第7章第2節(jié)空間圖形的基本關系與公理

1、20092013年高考真題備選題庫第7章立體幾何第2節(jié)空間圖形的基本關系與公理考點平行關系與垂直關系的綜合問題1 .（2013廣東，5分）設I為直線，a,B是兩個不同的平面.下列命題中正確的是（）A.若I/a,I/貝Uall3B.若I丄a,I丄3,貝Vall3C.若I丄a,I/3,貝Uall3D.若a丄3,Ila,VI丄3解析：本題主要考查線面關系知識，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力.畫出一個長方體ABCD-AiBiCiDi對于A,C1D1/平面ABBiAi,CiDi/平面ABCD，但平面ABBiAi與平面ABCD相交；對于C,BBi丄平面ABCD,BBi

2、/平面ADD1A1,但平面ABCD與平面ADD1A1相交；對于D，平面ABBiAi丄平面ABCD,CD/平面ABBiAi,但CD?平面ABCD.答案：B2. （2013浙江，5分）設m,n是兩條不同的直線，a,3是兩個不同的平面（）A.若m/a,n/a,貝Um/nB.若m/a,m/3,貝Uall3C.若m/n,m丄a,貝Un丄aD.若m/a,a丄3貝Um丄3解析：本題主要考查空間直線與平面平行和垂直的判定定理和性質定理等基礎知識，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力，以及利用相關定理解決問題的能力.逐一判斷可知，選項A中的m,n可以相交，也可以異面；選項B中的a與3可以相交；選項D中的m與

3、3的位置關系可以平行、相交、m在3內.答案：C3. （2013江蘇，14分）如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB丄平面SBC,AB丄BC,AS=AB.過A作AF丄SB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.求證：（1）平面EFG/平面ABC；（2）BC丄SA.證明：本題考查直線與直線,直線與平面，平面與平面的位置關系，意在考查學生的空間想象能力和推理論證能力.因為AS=AB,AF丄SB,垂足為F,所以F是SB的中點.又因為E是SA的中點，所以EF/AB.因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF/平面ABC.同理EG/平面ABC.又EFAEG=E,所以平面EFG/平面ABC.(2

4、)因為平面SAB丄平面SBC,且交線為SB,又AF?平面SAB,AF丄SB,所以AF丄平面SBC.因為BC?平面SBC,所以AF丄BC.又因為AB丄BC,AFAAB=A,AF,AB?平面SAB,所以BC丄平面SAB.因為SA?平面SAB,所以BC丄SA4. (2013山東，12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，AB丄AC,AB丄PA,AB/CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點.(1) 求證：CE/平面PAD;(2) 求證：平面EFG丄平面EMN.證明：本題主要考查空間直線與平面、平面與平面間的位置關系，考查推理論證能力和空間想象能力.(1) 法一：取PA

5、的中點H，連接EH,DH.因為E為PB的中點，1所以EH/AB,EH=2AB.1又AB/CD,CD=2AB,所以EH/CD,EH=CD,因此四邊形DCEH是平行四邊形.所以CE/DH.又DH?平面PAD,CE?平面PAD,因此CE/平面PAD.法二：連接CF.因為F為AB的中點，1所以AF=2AB.1又CD=2AB,所以AF=CD.又AF/CD,所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF/AD.又CF?平面FAD,所以CF/平面FAD.因為E,F分別為FB,AB的中點，所以EF/FA.又EF?平面FAD,所以EF/平面FAD.因為CFAEF=F,故平面CEF/平面FAD.又CE?平面CEF,所以

6、CE/平面FAD.因為E,F分別為FB,AB的中點，所以EF/FA.又AB丄FA,所以AB丄EF.同理可證AB丄FG.又EFAFG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG,因此AB丄平面EFG.又M,N分別為PD,PC的中點,所以MN/CD.又AB/CD,所以MN/AB,因此MN丄平面EFG.又MN?平面EMN,所以平面EFG丄平面EMN.5.(2013廣東，14分)如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D,E分別是AB,AC上的點，AD=AE,F是BC的中點，AF與DE交于點6.將厶ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF,(1)證明:DE/平面ABF;其中bc=¥.(

