數(shù)學導數(shù)空間角圓錐曲線復習

1、復習提綱2011-5-23一、空間的角的計算（利用空間向量的方法，常建立空間直角坐標系）1異面直線所成的角（1）設兩異面直線所成的角為q，它們的方向向量為，則cosq|cos<,>|（2）范圍：(0，2直線與平面所成的角（1）設直線l與平面a所成的角為q，l的方向向量為，平面a的法向量為，則sinq|cos<,>|（2）范圍：0，注意：求平面的法向量若已存在，則只需證明該向量與平面內的兩條交線垂直（即數(shù)量積等于0）；用待定系數(shù)法求法向量，列三元一次方程組（兩條交線對應兩個方程）3二面角（1）設二面角alb的平面角為q，平面a、b的法向量為、，則|cosq|cos<

2、,>|（2）范圍：0，p二、導數(shù)及其應用1導數(shù)的概念（1）平均變化率：（2）瞬時變化率，當x無限趨近于0時，平均變化率就無限趨近于函數(shù)在x0點的瞬時變化率注意：當t0時，平均速度瞬時速度v，即瞬時速度是位移對于時間的瞬時變化率；當t0時，平均加速度瞬時加速度a，即瞬時加速度是速度對于時間的瞬時變化率（3）導數(shù) 當x0時，A，稱f (x)在xx0處可導，并稱常數(shù)A為函數(shù)f (x)在xx0處的導數(shù)，記作f (x0)或y|xx 若f (x)在開區(qū)間(a，b)內每一點都有導數(shù)， 則稱f (x)在區(qū)間(a，b)內可導，對任一個x0(a，b)都對應一個f (x0)，這樣構成(a，b)內一個新的函數(shù)，

3、稱為f (x)在(a，b)內的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記作f (x)或y2導數(shù)的幾何意義（1）函數(shù)yf (x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義：曲線yf (x)在點P(x0，f (x0)處的切線的斜率，過切點的切線方程為yy0f (x0)(xx0)注意：“在某點的切線”和“過某點的切線”的含義不同，前者表示該點一定是切點（該點也一定在曲線上），而后者則未必（可能是切點也可能不是，可能在曲線上也可能不在）在曲線上的一點作曲線的切線，至多有一條（有可能不存在）；而曲線的切線與曲線的公共點可能不止一個（2）確定函數(shù)yf (x)在點xx0處導數(shù)的基本方法方法一：導數(shù)定義法求函數(shù)的增量yf (x0x)f (x0)；

4、求平均變化率；令x0，得A，即f (x0)方法二：導函數(shù)的函數(shù)值法求函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a，b)內的導函數(shù)f (x)；將x0(a，b)代入3導數(shù)的計算（1）四則運算f (x)±g (x)f (x)±g (x)Cf (x)Cf (x)，其中C為常數(shù)f (x)·g (x)f (x)·g (x)f (x)·g (x)（2）簡單初等函數(shù)的導數(shù)C0，C為常數(shù)； (xa)axa1，aQ 特別的，x 1，(x2)2x，(x3)3x2，()，()； (ax)ax lna（a0，且a1） 特別的，(ex)ex； (logax)logae（a0，且a1） 特別

5、的，(lnx)； (sinx)cosx，(cosx)sinx（3）復合函數(shù)的導數(shù)：yxyu·ux一般按以下三個步驟進行：適當選定中間變量，正確分解復合關系；分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關系，說明函數(shù)關系yf (u)，ug (x)（一般內層為一次函數(shù)）；然后將已知函數(shù)對中間變量求導（yu），中間變量對自變量求導（ux）；最后求yu·ux，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解求導回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。（4）可

6、導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)；可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)4函數(shù)的單調性與導數(shù)（1）若f (x)0，則f (x)為增函數(shù)；若f (x)0，則f (x)為減函數(shù)；若f (x)0恒成立，則f (x)為常數(shù)函數(shù)（類似有在某區(qū)間內的單調性判斷）注意：可導函數(shù)yf (x)在某個區(qū)間內f (x)0是函數(shù)f (x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件（2）若函數(shù)yf (x)在區(qū)間(a，b)上單調遞增，則f (x)0，反之等號不成立（等號不恒成立時，反過來就成立）；若函數(shù)yf (x)在區(qū)間(a，b)上單調遞減，則f (x)0，反之等號不成立（等號不恒成立時，反過來就成立）。導數(shù)求單調性可用于證明不等式（不等式一端化為0

7、）5函數(shù)的極值與導數(shù)（1）設函數(shù)f (x)在點x0附近有定義，如果對x0附近所有的點，都有f (x)f (x0)，就說是f (x0)函數(shù)f (x)的一個極大值，記作y極大值f (x0)；如果對x0附近所有的點，都有f (x)f (x0)，就說是f (x0)函數(shù)f (x)的一個極小值，記作y極小值f (x0)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，x0稱為極（大/?。┲迭c。（2）求函數(shù)yf (x)在某個區(qū)間上的極值的步驟：列表！首先考慮定義域，求導數(shù)f(x)；求方程f(x)0的根x0；檢查f(x)在方程f(x)0的根的左右的符號：“左正右負”f (x)在x0處取極大值，“左負右正”f (x)在x0處取極小值

8、注意：導數(shù)為零的點未必是極值點！x0是極值點的充要條件是x0點兩側導數(shù)異號，而不僅是f (x0)0；f (x0)0是x0為極值點的必要而不充分條件6函數(shù)的最大、小值與導數(shù)（1）函數(shù)f (x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數(shù)f (x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”（2）求函數(shù)yf (x)在a，b上的最大值與最小值的步驟：求函數(shù)yf (x)在(a，b)內的極值（極大值或極小值）；將yf (x)的各極值與f (a)，f (b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值注意：第一步中其實不必求出極值，只要找到導數(shù)

9、為零點處的函數(shù)值即可；閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值（二）圓錐曲線與方程：1橢圓：1. 橢圓方程的第一定義：2. 橢圓的標準方程：i.中心在原點，焦點在x軸上：.ii. 中心在原點，焦點在軸上：.一般方程：.頂點：或. 對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.焦點：或.焦距：.準線：或. 離心率：.3. 焦半徑：i. 設為橢圓上的一點，為左、右焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出：，ii.設為橢圓上的一點，為上、下焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出：，歸結起來為“左加右減”、“下加上減”.4. 通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標：和共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程的離心率也是，我們

10、稱此方程為共離心率的橢圓系方程.5. 若P是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用余弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.2雙曲線：1. 雙曲線的第一定義：2. 雙曲線標準方程：.一般方程：.i. 焦點在x軸上： 頂點：. 焦點：. 準線方程. 漸近線方程：或ii. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：.準線方程：.漸近線方程：或，軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c.離心率.準線距（兩準線的距離）；通徑.參數(shù)關系.3. 焦半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則： 構成滿足（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）4. 等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.5. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.6. 共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為,因此，如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.3拋物線：設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：圖形焦點準線范圍