矩形的判定教案

1、矩形的判定教案202矩形的判定預(yù)習(xí)導(dǎo)航學(xué)案激活思維1請(qǐng)你畫一個(gè)矩形，并畫出它們的對(duì)角線觀察圖形，你能說出它有哪些性質(zhì)嗎?試一試2叫做矩形3矩形的對(duì)邊；四個(gè)角都是；對(duì)角線。4的平行四邊形是矩形對(duì)角線的平行四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是形信息鼠標(biāo)1（略）2有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形3相等直角相等4有一個(gè)角是直角相等矩互動(dòng)研學(xué)教練教材研學(xué)一。、矩形的性質(zhì)回顧1矩形的性質(zhì)（1）矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）矩形對(duì)角線相等；（3）矩形的四個(gè)角都是直角；（4）矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有兩條，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)2矩形性質(zhì)的圖形說明如圖2

2、021,在矩形ABCD中,從邊上看：AB/CD,AB=CDAD/BQAD=BC從對(duì)角線上看：AC=BD且OA=OB=OC=OD從角上看：/ABC=ZBCD=ZCDA=/DAB-90°.老師：根據(jù)上面矩形的性質(zhì)分析可得直角三角形的一個(gè)什么性質(zhì)?小弘：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.如：在RtABC中，0是斜邊AC的中點(diǎn)，貝UAC=20B二、矩形的判定如圖20-2-21.利用定義判別平行四邊形矩形2.利用對(duì)角線判別對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；對(duì)角線平分且相等的四邊形是矩形.即：在平行四邊形ABCD中，若AC=BD則平行四邊形ABCD是矩形；在四邊形ABCD中，若AC=BD且

3、0A=OCOB=OD則四邊形ABCD是矩形3利用角判別四個(gè)角是直角的四邊形是矩形即：在四邊形ABCD中,若/A=ZB=ZC=ZD=90°,則四邊形ABCD是矩形.實(shí)際證明中，只要證明出三個(gè)角為直角即可三、矩形的應(yīng)用（1）用以證明線段相等或平分或倍數(shù)關(guān)系；（2）直角三角形兩銳角互余；（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（4）直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（5）證明兩條直線垂直四、探究活動(dòng)如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖20一23，矩形

4、ABEF即ABC的“友好矩形”，顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè)問題：仿著上述敘述，畫出直角三角形的“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小分析：考察直角三角形的每一條邊與矩形重合的情形，當(dāng)以兩條直角邊為邊作矩形時(shí)，這兩個(gè)矩形重合，即為一個(gè)，所以直角三角形的“友好矩形”有兩個(gè)探究：如圖20一23，若ABC為直角三角形，且/C=90,在圖2023中畫出厶ABC的所有“友好矩形”，此時(shí)共有2個(gè)矩形，如圖2024中的BCADABEF易知，矩形BCADABEF的面積等于ABC面積的2倍，ABC的“友好矩形”的面積相等.結(jié)論：直角三角形有兩個(gè)“友好矩形”，且這兩個(gè)矩形的面積相等點(diǎn)石成金

5、例1如圖2025所示，在矩形ABCD中，對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O,AE丄BD于己，貝（1）圖中與/BAE相等的角有;（2）若/AOB=60,則AB:BD=。圖中DOC是三角形（按邊分）解析：這是一道直接考查矩形特征的例題，在解答時(shí)，我們應(yīng)充分考慮矩形的特征及與之相關(guān)的知識(shí)，例如在尋找與/BAE相等的角時(shí)，看清/BAE的形成，即為過A作AE1BD所形成，則/BAEVEAD=90,而/ADBVEAD=90，故/BAEVADB又因?yàn)閂ADBVDBC=VDAC由此找與/BAE相等的角就不難了；至于在第（2）問求AB:BD的方法，可根據(jù)題目的特殊條件及圖形的特殊性找到結(jié)論答案（1）VADB，VDBC，/

6、ACB/DAC（2）1:2等邊名師點(diǎn)金：找角時(shí)一定要找全，不能漏掉例2如圖2026所示，在矩形ABCD中，對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)0,已知AC=6om/BOC=120.求：（1）/ACB的度數(shù)；（2）求ABBC的長度.分析：本題是對(duì)矩形性質(zhì)的考查（1）要求/ACB的度數(shù)，而已知/BOC=120°,BOC中，由矩形的性質(zhì)，知0吐0C從而/OBChACB由此可求出/ACB（2）在RtACB中，對(duì)角線AC=6cm,第（1）問已求出/ACB=30，因此AB即可求出.然后利用勾股定理求出BC的長.解：（1）在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相平分且相等，于是OB=OC所以/OBC=ZACB故/

