矩形的判定教案

1、矩形的判定教案202矩形的判定預(yù)習(xí)導(dǎo)航學(xué)案激活思維1請你畫一個矩形，并畫出它們的對角線觀察圖形，你能說出它有哪些性質(zhì)嗎?試一試2叫做矩形3矩形的對邊；四個角都是；對角線。4的平行四邊形是矩形對角線的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是形信息鼠標(biāo)1（略）2有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形3相等直角相等4有一個角是直角相等矩互動研學(xué)教練教材研學(xué)一。、矩形的性質(zhì)回顧1矩形的性質(zhì)（1）矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）矩形對角線相等；（3）矩形的四個角都是直角；（4）矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形對稱軸有兩條，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩對角線的交點2矩形性質(zhì)的圖形說明如圖2

2、021,在矩形ABCD中,從邊上看：AB/CD,AB=CDAD/BQAD=BC從對角線上看：AC=BD且OA=OB=OC=OD從角上看：/ABC=ZBCD=ZCDA=/DAB-90°.老師：根據(jù)上面矩形的性質(zhì)分析可得直角三角形的一個什么性質(zhì)?小弘：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.如：在RtABC中，0是斜邊AC的中點，貝UAC=20B二、矩形的判定如圖20-2-21.利用定義判別平行四邊形矩形2.利用對角線判別對角線相等的平行四邊形是矩形；對角線平分且相等的四邊形是矩形.即：在平行四邊形ABCD中，若AC=BD則平行四邊形ABCD是矩形；在四邊形ABCD中，若AC=BD且

3、0A=OCOB=OD則四邊形ABCD是矩形3利用角判別四個角是直角的四邊形是矩形即：在四邊形ABCD中,若/A=ZB=ZC=ZD=90°,則四邊形ABCD是矩形.實際證明中，只要證明出三個角為直角即可三、矩形的應(yīng)用（1）用以證明線段相等或平分或倍數(shù)關(guān)系；（2）直角三角形兩銳角互余；（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（4）直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；（5）證明兩條直線垂直四、探究活動如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖20一23，矩形

4、ABEF即ABC的“友好矩形”，顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個問題：仿著上述敘述，畫出直角三角形的“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小分析：考察直角三角形的每一條邊與矩形重合的情形，當(dāng)以兩條直角邊為邊作矩形時，這兩個矩形重合，即為一個，所以直角三角形的“友好矩形”有兩個探究：如圖20一23，若ABC為直角三角形，且/C=90,在圖2023中畫出厶ABC的所有“友好矩形”，此時共有2個矩形，如圖2024中的BCADABEF易知，矩形BCADABEF的面積等于ABC面積的2倍，ABC的“友好矩形”的面積相等.結(jié)論：直角三角形有兩個“友好矩形”，且這兩個矩形的面積相等點石成金

5、例1如圖2025所示，在矩形ABCD中，對角線ACBD相交于點O,AE丄BD于己，貝（1）圖中與/BAE相等的角有;（2）若/AOB=60,則AB:BD=。圖中DOC是三角形（按邊分）解析：這是一道直接考查矩形特征的例題，在解答時，我們應(yīng)充分考慮矩形的特征及與之相關(guān)的知識，例如在尋找與/BAE相等的角時，看清/BAE的形成，即為過A作AE1BD所形成，則/BAEVEAD=90,而/ADBVEAD=90，故/BAEVADB又因為VADBVDBC=VDAC由此找與/BAE相等的角就不難了；至于在第（2）問求AB:BD的方法，可根據(jù)題目的特殊條件及圖形的特殊性找到結(jié)論答案（1）VADB，VDBC，/

6、ACB/DAC（2）1:2等邊名師點金：找角時一定要找全，不能漏掉例2如圖2026所示，在矩形ABCD中，對角線ACBD相交于點0,已知AC=6om/BOC=120.求：（1）/ACB的度數(shù)；（2）求ABBC的長度.分析：本題是對矩形性質(zhì)的考查（1）要求/ACB的度數(shù)，而已知/BOC=120°,BOC中，由矩形的性質(zhì)，知0吐0C從而/OBChACB由此可求出/ACB（2）在RtACB中，對角線AC=6cm,第（1）問已求出/ACB=30，因此AB即可求出.然后利用勾股定理求出BC的長.解：（1）在矩形ABCD中，對角線AC與BD互相平分且相等，于是OB=OC所以/OBC=ZACB故/

