓的的外接圓的半徑半徑R。r rDFABCE

10、OHR例例3：如圖，正三角形：如圖，正三角形ABC的邊心距的邊心距r3=2,求：求：R, a3 .ABCODS3例例4: 已知正六邊形已知正六邊形ABCDEF的半徑的半徑為為R,求這個正六邊形的邊長求這個正六邊形的邊長a6、周、周長長l6、面積、面積S6 .ABCDEFOG當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1.課本課本P107第第1題題32 3正多邊形正多邊形邊數(shù)邊數(shù)內(nèi)內(nèi)角角中心中心角角半半徑徑邊邊長長邊心邊心距距周周長長面面積積36041612120 3 36 390 90 2284120 60 2212 6 3例例5:如圖如圖,M,N分別是分別是 O內(nèi)接正多邊形內(nèi)接正多邊形AB,BC上上的點的點,且且BM=

11、CN.(1)求圖求圖中中MON的度數(shù)的度數(shù);(2)圖圖中中MON= ; 圖圖中中MON= ;(3)試探究試探究MON的度數(shù)與正的度數(shù)與正n邊形的邊數(shù)邊形的邊數(shù)n的關(guān)的關(guān)系系.；四邊形；四邊形MONB的面積與正的面積與正n邊形面積之間的邊形面積之間的關(guān)系關(guān)系A(chǔ)BCDEABCD.ABCMNMNMNOOOn1、兩個正六邊形的邊長分別是、兩個正六邊形的邊長分別是3和和4，這兩個正，這兩個正六邊形的面積之比等于六邊形的面積之比等于_n2圓內(nèi)接正方形的半徑與邊長的比值是圓內(nèi)接正方形的半徑與邊長的比值是_n3圓內(nèi)接正四邊形的邊長為圓內(nèi)接正四邊形的邊長為4 cm，那么邊心，那么邊心距是距是_n4已知圓內(nèi)接正方

12、形的邊長為已知圓內(nèi)接正方形的邊長為4，則該圓的內(nèi)，則該圓的內(nèi)接正六邊形邊長為接正六邊形邊長為_n5 圓內(nèi)接正六邊形的邊長是圓內(nèi)接正六邊形的邊長是8 cm用么該正六用么該正六邊形的半徑為邊形的半徑為_；邊心距；邊心距_ 練習(xí)；練習(xí)；n6以下有四種說法：以下有四種說法：順次連結(jié)對角線相等的四順次連結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點，則所得的四邊形是菱形；邊形各邊中點，則所得的四邊形是菱形；等邊三等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；頂點頂點在圓周上的角是圓周角；在圓周上的角是圓周角；邊數(shù)相同的正多邊形都邊數(shù)相同的正多邊形都相似，其中正確的有（）相似，其中正確的

13、有（）n A1個個 B2個個 C3個個 D 4個個n7正多邊形的中心角與該正多邊形一個內(nèi)角的關(guān)正多邊形的中心角與該正多邊形一個內(nèi)角的關(guān)系是（）系是（） A.互余互余 B.互補互補 C.互余或互補互余或互補 D.不能確定不能確定 9若一個正多邊形的每一個外角都等于若一個正多邊形的每一個外角都等于36,那么這個正多邊形的中心角為（那么這個正多邊形的中心角為（ ） A36 B、 18 C72 D54 10將一個邊長為將一個邊長為a正方形硬紙片剪去四正方形硬紙片剪去四角，使它成為正角，使它成為正n邊形，那么正邊形，那么正n邊形的面邊形的面積為（積為（ ） 11正六邊形螺帽的邊長為正六邊形螺帽的邊長為a

14、，那么扳手，那么扳手的開口的開口b最小應(yīng)是最小應(yīng)是( )A、 33D. a23C. a21B a3、222272.(3 2 3) B a Ca D(2 2-2)a92Aa. 鞏固提高：鞏固提高： 1、如圖，在、如圖，在 O中，中，OA=AB，OCAB，則，則下列結(jié)論錯誤的是（下列結(jié)論錯誤的是（ ）D 2、周長相等的正方形和正六邊形的面積分、周長相等的正方形和正六邊形的面積分別為別為S4和和S6，則，則S4和和S6的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_ 3、已知圓的半徑為、已知圓的半徑為6，則它的內(nèi)接三角形、，則它的內(nèi)接三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為正方形、正六邊形的邊長分別為_ 4、若同一個圓的內(nèi)接

15、三角形、正方形、正、若同一個圓的內(nèi)接三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為六邊形的邊心距分別為r3,r4,r6,則則r3:r4:r6=_ 5、邊長為、邊長為a的正三角形的高的正三角形的高h(yuǎn)=_,外接外接圓半徑圓半徑R=_,內(nèi)切圓半徑內(nèi)切圓半徑r=_S4S6 6、如圖，正六邊形、如圖，正六邊形ABCDEF中，陰影部中，陰影部分的面積為分的面積為 ，則此正六邊形的，則此正六邊形的邊長為邊長為_ 例例7、如圖，已知、如圖，已知 O的內(nèi)接等腰的內(nèi)接等腰ABC，AB=AC，弦，弦BD、CE分別平分分別平分ABC、ACB，BE=BC，求證：五邊形，求證：五邊形AEBCD是正五邊形是正五邊形 例例8、如圖，

16、有一個圓、如圖，有一個圓O和兩個正六邊形和兩個正六邊形T1、T2， T1的的6個頂點都在圓周上，個頂點都在圓周上，T2的的6條邊都和圓條邊都和圓O相切（我們稱相切（我們稱T1，T2分分別為圓別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形）設(shè)形）設(shè)T1，T2的邊長分別為的邊長分別為a，b，圓，圓O的半徑為的半徑為r，求，求r：a及及r：b的值的值怎樣畫一個正多邊形呢？怎樣畫一個正多邊形呢？ 問題問題1 1：已知：已知OO的半徑為的半徑為2cm2cm，求作圓的，求作圓的內(nèi)接正三角形內(nèi)接正三角形. .120 用量角器度量，使用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120 用量角器或用

17、量角器或30角角的三角板度量，使的三角板度量，使BAO=oAc=30 AOCB你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、正六邊形嗎？形、正六邊形嗎？ABCDOABCDEOOABCDEF907260你能尺規(guī)作出正六邊形、正三角形、正你能尺規(guī)作出正六邊形、正三角形、正十二邊形嗎？十二邊形嗎？OABCEFD 以半徑長在圓周以半徑長在圓周上截取六段相等的弧，上截取六段相等的弧，依次連結(jié)各等分點，依次連結(jié)各等分點，則作出正六邊形則作出正六邊形. . 先作出正六邊先作出正六邊形，則可作正三角形，形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十正十二邊形，正二十四邊形四邊形 定理：定理： 把圓分成把圓分成n（n3）等份：）等份：依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形；內(nèi)接正多邊形；經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交經(jīng)過各分點