完整初2103根式的恒等變形

1、第2103講根式的恒等變形、知識(shí)和方法要點(diǎn)表示方根的代數(shù)式稱為根式，即含有根號(hào)，且根號(hào)內(nèi)有字母的代數(shù)式稱為根式。對(duì)于根式中的字母的一組允許的值，代入此根式得到的值稱為根式的值。根式的恒等變形是指利用根式的基本性質(zhì)將根式化為與其恒等的根式。二次根式具有以下基本性質(zhì)1) (7a)2a(a0)；aa02) .a2|a|0a0;aa03) b點(diǎn)cVa(bc)Va(a0);4)用而/ab(a0,b0)；aa5) j=b(a0,b0)；6) (7a)n友(a0)。根式的恒等變形有它的特殊性，需要較強(qiáng)的代數(shù)式變形技巧。通常要對(duì)題目中的條件根式和欲變形根式綜合考慮，尋求一個(gè)簡單而清晰運(yùn)算線路進(jìn)行變形。常用的方

2、法有：分解因式法，配方法，平方法，換元法等。化簡根式必須化到最簡根式為止，所謂最簡根式，是指滿足以下三個(gè)條件的根式：1)被開方數(shù)(式)的哥指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；2)被開方數(shù)(式)的每一個(gè)因式的哥指數(shù)都小于根指數(shù)；3)被開方數(shù)(式)不含有分母。、典型題例選講例1化簡：，眄何。(復(fù)合根式化簡；配方法)【分析】這是一個(gè)數(shù)字型的復(fù)合二次根式的化簡問題?？赏ㄟ^配方法進(jìn)行化簡。應(yīng)首先變形為適合配方的形式，然后進(jìn)行配方?！窘獯稹炕喨缦?；T54"438T43(5-3)243卜53)43(106)o2.(2).22【評(píng)注】配方法是復(fù)合二次根式化簡的最常用的方法。例2化簡：。2眄2點(diǎn)432衣也2板。(復(fù)

3、合根式化簡；平方法)【分析】這是一個(gè)數(shù)字型的復(fù)合二次根式的化簡問題。，可通過平方法進(jìn)行化簡。應(yīng)前兩項(xiàng)使用平方法，后兩項(xiàng)使用平方法后相加?！窘獯稹恳?yàn)?2石W石如2飛,2圾214242鳳2行花,2。322322(322322)262-322、322兩式相加得也收42晅73272J32隹花2。所以，原式而2?！驹u(píng)注】為了書寫簡潔，平方運(yùn)算在根號(hào)下進(jìn)行。例3化簡:O（復(fù)合根式化簡；方程法）【分析】如果設(shè)x42廣72=言，兩邊平方可得關(guān)于x的方程x2出x的值?！窘獯稹吭O(shè)x，2,2&戶L,兩邊平方，得x20,解這個(gè)方程就可能求于是即x滿足方程解方程得所以，.2222Lx22J2J2衣L2x2x,

4、2xx20,x2或x1（舍去）。2。【評(píng)注】本題還涉及到,242亞加匚是否收斂，即它是否表示一個(gè)實(shí)數(shù)的問題。例4設(shè)y是偶數(shù)，最簡根式3x2xy與y；，4xy2是同次根式，求y的值。（根式概念；分類討論）【分析】首先利用偶次根式對(duì)根底數(shù)大于等于零（本題只能大于零）的要求，解得y的范圍，然后討論求得滿足要求的y的值。【解答】由同次根式的意義，得3xyy6,知x2,于是給定根式為yj4與丫即y,它們?yōu)榕即胃剑谑?y0,6y0,推得y4,2,0,或2。1）當(dāng)y4時(shí)，兩個(gè)根式為瓜與庭,其中屈不是最簡根式；2）當(dāng)y2時(shí)，兩個(gè)根式為狗與石，其中4/4不是最簡根式；3）當(dāng)y0時(shí)，兩個(gè)根式為游與蛇,其中V4

5、不是最簡根式；4）當(dāng)y2時(shí)，兩個(gè)根式為短與我,它們是最簡根式，符合題意；所以，所求的y2?！驹u(píng)注】本題考察同次根式、最簡根式等基本概念。例5已知1x0,化簡：Jx22工Jx224。xx（根式化簡；配方法）【分析】這是一個(gè)字母根式的化簡問題。觀察知，兩個(gè)根底數(shù)都是完全平方式，而一個(gè)數(shù)平方再開根號(hào)等于這個(gè)數(shù)絕對(duì)值，然后根據(jù)已知給出的x的范圍打開絕對(duì)值解決問題?！窘獯稹炕喨缦略絁（x；）2卜x）2|x1|x1|（x1）（xx）2x0xxxxxx【評(píng)注】永遠(yuǎn)要記住平方再開根號(hào)等于絕對(duì)值。3x2xyy2例6設(shè)a,x,y是兩兩不同的頭數(shù)，且；a（xa）qa（ya）Jxaq'ay,求的值。（根式

