2021年文科數(shù)學(xué)回歸教材7不等式

1、新課標(biāo)回歸教材不等式1、不等式的性質(zhì)名稱不等式名稱不等式對(duì)稱性a >b= b <a （充要條件）傳遞性a >b,b >c= a >c可加性a >b = a +c >b +c （充要條件） 同向不等式可加性：a >b,c>d = a+cb+d 異向不等式可減性：a >b, c<d=ac>bd可乘性a >b, c >0=> ac >bc a >b, c <0= ac <bc同向正數(shù)不等式可乘性：a >b >0, c >d >0 = ac >bd 異向正數(shù)不

2、等式可除性：a Ab>0,0 <c<d = %>%乘方法則a >b >0= an >bn(n W N ,n 之2)開方法則a >b >0: Va >vb(n w N ,n >2)倒數(shù)法則11ab >0,a >b=- <a b常用結(jié)論abu a3 ：>b3 （充要條件）注：表中是等價(jià)關(guān)系的是解、證明不等式的依據(jù)，其它的僅僅是證明不等式的依據(jù).典例：1）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b, c中,給出下列命題：a >bn ac2 Abc2 ；ac2 >bc2= a a b；2. 2 11 b a a <b &l

3、t;0= a >ab >b ； a <b <0= - c; a <b c03->-;a ba b a <b <0=|a|>|b|; ca:>bA0二 a;® a >b,- >-=> a >0,b < 0.c -ac -bab其中正確的命題是.2）已知1 Ex+y E1,1 Ex y M3,則 3x y 的取值范圍是1,7;3）已知a >b >c，且a +b +c =0,則的取值范圍是（2）.a，22、不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出

4、結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.1 t 1典例：1）設(shè)a >0且a *1,t A0,比較,logat和log a的大小2 21 t 1答案:當(dāng)a A1時(shí),一lOga t WlOga （在t =1時(shí)取=）;2 21 t 1當(dāng)0 <a <1時(shí),嚙"至loga（在t=1時(shí)取="）；2 23 22）已知a >0,a #1,試比較p =aa ,q =aa的大小.（答：p >q ）3）

5、設(shè) a >2 , p =a +,q =2w +* ,試比較 p,q 的大?。ù穑簆 >q ）;a -'24）比較 1+logx3 與 210gx2（x>0 且 x#1）的大小.4一 一答:當(dāng) 0 <x <1 或 x > 時(shí),1+ 10gx 3 > 2log x 2;3,44當(dāng) 1 <x <一時(shí),1+ 10gx 3 V 2log x2；當(dāng) x =_ 時(shí),1+ logx3 = 2log x 2 335）若 a,b,cWR 書且 2a =1ogo.5 a,（0.5） b =1og 0.5 b,（0.5） c=1og2C,比較 a,b,c

6、的大小.（答:c>b>a）3.利用重要不等式求函數(shù)最值：正二定三相等，和定積最大，積定和最小”.1 ,一，A. y=x + 的取小值是2x2 3C. y=3的最小值是2x2 22）若x+2y =1,則2x +4y的最小值是典例：1）下列命題中正確的是（B ）B. y=23x4(x A0)的最大值是 2-473 xD. y =2 -3x - (x >0)的最小值是 2 -4/3 ; x2 2;8 2 3)已知x,y e R+且x + y =1,則8 +£的最小值為18; x y變式：已知0 <x <1,則8 + 的最小值為18 ;x 1 -x4 1：已知x

7、,ywR+且一+=9,則x+y的最大值為 1 ;x y：已知x, y w R由且xy =x +4y，則x + y的最小值為9 ;4.常用不等式 有:（1） 3a :b之亙12之JOb至彳2彳（a,bWR+當(dāng)a=b時(shí)取=號(hào)） a b(2) a2 +b2 上(a +b) >2ab(a,b= R,當(dāng) a =b 時(shí)取二號(hào))2和平方之半”不小于積兩倍”.<b±m （糖水的濃度問題）.a m上式從左至右的結(jié)構(gòu)特征為：平方和”不小于 真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理：若a >b >0,m >0 ,則b a典例：若a,bWR+滿足ab=a +b +3,則ab的取值范圍是19,收5、證明不

8、等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法.比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論.）1111111常用的放縮技巧有：1 1=1< 12<1=1 1（右邊當(dāng)n±2時(shí)成立）n n 1 n（n 1） n n（n -1） n -1 nJk +1 -4=,1尸 1= <1=4 - 7k +1k 1 k 2. k k-1, k典例：1）已知 a >b >c，求證：a2b +b2c +c2a >ab2 +bc2 +ca2 ;2）已知 a, b,cw R,求證：a2b2 +b2c2 +c2a2 之a(chǎn)bc（

9、a +b +c）;11x y3)已知 a,b, x, y 匚 R+,且> ,xAy,求證：>a bx a y b4)若 a,b, c是不全相等的正數(shù)，求證：lg -b +lg b-c +lgc-a >1g a +lgb +lg c; 2225)若 nWN*，求證：J(n + 1)2 +1 一(n + 1) < Vn2 + 1 -n ;11.16)求證:1 + + +| +-2- <2 . 23 n6.常系數(shù)一元二次不等式的解法：判別式-圖象法步驟：(1)化一般形式:ax2 -bx -c _0(：二0)淇中 a . 0 ；(2)求根的情況：ax2 +bxc=0 2-