7、2)證明:CF丄平面當AD2=3時，求三棱錐3F-DEG的體積Vf-deg.解：本題主要考查空間點、線、面的位置關系，同時考查空間想象能力與推理論證能力、運算求解能力，難度適中.題目考查知識層次清晰，體現(xiàn)了廣東數(shù)學學科重視對重要知識與重要能力的考查，特別注重對基礎知識和基本技能的考查.(1)證明：在等邊三角形ABC中，AB=AC.VAD=AE,ADAE”DB=ECde/Be,DG/BF,如圖2,DG?平面BCF,DG/平面BCF.同理可證GE/平面BCF.DGAGE=G,.平面GDE/平面BCF,.DE/平面BCF.證明：在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點,AF丄FC,11.BF=FC=2B

8、C=2.在圖2中，TBC=¥，.BC2=BF2+FC2,ZBFC=90°FC丄BF.BFAAF=F,.CF丄平面ABF.2 1TAD=3，ABD=3,AD:DB=2:1,在圖2中，AF丄FC,AF丄BF,.AF丄平面BCF,由(1)知平面GDE/平面BCF,.AF丄平面GDE.在等邊三角形ABC中，AF=23AB=23,1x/32211/，F(xiàn)G=AF=DG=BF=X=GE3 6，3323Szdge=DGEG=18,218Vf-deg=§S4dgeFG=.3324.l可能在3內也可=CD,AC=BD,6.(2012浙江，5分）設l是直線，a,3是兩個不同的平面（)A

9、.若l/a,l/3,則all3B.若l/a,l丄3,則a丄3C.若a丄3,l丄a,則l丄3D.若a丄3,l/a,則l丄3解析：對于選項A，兩平面可能平行也可能相交；對于選項C,直線能平行于3;對于選項D，直線I可能在B內或平行于B或與B相交.答案：B7.（2012安徽，5分）若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即ABAD=BC,則（寫出所有正確結論的編號）. 四面體ABCD每組對棱相互垂直 四面體ABCD每個面的面積相等 從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180° 連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分 從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的

10、三條棱的長可作為一個三角形的三邊長解析：錯誤，當AB=4,AC=3,AD=3時，AC與BD不垂直；正確，在ABC與ACDA中，AB=CD,AD=BC,AC=人。，故厶ABC180；正確，如圖所示，E、與ACDA全等；同理四面體的四個面都全等，故四面體ABCD每個面的面積相等；錯誤，根據(jù)四面體的四個面都全等可得從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角為一個三角形的三個內角，故其和為F、G、H是所在邊的中點時，則四邊形EFGH為菱形，故EG與FH互相垂直平分，同理可得連接四面體ABCD的每組對棱中點的線段相互垂直平分；正確，因為AD=BC,AB=CD,AC=BD,所以從四面體ABCD的頂點A出

11、發(fā)的三條棱的長可組成BCD,同理可得從四面體ABCD的每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長.答案：&(2009江蘇，5分)設a和B為不重合的兩個平面，給出下列命題：(1) 若a內的兩條相交直線分別平行于B內的兩條直線，則a平行于3；(2) 若a外一條直線I與a內的一條直線平行，則I和a平行；(3) 設a和3相交于直線I，若a內有一條直線垂直于I，貝Ua和3垂直；(4) 直線I與a垂直的充分必要條件是I與a內的兩條直線垂直.上面命題中，真命題.的序號(寫出所有真命題的序號).解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正確.由線面平行的判定定理可知，(2)正確.對來說，I只垂直于a

12、和3的交線I，得不到I是a的垂線，故也得不出a丄3對(4)來說，I只有和a內的兩條相交直線垂直，才能得到I丄a也就是說當I垂直于a內的兩條平行直線的話，I不垂直于a答案：(2)9.(2012江蘇，14分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D不同于點C)，且AD丄DE,F為B1C1的中點.求證：(i)平面ADE丄平面BCCiBi；直線AiF/平面ADE.解：因為ABCAiBiCi是直三棱柱，所以CCi丄平面ABC,又AD?平面ABC，所以CCi丄AD.又因為AD丄DE,CCi,DE?平面BCCiBi,CCiHDE=E,所以AD丄平面BC

13、CiBi.又AD?平面ADE,所以平面ADE丄平面BCCiBi.因為AiBi=AiCi,F為BiCi的中點，所以AiF_LBiCi.因為CCi丄平面AiBiCi，且AiF?平面AiBiCi,所以CCi丄AiF.又因為CCi,BiCi?平面BCCiBi,CCiHBiCi=Ci,所以AiF丄平面BCCiBi.由知AD丄平面BCCiBi，所以AiF/AD.又AD?平面ADE,AiF?平面ADE,所以AiF/平面ADE.iO.（20i2北京，i4分）如圖i，在RtABC中，/C=90°D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點.將厶ADE沿DE折起到AiDE的位置,AiF丄CD，如

