等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)并附例題及解析

1、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)并附例題及解析1、等比數(shù)列的定義：anqq0n2,且nN*，q稱為公比an12、通項(xiàng)公式：n1anaea1nqABna1q0,AB0，首項(xiàng)：a1;公比：qq推廣：annamqmnmqanqJa?nmam:am3、等比中項(xiàng)：(1) 如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即：Aab或Aab注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(2) 數(shù)列an是等比數(shù)列an2amam4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式：(1) 當(dāng)q1時(shí)，Snn(2)當(dāng)q1時(shí)，Sna1aq1q蟲aqnAABnA'BnA'(A,B,A',B'為常1 q1q數(shù))5

2、、等比數(shù)列的判定方法:(1)用定義：對(duì)任意的n，都有aman1qan或anq(q為常數(shù)，an0)an為等比數(shù)列(2) 等比中項(xiàng)：an2an1an1(an1an10)an為等比數(shù)列(3) 通項(xiàng)公式：anABnAB0an為等比數(shù)列6等比數(shù)列的證明方法:依據(jù)定義：若anan1qq0n2,且nN*或an1qa“a.為等比數(shù)列7、等比數(shù)列的性質(zhì)：(2) 對(duì)任何m,nN*，在等比數(shù)列an中，有a.amqnm。(3) 若mnst(m,n,s,tN*)，則anamasat。特別的，當(dāng)mn2k時(shí),2得anamak注：a1ana2an1a3an2(4) 數(shù)列an，bn為等比數(shù)列，則數(shù)列，kan，an，kanbn，

3、-anbn(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列。(5) 數(shù)列an為等比數(shù)列，每隔k(kN*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,amk,am2k,am3k,)仍為等比數(shù)列(6) 如果an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)ogaan是等差數(shù)列(7) 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn，S2n&，翁，成等比數(shù)列(8)若an為等比數(shù)列，則數(shù)列a1a2an,an1an2a2n，a2n1a2n2a3n成等比數(shù)列(9)當(dāng)q1時(shí)，;0,貝Uan為遞增數(shù)列o,貝吒和為遞減數(shù)列a10，則an為遞減數(shù)列 當(dāng)0<q1時(shí)，a10,則an為遞增數(shù)列 當(dāng)q1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列(此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列)； 當(dāng)q0時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.(10)

4、在等比數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)時(shí)，§奇-S偶q二例題解析【例1】已知冷是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，冷=pn(pR，nN*)，那么數(shù)列an-()A.是等比數(shù)列B.當(dāng)pM0時(shí)是等比數(shù)列B.C.當(dāng)pM0，pM1時(shí)是等比數(shù)列D.不是等比數(shù)列【例2】已知等比數(shù)列1，X1，X2，X2n，2,求X1X2X3X2n.1【例3】等比數(shù)列an中，已知a2=4,a5=-，求通項(xiàng)公式；(2)已知a3a4玄5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例4】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：an中，a12,an+13an+2(2)an中，a1=2，a2=5,且an+2-3an+l+2an=0考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：等比數(shù)列定義的應(yīng)用14

5、仁數(shù)列an滿足an3an1n2，a13，則a4在數(shù)列an中，若a11，an12an1n1，則該數(shù)列的通項(xiàng)考點(diǎn)二：等比中項(xiàng)的應(yīng)用1、已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，貝Ua?(D.102、若a、b、c成等比數(shù)列，貝u函數(shù)y2axA.B.13、已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a32，a2a4C.8bxc的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為D.不確定2020，求an的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)三：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算9，末項(xiàng)為81、若公比為-的等比數(shù)列的首項(xiàng)為3B則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是an已知等比數(shù)列an中，a3ai0384,則該數(shù)列的通項(xiàng)3、若an為等比數(shù)列，且2a4氏as,則公比q4、設(shè)ai，a2