6、求值；隱含條件）x,y的值，就可以代入欲求xxyy【分析】考慮到偶次根式的根底數(shù)大于或等于零的隱含條件，容易從條件式解出值代數(shù)式進(jìn)行簡單求值?！窘獯稹恳?yàn)閍（xa）0,xa0知a0,a（ya）0,ay0知a0,由此得a0。于是x,yxy。2222所以，原式3yyyy1-O222c2cyyy3y3從偶次根式的根底數(shù)大于或等于零的隱含條件得到解題所需的中間結(jié)果。例7設(shè)5x5,且x0,化簡:（根式化簡；分式性質(zhì)）【分析】觀察欲化簡根式的特點(diǎn)，注意到二與二都是正數(shù)，且互為倒數(shù)，采用將此根式的分子、分母5x5x同乘上JU即可一次性去掉根號(hào)解決問題。;5x【解答】化簡如下【評(píng)注】采用分母有理化解題將比較煩

7、瑣。例8已知ab0,且a2b2a2b2,化簡：a、：12b、；15?！痉治觥炕?。觀察所給條件式與欲化簡式的特點(diǎn)，利用條件式首先可將欲化簡式的根底數(shù)化簡,（根式化簡；分式性質(zhì)）這時(shí)問題就簡單解：由a2b2a2b2得1,即1口，1a2b2a2b2b2原式心出ab|b|a|a|a|b|b|ab2.22.2ab當(dāng)b0aab當(dāng)a0b°abababab2.22.2abababab【評(píng)注】要對(duì)對(duì)a,b進(jìn)行討論。例9設(shè)a,b,c,x,y,z是非零實(shí)數(shù)，且a2b2c2x22_2yzaxbycz，-的值。c【分析】觀察所給條件式的特點(diǎn),可以通過配方法，得到ax0,by由此簡單求值。【解答】由a2b2c

8、2配方得于是即222xyzaxbycz,得2_22_22_2(a2axx)(b2byz)(c2czz)(ax)2(by)2(cz)20,ax0,by0,cz0,ax,by,cz。0,c0,（根式求值；配方法）z0,即ax,by,cz,所以，(x1z事。7y(6Tx5jy),求X汨y的值。2xxy3y【評(píng)注】巧妙利用條件式進(jìn)行配方，妙！例10設(shè)x0,y0,且Vx(Vx21)(根式求值；因式分解)【分析】觀察欲求值式的特點(diǎn)，只須從條件式中求出旅：jy即可，由此將條件式分解因式，得到Jx5jy解決問題?！窘獯稹坑蓷l件式得分解因式得因?yàn)橐聛?,故即xxyy所以，2xxy3y(Vx)2Wx7y5(77)

9、20,(x5,y)(.x.y)0,35.y0,x5yo25y5yy29y1_50y5y3y58y2例11化簡：J2a22Va4a21。(根式化簡；配方法)【分析】觀察欲化簡的根式，a4a21可以分解因式，這樣Va4a21就可以寫成兩個(gè)根式的乘積，再采用配方法進(jìn)行化簡?！窘獯稹恳?yàn)閍4a21(a42a21)a2(a21)2a2(a2a1)(aa1),所以原式VCa2a12&2a142a1(aa1)(a2a1)22,a2a1a2a1(a2a1)2(a2a1a2a1)2Va2a14a2a1?！驹u(píng)注】例12設(shè)由于a2a1,1x1,且xaa1的判別式都小于零，有°,化簡：(/圣2aa1

10、0,aa10o1x11、-=2)(-21),1xx1xIxI(根式化簡；提高題)j1x和3x進(jìn)行【分析】本題欲化簡根式比較復(fù)雜，根據(jù)欲化簡根式的特點(diǎn)，可以圍繞著兩個(gè)簡單根式恒等變形達(dá)到化簡的目的?！窘獯稹炕喨缦略剑?#39;1J-x(1x)2x.1x1x(1x1x)1x21|X|2x221x2x1x)21x21|x|1x21|x|x|x|x1x【評(píng)注】一邊化簡一邊觀察，尋找下一步的最佳運(yùn)算方向。1例13已知2x33y34z3,-x1,求版x3y24?的值?！痉治觥坑傻谝粋€(gè)條件式，連比設(shè)k,則32x23y24z23kk,xy（根式求值；提高題）k3k,下面只須解決求3k的值，將zx,v,z表

11、示為k的表達(dá)式，代入第二個(gè)條件式即可解決問題。令2x33y34z3k,則#2x23y24z23k代入x2|x|1當(dāng)1x0o當(dāng)0x1x解之得所以,32x23y24z2【評(píng)注】在奧數(shù)中，與本題類似的題還有幾個(gè)。例14已知（&2006x）（Jy22006y）2006,求x23xy4y26x6y81的值。【分析】兩邊同乘以共軻根式，將已知式化簡，從中可解出入法解決問題。（根式求值；提高題）y0,再將欲求值式因式分解，采用整體代【解答】將條件式兩邊乘收2006x,得,y22006x22006x,同理，將條件式兩邊乘，y22006y,得,x22006兩式相加得所以，原式（xy）（x4y6）y22006y0。y，8181o【評(píng)注】在奧數(shù)中，與本題類似的題還有幾個(gè)。三、同步練習(xí)題1 .已知a0,那么化簡|<a2a|的結(jié)果是（A.0B.2aC.2aD.不能確定2 .已知a,b,x,y都是實(shí)數(shù)，且滿足等式y(tǒng)訴2|1a：|x4|3y3b2,那么abxy。（2005年上海市初中數(shù)學(xué)競賽試題）3 113.當(dāng)x士時(shí)，求代數(shù)式11的值。2