14、圖2.A0S使求證：DE/平面AiCB;求證：AiF丄BE;線段AiB上是否存在點Q,使AiC丄平面DEQ?說明理由.解：證明：因為D,E分別為AC,AB的中點,所以DE/BC.又因為DE?平面AiCB,所以DE/平面AiCB.證明：由已知得AC丄BC且DEIIBC,所以DE丄AC.所以DE丄AiD,DE丄CD.所以DE丄平面AiDC.而AiF?平面AiDC，所以DE丄AiF.又因為AiF丄CD,所以AiF丄平面BCDE.所以AiF丄BE.線段AiB上存在點Q,使AiC丄平面DEQ.理由如下:如圖，分別取AiC,AiB的中點P,Q,則PQ/BC.又因為DE/BC，所以DE/PQ.所以平面DEQ

15、即為平面DEP.由知，DE丄平面AiDC，所以DE丄AiC.又因為P是等腰三角形DAiC底邊AiC的中點,所以AiC丄DP.所以AiC丄平面DEP.從而AiC丄平面DEQ.故線段AiB上存在點Q,使得AiC丄平面DEQ.ii. (20ii天津，i3分)如圖，在四棱錐為平行四邊形，/ADC=45°AD=AC=i,面ABCD,PO=2,M為PD的中點.(1) 證明PB/平面ACM;(2) 證明AD丄平面PAC;(3) 求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.解：證明：連接BD,M0,在平行四邊形ABCD中，因為0為AC的中點，所以0為BD的中點.又M為PD的中點，所以PB/MO.A因為P

16、B?平面ACM,MO?平面ACM，所以PB/平面ACM.證明：因為/ADC=45°且AD=AC=1,所以/DAC=90°即AD丄AC又P0丄平面ABCD,AD?平面ABCD，所以P0丄AD.而ACnP0=O,所以AD丄平面PAC.1(3) 取DO中點N,連接MN,AN.因為M為PD的中點，所以MN/PO,且MN=?PO=1.由PO丄平面ABCD，得MN丄平面ABCD，所以/MAN是直線AM與平面ABCD所成的角.在RtDAO中，AD=1,AO=舟，所以DO二甲.從而AN=DO=屮.在RtNM中，tan/MANMN_1_4.5AN=牙V，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值

17、為4,55ABEG,GH，由于H為BCEF12. (2010安徽，13分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF/AB,EF丄FB,/BFC=90°BF=FC,H為BC的中點.(1)求證：FH/平面EDB;(2)求證：AC丄平面EDB;求四面體B-DEF的體積.解：(1)證明：設AC與BD交于點G,貝UG為AC的中點.連接1的中點，故GH綊2AB.又EF綊1AB,AEF綊GH,四邊形EFHG為平行四邊形,EG/FH，而EG?平面EDB,.FH/平面EDB.證明：由四邊形ABCD為正方形，有AB丄BC.又EF/AB,.EF丄BC.而EF丄FB,.E

18、F丄平面BFC,.EF丄FH,AB丄FH.又BF=FC,H為BC的中點，F(xiàn)H丄BC.FH丄平面ABCD.FH丄AC.又FH/EG,.AC丄EG.又AC丄BD,EGnBD=G,AC丄平面EDB.(3) -.EF丄FB,/BFC=90°/-BF丄平面CDEF.BF為四面體B-DEF的高.-BC=AB=2,/BF=FC=2.又EF=1,Vb-def=3X1X1X-2X2=3.13. (2010遼寧，12分)如圖，棱柱ABCAiBiCi的側面BCCiBi是菱形，BiC±AiB.(1) 證明：平面ABiC丄平面AiBC仁(2) 設D是AiCi上的點，且AiB/平面BiCD，求AiD:DCi的值.解：證明：因為側面BCCiBi是菱形，所以BiC丄BCi.又已知BiC丄AiB，且AiBABCi=B,所以BiC丄平面AiBCi.又BiC?平面ABiC,所以平面ABiC丄平面AiBCi.(2)如圖，設BCi交BiC于點E,連結DE,貝UDE是平面AiBCi與平面BiCD的交線.因為AiB/平面BiCD，所以AiB/DE.