6、，a3，成等比數(shù)列，其公比為2，則2ai已的值為（）2a3a41iiA.1B.1C.-D.142815、等比數(shù)列an中，公比q=且a2+a4+a1oo=3O，貝U+&+2+a100=.考點(diǎn)四：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用1、在等比數(shù)列an中,如果a66，比9，那么a3為（）316A.4BC.D.2292、如果1，a，b，c，9成等比數(shù)列,那么（)A.b3，ac9B.b3，ac9C.b3，ac9D.b3，ac93、在等比數(shù)列an中，a11，a103，貝U8283848586873889等于()B.27527C.3D.2434、在等比數(shù)列an中，agaioaa0,a?。b,則aggaio

7、o等于（）Abg廠b9b1010bA.8BC9Daaaa5、在等比數(shù)列an中，a3和a5是二次方程x2kx50的兩個(gè)根,則a2a4a6的值為（）A.25B.5.5C.5、5D.5.56若an是等比數(shù)列，且an0，若a?a42玄3玄5玄4玄625，那么a3a5的值等于考點(diǎn)五：公式anS1,(n1)的應(yīng)用SnSn1,(n2)1、若數(shù)列的前n項(xiàng)和S=ag+an，滿足條件log2S=n,那么an是（）A.公比為2的等比數(shù)列B.公比為丄的等比數(shù)列2C.公差為2的等差數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列2、等比數(shù)列前n項(xiàng)和S=2n-1，則前n項(xiàng)的平方和為（）n21n2A.(2-1)B.(2-1)3D.-(

8、4n-1)33、設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S=3n+r，那么r的值為一、等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義an1andan1.c、q(q0)an遞推公式anan1d；anamnmdnmanan1q；anamq通項(xiàng)公式ana1(n1)danaz(aq0)中項(xiàng)八ankank/*、A(n,kN,nk0)2GWankank(ankank0)(n,kN,nk0)前n項(xiàng)和Sn(a1an)2un(n1)Snna1d2na,q1)Sna11qna1a.q/44(q2)1q1q重要性質(zhì)amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq)amanapaq*(m,n,p,qN,mnpq)、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義

9、：an1and(d為常數(shù)),通項(xiàng)：ana1n1d等差中項(xiàng)：x,A,y成等差數(shù)列2Axya1annnn1,刖n項(xiàng)和：Sn1-naid2 2性質(zhì)：an是等差數(shù)列(1) 若mnpq，貝Uamanapaq;(2) 數(shù)列a2n1,a2n,a2ni仍為等差數(shù)列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍為等差數(shù)列，公差為nd；(3)若an，bn是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則亞n?S2m1T2m1(4)an為等差數(shù)列Snan2bn(a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，可能有最大值或最小值)(5)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列aS2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an4為中間

10、兩項(xiàng))S奇anS偶an1(6)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列aS2n1(2n1)an(an為中間項(xiàng))，an,I奇S偶a定義:q（q為常數(shù)，q0）,通項(xiàng)：a.aR1三、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列G2xy，或Gxyna1（q1）前n項(xiàng)和：Sna11qn(要注意q!)彳(q1)1qn性質(zhì)：an是等比數(shù)列(1)若mnpq，貝Uam-a.ap-aqSn,S2nSn,S3nS2n仍為等比數(shù)列，公比為四、數(shù)列求和的常用方法:1、裂項(xiàng)分組法:112(1111n(n113411L2334111-)(-)(匚)2231nn1n11)L(-n宀）11,21,3,4丄丄的前n和是：3 927811

11、111C+2+3+4+L)+(+L)3927812、錯(cuò)位相減法：凡等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí)用此方法,例：求Sn=x3x25x3L(2n-5)xn-2(2n-3)xn-1(2n-1)xn(x1)解:Sn=x3x25x3L(2n-5)xn-2(2n-3)xn-1(2n-1)xn(x1)xSn=x23x35x4l(2n-5)xn-1(2n-3)xn(2n-1)xn+1(x1)減得:(1x)Sn=x2x22x3L2xn-12xn2n1xn+12n-12x1xn+12n1x從而求出Sn。錯(cuò)位相減法的步驟：(1)將要求和的雜數(shù)列前后各寫出三項(xiàng)，列出式；(2)將式左右兩邊都乘以公比q,