10、>0(=0,<0);(3)由圖寫解集：考慮y =ax2 +bx +c(a >0)圖象得解.2 .1典例：斛不等式-6x -x +2 <0 .(答：xW(-oo, 11一，司)3 2注：解一元二次不等式的過程實(shí)際上是一種函數(shù)、方程與不等式思維的轉(zhuǎn)換過程，從中我們不難看出“三個(gè)二次”關(guān)系是核心 ，即一元二次不等式解集定值端點(diǎn) (非正負(fù)無窮大)是對(duì) 應(yīng)一元二次方程(函數(shù))的根(零點(diǎn)).典例：若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c >0的解集為x|x>m,或x <n( n <m <0),解關(guān)于x的不11等式 cx -bx +a >0 .(答：x |

11、x 父一，或x a)n m7.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：(1)分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線(奇穿偶回)；根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集.典例：1)解不等式(x -1)(x+2)2 >0.(答:x|x 21 或 x = 2);2)不等式(x 2)dx2 2x 3 20 的解集是x|x3x=1；3)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是 R,且f(x)之0的解集為x|1Ex<2,g(x)之0的解集 為0,則不等式f(x) ,g(x) >

12、0的解集為(3,1)U2,y)；4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2 -9x+a<0(解集非空)的每一個(gè)x的值至少滿足不等式2281x 4x+3<0和x 6x+8 <0中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是7,一)._8_8.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正 ，最后用標(biāo)根法求解.解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但 分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母 .典例：1)解不等式2 5x <1(答：(-1,1)U(2,3);x -2x -32)關(guān)于x的不等式 axbA0的解集為(1,收),則關(guān)于x的不等式

13、型士b>0的解集為x 2(-二,-1)U (2,二).注注口一元二次不等式一樣，不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有 意義范圍的端點(diǎn)值.9.絕對(duì)值不等式的解法:(了解)(1)分域討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)典例：解不等式|2 _x戶2 |x + l|;(答：x亡R);42(3)利用絕對(duì)值的定義;(3)數(shù)形Z合；典例：解不等式 |x|+|x1|>3;(答：(*, _1)U(2, y)(4)兩邊平方典例：若不等式|3x+2以2x+a|對(duì)xwR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為f310、含參不等式的解法：通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類正是關(guān)鍵.” 注意:解完之

14、后要寫上：綜上，原不等式的解集是，”.按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.2 2典例：1)右loga - <1，則a的取值氾圍是a >1,或0 <a(一 ;3 322)解不等式ax >x(aWR).ax -111(答：a =0 時(shí)，x| x <0; a>0 時(shí)，x|x>-或 x<0； a<0 時(shí)，x|<x<0,或 x<0) aa含參數(shù)的一元二次不等式的解法：三級(jí)討論法.一般地，設(shè)關(guān)于x的含參數(shù)a的一元二次形式的不等式為：f (a) x2 +g (a) x +r (a) >0(&

15、lt; 0).(1)第一級(jí)討論：討論二次項(xiàng)系數(shù)f(a)是否為零；(2)第二級(jí)討論：若f (a) #0時(shí)，先觀察其左邊能否因式分解，否則討論心的符號(hào)；(3)第三級(jí)討論：若f(a) #0,A>0時(shí)，先觀察兩根x,x2大小是否確定，否則討論兩根的大小 注意：每一級(jí)的討論中，都有三種情況可能出現(xiàn)，即“>"，"="，“<”，應(yīng)做到不重不漏 典例：1)解關(guān)于x的不等式ax2 -2x +a <0(a R R).答：當(dāng) a ±1 時(shí)，x w;當(dāng) 0 <a <1 時(shí)，x w (1 ,1)； aa1 - 1 - a2 1-1 -a2 當(dāng)

16、a=0 時(shí)，xW(0, g；當(dāng)1Wa<0 時(shí)，xqgj、,“f，代)aa當(dāng)ac時(shí)，xWR2)解關(guān)于x的不等式ax2 -2 >2x -ax(a R R).答：當(dāng) a>0時(shí)，xqq,lL2,收)；當(dāng) a=0時(shí)，xW(q, 1a22當(dāng)-2<a <0 時(shí)，xW2,T;當(dāng) a=-2 時(shí)，x 引1；當(dāng) a <-2 時(shí)，x-1,- aa提醒：解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征利用數(shù)形結(jié)合法.1) .恒成

17、立問題若不等式f (x )>A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上f (xn >A若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上f(xax<B典例：1)設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足x2十(y -1)2 =1,當(dāng)x + y +c至0時(shí)，c的取值范圍是J2 -1,依);2)不等式x -4 +x -3 >a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍a <1;2，.7-1313)若2x -1 >m(x - 1)對(duì)滿足|m E2的所有m都成立，則x的取值范圍(七一,.);-2,3)(_1)n 14)若不等式(1) a <2 +(- 對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，

18、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 n5)若不等式x2 2mx +2m +1 >0對(duì)0 <x E1恒成立，則m的取值范圍2) .能成立問題D± f (xax>A；D 上的 f(x*n <B.若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f (x)aA成立，則等價(jià)于在區(qū)間 若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f (x)<B成立，則等價(jià)于在區(qū)間 注意：若方程a = f (x)(x W D)有解，則等價(jià)于a W y | y = f (x),x W D典例：1)已知x -4 + x -3| <a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍a >1 122)已知 P =x|- <x <2,函數(shù) y =log2(ax -2x +2)的定義域?yàn)?Q .若pc