7、ACB=（180°120°）=30°.（2）矩形ABCD中，/ABC=90，又/ACB=30，因此30°角所對(duì)直角邊AB等于斜邊AC的一半，即AB=AC=3cm,BC=（cm）名師點(diǎn)金：矩形問題通常通過對(duì)角線將其轉(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形來解決.例3.已知ABCD的對(duì)角線ACBD相交于O,AABO是等邊三角形，AB=4cm,求這個(gè)平行四邊形的面積（圖20一271）分析：（1）先判定ABCD為矩形。（2）求出RtABC的直角邊BC的長。（3）計(jì)算S=AB-BC解：四邊形ABCD是平行四邊形。AB3ADCO又ABO是等邊三角形/DCO也是等邊三角形，即AO

8、=BO=CO=DOAC=BD/.ABCD為矩形。在RtABC中，/BAC=60°,/ABC=90°/.BC=AB,即卩BC=4cmSABCD=AB-AC=16cm2名師點(diǎn)金：本題首先判定平行四邊形是矩形，再利用矩形的面積公式來計(jì)算例4(1)利用左欄的探究結(jié)論說明什么是三角形的“友好平行四邊形”.(2)若厶ABC為銳角三角形，且BCACAB在圖20一28中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明.分析：用類比聯(lián)想的方法先構(gòu)造出每一種情況下三角形的“友好矩形”，根據(jù)矩形的邊和面積與其三角形的邊和面積之間的關(guān)系，尋找其周長與面積解：(1)如果一個(gè)三角形和一個(gè)

9、平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”(2)此時(shí)共有3個(gè)“友好矩形”，如圖2029中矩形BCDECAFG及ABHK其中矩形ABHK的周長最小證明如下：易知，這三個(gè)矩形的面積相等，令其為s.設(shè)矩形BCDECAFG及ABHK的周長分別為L1、L2、L3,AABC的邊長BC=a,CA=b,AB=c,貝yL1=+2aL2=+2b,L3=+2c。/.=2(ab)而a>b,.L1-L2>0,即卩L1>L2。同理可得L2>L3L3的周長最小，即矩形ABHK勺周長最小。名師點(diǎn)

10、金：在閱讀理解的基礎(chǔ)上，先畫出圖形，確定好每一種情形，利于進(jìn)一步求解。同步升級(jí)演練基礎(chǔ)鞏固題1下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形B.兩條對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相平分且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形2.如圖20210,在矩形ABCD中,E是BC上的點(diǎn)，且/AED=90，/BAE=30,AE=4,則矩形ABCD的周長為（）A8+2B16+4C8+4D16+23.下列條件：已知矩形的邊和一條對(duì)角線長；已知矩形一條對(duì)角線長和對(duì)角線的夾角；已知矩形一邊的長和對(duì)角線的夾角；已知矩形的周長.能確定矩形的形狀和大小的條件是（）A.B.c.D

11、.4.矩形的兩條對(duì)角線所夾的鈍角為120°,短邊長為5cm,則其對(duì)角線長為.5.如圖20211,在矩形ABCD中，作AE!BD于E,且/DAE/BAE=31,求/CAE的度數(shù).探究提高題6.把矩形ABCD繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AEFG（如圖19212），連接AF、ACCF,貝U/AFC=。7.現(xiàn)有一張長為40cm，寬為20cm的長方形紙片，要從中剪出長為18cm,寬為12cm的長方形紙片，則最多能剪拼張8如圖20213,工人師傅做鋁合金窗框分下面j個(gè)步驟進(jìn)行：（1）先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗（如圖）使AB=CDEF=GH擺放成（如圖）的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是,根

12、據(jù)的數(shù)學(xué)道理是；（3）將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角（如圖）調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(shí)（如圖），說明窗框合格這時(shí)窗框是，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是：9已知：如圖20214，正方形ABCD的邊長8，M在DC上，且DM=2N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，貝UDN+MN勺最小值為.10.如圖20215a，正方形ABCD和正方形BEFC操作：M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，從A點(diǎn)至B點(diǎn)移動(dòng)，DMLMN交對(duì)角線BF于點(diǎn)M求：線段DM和MN之間的關(guān)系，并加以證明；（2）如圖b,當(dāng)M是線段AE延長線上一動(dòng)點(diǎn)，DM丄MN交對(duì)角線BF延長線于點(diǎn)N,探究線段DM和MN之間的關(guān)系，直接寫出結(jié)果不必證明拓展延伸題11如圖20一216，一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上.求證：AB丄ED（2）若PB=BC,請(qǐng)找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并給予證明.中考模擬題12.（2006