12、得到式；(3)用，錯(cuò)位相減；(4)化簡(jiǎn)計(jì)算。3、倒序相加法：前兩種方法不行時(shí)考慮倒序相加法例：等差數(shù)列求和：Sn=aa2a3Lan2an1anSn=anan1an2La3a2a1兩式相加可得:2Sn=a1ana2an1a3an2La3an2a2an1a1an即：2Snna1an所以Sna1anSn2等比數(shù)列例題解析【例1】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn=pn(pR,nN*)，那么數(shù)列an-A. 是等比數(shù)列B. 當(dāng)pz0時(shí)是等比數(shù)列C. 當(dāng)pz0，pz1時(shí)是等比數(shù)列D. 不是等比數(shù)列【例2】已知等比數(shù)列1，X1，X2，X2n，2，求X1X2X3X2n.【例3】等比數(shù)列an中，已知a2=4,a

13、512，求通項(xiàng)公式；(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例4】已知a>0,b>0且b，在a,b之間插入n個(gè)正數(shù)，x?,xn，使得a,X2，xn,b成等比數(shù)列，求證nx2x2xnV【例5】設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(bc)2+(ca)2+(d-b)2=(ad)2.【例6】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)an中，a1=2，an+1=3an+2a中，ai=2，5，且an+23an+1+2an=0【例7】若實(shí)數(shù)a1>a2、a3、a4都不為零，且滿足(a：+a；)a；2a2(a1+a3)a4+a；+a：=0求證：a1>a2、a3成等比數(shù)列，且公比為a4.【例

14、8】若a、b、c成等差數(shù)列，且a+1、b、c與a、b、c+2都成等比數(shù)列，求b的值.【例9】已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d,又知1,且a4=b4，a1O=bio：求a1與d的值；(2)b16是不是an中的項(xiàng)121【例10】設(shè)an是等差數(shù)列，5=(丄)弘，已知b1+b2+b3二勺,281b1b2b3=丄，求等差數(shù)列的通項(xiàng).8【例11】三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù).【例12】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)例13】

15、已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；另外三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加，分別得到85，76，84求這兩個(gè)數(shù)列例14】已知在數(shù)列an中，a1、a2、a3成等差數(shù)列，a2、a3、a4成等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列【例15】已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)設(shè)a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數(shù)列數(shù)列(2)設(shè)正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差等比數(shù)列例題解析【例1】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn=pn(pR,nN*)，那么數(shù)列anA. 是等比

16、數(shù)列B. 當(dāng)pz0時(shí)是等比數(shù)列C. 當(dāng)pz0,pz1時(shí)是等比數(shù)列D. 不是等比數(shù)列分析由Sn=pn(nN*),有a=S=p，并且當(dāng)n2時(shí)，an=Sn_Sn-1=Pn_Pn-1=(P1)pn-1pz0故a2=(p1)p，因此數(shù)列an成等比數(shù)列p1z0n1(p1)pp(p1)(p2)pn2p但滿足此條件的實(shí)數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選D.說明數(shù)列an成等比數(shù)列的必要條件是anz0(nN*)，還要注a意對(duì)任nN*,n2,都為同一常數(shù)是其定義規(guī)定的準(zhǔn)確含義.an1【例2已知等比數(shù)列1,X1,X2，X2n,2,求X1X2X3X2n.解/1,X1,X2，X2n,2成等比數(shù)列，公比q2=1q2n+1x1x2x