7、ACB=（180°120°）=30°.（2）矩形ABCD中，/ABC=90，又/ACB=30，因此30°角所對直角邊AB等于斜邊AC的一半，即AB=AC=3cm,BC=（cm）名師點金：矩形問題通常通過對角線將其轉(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形來解決.例3.已知ABCD的對角線ACBD相交于O,AABO是等邊三角形，AB=4cm,求這個平行四邊形的面積（圖20一271）分析：（1）先判定ABCD為矩形。（2）求出RtABC的直角邊BC的長。（3）計算S=AB-BC解：四邊形ABCD是平行四邊形。AB3ADCO又ABO是等邊三角形/DCO也是等邊三角形，即AO

8、=BO=CO=DOAC=BD/.ABCD為矩形。在RtABC中，/BAC=60°,/ABC=90°/.BC=AB,即卩BC=4cmSABCD=AB-AC=16cm2名師點金：本題首先判定平行四邊形是矩形，再利用矩形的面積公式來計算例4(1)利用左欄的探究結(jié)論說明什么是三角形的“友好平行四邊形”.(2)若厶ABC為銳角三角形，且BCACAB在圖20一28中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明.分析：用類比聯(lián)想的方法先構(gòu)造出每一種情況下三角形的“友好矩形”，根據(jù)矩形的邊和面積與其三角形的邊和面積之間的關(guān)系，尋找其周長與面積解：(1)如果一個三角形和一個

9、平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”(2)此時共有3個“友好矩形”，如圖2029中矩形BCDECAFG及ABHK其中矩形ABHK的周長最小證明如下：易知，這三個矩形的面積相等，令其為s.設(shè)矩形BCDECAFG及ABHK的周長分別為L1、L2、L3,AABC的邊長BC=a,CA=b,AB=c,貝yL1=+2aL2=+2b,L3=+2c。/.=2(ab)而a>b,.L1-L2>0,即卩L1>L2。同理可得L2>L3L3的周長最小，即矩形ABHK勺周長最小。名師點

10、金：在閱讀理解的基礎(chǔ)上，先畫出圖形，確定好每一種情形，利于進(jìn)一步求解。同步升級演練基礎(chǔ)鞏固題1下列命題中錯誤的是（）A.有三個角是直角的四邊形是矩形B.兩條對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C.對角線互相平分且有一個角是直角的四邊形是矩形D.對角線相等的四邊形是矩形2.如圖20210,在矩形ABCD中,E是BC上的點，且/AED=90，/BAE=30,AE=4,則矩形ABCD的周長為（）A8+2B16+4C8+4D16+23.下列條件：已知矩形的邊和一條對角線長；已知矩形一條對角線長和對角線的夾角；已知矩形一邊的長和對角線的夾角；已知矩形的周長.能確定矩形的形狀和大小的條件是（）A.B.c.D

11、.4.矩形的兩條對角線所夾的鈍角為120°,短邊長為5cm,則其對角線長為.5.如圖20211,在矩形ABCD中，作AE!BD于E,且/DAE/BAE=31,求/CAE的度數(shù).探究提高題6.把矩形ABCD繞頂點A旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AEFG（如圖19212），連接AF、ACCF,貝U/AFC=。7.現(xiàn)有一張長為40cm，寬為20cm的長方形紙片，要從中剪出長為18cm,寬為12cm的長方形紙片，則最多能剪拼張8如圖20213,工人師傅做鋁合金窗框分下面j個步驟進(jìn)行：（1）先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗（如圖）使AB=CDEF=GH擺放成（如圖）的四邊形，則這時窗框的形狀是,根

12、據(jù)的數(shù)學(xué)道理是；（3）將直角尺靠緊窗框的一個角（如圖）調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時（如圖），說明窗框合格這時窗框是，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是：9已知：如圖20214，正方形ABCD的邊長8，M在DC上，且DM=2N是AC上的一動點，貝UDN+MN勺最小值為.10.如圖20215a，正方形ABCD和正方形BEFC操作：M是線段AB上一動點，從A點至B點移動，DMLMN交對角線BF于點M求：線段DM和MN之間的關(guān)系，并加以證明；（2）如圖b,當(dāng)M是線段AE延長線上一動點，DM丄MN交對角線BF延長線于點N,探究線段DM和MN之間的關(guān)系，直接寫出結(jié)果不必證明拓展延伸題11如圖20一216，一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上.求證：AB丄ED（2）若PB=BC,請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明.中考模擬題12.（2006