17、3x2n=q2n(1+2n)q2n(2n1)q2n【例3等比數(shù)列an中，已知a2=4,a§=1寸，求通項(xiàng)公式；(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a§a6的值.1解(1)a5=a2q52q=24(-2)n2=(2(2)Ja3a5=a4a3=一n2_an=a2q=1、n42a3=8a4=2又3236=34-a2a3a4a5a6=a4=32q2.q3.q2n=q1+2+3+2n說明這是一個(gè)等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目證法一是抓住使得a,x1,x2,-xn,b成等比數(shù)列，求ab2.證nX/2,xnV證明設(shè)這n+2個(gè)數(shù)所成數(shù)列的公比為q,則b=aqn+1n1-qba

18、n1nXiX2,Xnnaqaq2aqnaq2ab、abv2【例5】設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(bc)d)2.證法一a、b、c、d成等比數(shù)列abcbcdb2=ac,c2=bd,ad=bc左邊=b22bc+c2+c22ac+a2+d22bd+b2=2(b2ac)+2(c2bd)+(a22bc+d2)=(a=a2-2ad+d22+(c-a)2+(d-b)2=(ad)2=右邊證畢.證法二/a、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則:23b=aq,c=aq,d=aq左邊=(aqaq2)2+(aq2a)2+(aq3aq)2=a22a2q3+a2q6=(aaq3)2=(ad)2=右邊證畢.了求證式中

19、右邊沒有b、c的特點(diǎn)，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子.證法二則是把a(bǔ)、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性.【例6】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)an中，a1=2，an+1=3an+2an中，ai=2,5，且an+2-3an+1+2an=0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.解(1)an+!=3an+2%+!+1=3(an+1)an+1是等比數(shù)列an+仁33n-1an=3n-1(2)an+2-3an+1+2an=0an+2an+1=2(an+1an)an+1an是等比數(shù)列，即an+1an=(a2a1)&quo

20、t;-1=32"-1再注意到a?a=3,a3a2=321,a3=322，anan-1=32n2,這些等式相加，即可以得到n1丄2n-221n1an=31+2+22+2=32=3(21)說明解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列，即化生疏為已知.(1)中發(fā)現(xiàn)an+1是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn)an+1an是等比數(shù)列，這也是通常說的化歸思想的一種體現(xiàn).【例7】若實(shí)數(shù)a1>a2、a3、a4都不為零，且滿足(a：+a2)a22a2(a1+a3)a4+a；+a：=0求證：a1>a2、a3成等比數(shù)列，且公比為a4.證/a2、a3、a4均為不為零的實(shí)數(shù)-(a1+a2)x2az(a1+a3)x+a2+

21、直=0為實(shí)系數(shù)一元二次方程等式(af+a2)a42a2+a3)a4+a2+云=0說明上述方程有實(shí)數(shù)根a°上述方程的判別式0,即卩22222-2a2（ai+a3）-4®+a?）®?+&3）=4（a；玄代）20二（a；a£3）2w0又a、a?、a3為實(shí)數(shù)（a；-a）2>0必有a2a1a3=0即a2=a1a3因而a、a2、a3成等比數(shù)列又；a42a：（ai2（afa3）OITa2（aia3）2aiaia3aai a4即為等比數(shù)列aa2、ag的公比.【例8】若a、b、c成等差數(shù)列，且a+1、b、c與a、b、c+2都成等比數(shù)列，求b的值.解設(shè)a、b、

22、c分別為bd、b、b+d,由已知bd+1、b、b+d與bd、b、b+d+2都成等比數(shù)列，有b2=(b-d+i)(b+d)b2=(b-d)(b+d+2)整理，得222b=b-d+b+d222b=b-d+2b-2d b+d=2b-2d即b=3d代入，得9d2=(3dd+1)(3d+d)9d2=(2d+1)4d解之，得d=4或d=0(舍) b=12【例9】已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d,又知1,且a4=b4，a10=b10：(1)求a1與d的值;(2)b16是不是an中的項(xiàng)思路：運(yùn)用通項(xiàng)公式列方程3a4=b4ai+3d=aid解由9aio=bioa1+9d=a1da1(1-d3)=

23、-3dai(1-d9)=-9dd6+d3-2=0di1(舍)或d232aid32d32(2)vbi6=bid15=-32b1且印=a1+3d=2<2=b4b4=bid3=-2b1=-232b1=a1=垃2b6=32b=32a，如果b6是a門中的第k項(xiàng)，則32ai=ai+(k1)d (k1)d=33a1=33d k=34即b16是an中的第34項(xiàng).121【例10】設(shè)an是等差數(shù)列，bn=(-)an，已知b1+b2+b3二一,281bib2b3=1，求等差數(shù)列的通項(xiàng).8解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,貝Uan=ai+(n1)d1-bn=(?)ai(n1)d1abib3=(-)1-(丄嚴(yán)(丄嚴(yán)+(

24、2丿8111由b1b2b3=1,解得b；二1,解得b2=,代入已知條件882bib2b3b1b2-8b3bib3J理得bi+b3178解這個(gè)方程組，得1、1b1=2，b3=8或b1=8，b3=2a=1,d=2或ai=3,d=2當(dāng)a=1,d=2時(shí)，an=a+(n1)d=2n3當(dāng)ai=3,d=2時(shí)，an=a+(n1)d=52n4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等【例11】三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù).解法一按等比數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為aq,aq2由已知：a,aq+4,aq2成等差數(shù)列即：2(aq+4)=a+aq2a,aq+4,aq2+32成等比數(shù)列即：(aq+

25、4)2=a(aq2+32)aq+2=4a，兩式聯(lián)立解得:這三數(shù)為：2,6,18或9,2a=-9q=5109509解法二按等差數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為由已知：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列b4,b+d即：(b4)2=(bd)(b+d)8bd2=16bd,b,b+d+32成等比數(shù)列即b2=(bd)(b+d+32)232bd32d=0、兩式聯(lián)立,解得:26b=-98d=-3或d=802三數(shù)為2,9io950或2,6,918解法三任意設(shè)三個(gè)未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a1,a2，a3由已知:ai，a2，a3成等比數(shù)列得:a2=aia3ai，a2+4,ag成等差數(shù)列得：2(a2+4)=ai+a3ai,a2+4,a3+32成等比

26、數(shù)列得：(a2+4)2=ai(a3+32)、式聯(lián)立，解得:說明將三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為29i0950a3=-39aia?ad,a,3i=2a?=6a3=i8a+d;將三個(gè)成aq）是一種常用技巧，可起到等比數(shù)列的數(shù)設(shè)為a,aq,aq2（或-,a,q簡(jiǎn)化計(jì)算過程的作用.【例i2】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是i6,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是i2,求這四個(gè)數(shù).分析本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一設(shè)前三個(gè)數(shù)為ad,a,a+d,則第四個(gè)數(shù)由已知條件可推得:(ad)2a方法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為b,bq,bq2，則第一個(gè)數(shù)由已知條件推得為2bbq.方法三設(shè)第一個(gè)數(shù)與

27、第二個(gè)數(shù)分別為x,y,則第三、第四個(gè)數(shù)依次為12-y,16x.由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求的四個(gè)數(shù)，解法一設(shè)前三個(gè)數(shù)為ad,a,a+d,則第四個(gè)數(shù)為(a吐.a,(ad)2“依題意，有ad+=16aa+(a+d)=12解方程組得:a1=4a2=91或2d1=4d2=6所求四個(gè)數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1.解法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為：b,bq,bq2，則第一個(gè)數(shù)為：2bbq依題意有：2bbq+bq2=16b+bq=12解方程組得：b2=9S=4C或1q1=2q2=3所求四個(gè)數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1.解法三設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x,y,12y,16x.x+(12y)=2y依題意有2y(16x)=(12y)2解方程組得：X1=0亠x2=15或y1=4y2=9這四個(gè)數(shù)為0,4,8,16