高中數(shù)學(xué)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課件新人教A版必修a

1、2.1.2 空間中直線與直線之間的位空間中直線與直線之間的位置關(guān)系置關(guān)系 自自 學(xué)學(xué) 導(dǎo)導(dǎo) 引引(學(xué)生用書學(xué)生用書P26) 1.了解空間兩條直線的位置關(guān)系了解空間兩條直線的位置關(guān)系.2.理解并掌握公理理解并掌握公理4,等角定理等角定理,初步學(xué)會應(yīng)用它們來證明簡單初步學(xué)會應(yīng)用它們來證明簡單的幾何問題的幾何問題.3.了解異面直線所成的角了解異面直線所成的角,會用圖形表示兩條異面直線會用圖形表示兩條異面直線.4.用平移法求兩條異面直線所成的角用平移法求兩條異面直線所成的角,初步體會把空間問題轉(zhuǎn)初步體會把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的數(shù)學(xué)思想化為平面問題的數(shù)學(xué)思想.課課 前前 熱熱 身身(學(xué)生用書學(xué)生用書P

2、26) 1.空間兩條直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系:_ _ _.2.平行公理平行公理(公理公理4):平行于同一條直線的兩條直線平行于同一條直線的兩條直線_.可用符號表示為可用符號表示為_.3.等角定理等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)_,那那么這兩個角么這兩個角_.4.不同在不同在_一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.相交相交平行平行異面異面互相平行互相平行若若ab,bc,則則ac平行平行相等或互補相等或互補任何任何5.直線直線a,b是異面直線是異面直線,經(jīng)過空間任一點經(jīng)過空間任一點O作直線作直線a b,使使_,_,我們把

3、直線我們把直線a與與b所成的所成的_,叫做異面直線叫做異面直線a與與b所成的角所成的角.其范圍是其范圍是_.當(dāng)異面直當(dāng)異面直線線a b所成角為所成角為_時時,就說異面直線互相垂直就說異面直線互相垂直,記作記作_.aabb銳角或直角銳角或直角(0,2直角直角ab名名 師師 講講 解解 (學(xué)生用書學(xué)生用書P26) 1.不要將平面幾何定理隨意搬用于空間不要將平面幾何定理隨意搬用于空間課本在本節(jié)中介紹公理課本在本節(jié)中介紹公理4之前引用了平面幾何中的相應(yīng)命之前引用了平面幾何中的相應(yīng)命題題:“在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行,那那么這兩條直線也互相平行

4、么這兩條直線也互相平行.”這種這種“平行的傳遞性平行的傳遞性”在空在空間也是成立的間也是成立的.又如又如,在平面幾何中在平面幾何中,順次連結(jié)四邊形各邊的順次連結(jié)四邊形各邊的中點中點,可以得到一個平行四邊形可以得到一個平行四邊形;同樣同樣,順次連結(jié)空間四邊形順次連結(jié)空間四邊形各邊的中點各邊的中點,也可以得到一個平行四邊形也可以得到一個平行四邊形.從上面的這些例從上面的這些例子可以看出子可以看出,有些平面幾何的定理可以推廣到空間圖形中有些平面幾何的定理可以推廣到空間圖形中來來,這種方法叫類比法這種方法叫類比法,類比法是人類發(fā)現(xiàn)真理的一種重要類比法是人類發(fā)現(xiàn)真理的一種重要方法方法.但類比法稍不注意有

5、時就會出差錯但類比法稍不注意有時就會出差錯.例如例如,在平面幾何中在平面幾何中,兩條直線不相交就平行兩條直線不相交就平行,而在空間可能是而在空間可能是兩條異面直線兩條異面直線.又如又如“在平面幾何中在平面幾何中,垂直于同一直線的兩垂直于同一直線的兩直線互相平行直線互相平行”,而在空間而在空間,垂直于同一條直線的兩條直線垂直于同一條直線的兩條直線或是平行直線或是平行直線,或是相交直線或是相交直線,或是異面直線或是異面直線.一般來說一般來說,要把關(guān)于平面圖形的結(jié)論推廣到空間圖形要把關(guān)于平面圖形的結(jié)論推廣到空間圖形,必須經(jīng)必須經(jīng)過證明過證明,絕不能單憑自己的主觀猜測絕不能單憑自己的主觀猜測.2.如何

6、理解異面直線所成的角如何理解異面直線所成的角由于兩異面直線不在同一平面內(nèi)由于兩異面直線不在同一平面內(nèi),因此采用過空間任一點因此采用過空間任一點O,分別作兩條異面直線的平行線分別作兩條異面直線的平行線,就形成了一組相交直線所就形成了一組相交直線所成的角成的角,由等角定理知由等角定理知,兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角,只與兩直線只與兩直線的相對位置有關(guān)的相對位置有關(guān),而與點而與點O位置的選擇無關(guān)位置的選擇無關(guān),正因如此正因如此,在具在具體找角時體找角時,點點O往往可以在兩條異面直線中的一條上選取往往可以在兩條異面直線中的一條上選取,這是研究異面直線所成的角時經(jīng)常采用的方法這是研究異面直線

7、所成的角時經(jīng)常采用的方法.3.如何求異面直線所成的角如何求異面直線所成的角求兩異面直線所成的角的一般步驟求兩異面直線所成的角的一般步驟:(1)作作:根據(jù)所成角的定義根據(jù)所成角的定義,用平移法作出異面直線所成的角用平移法作出異面直線所成的角;(2)證證:證明作出的角就是要求的角證明作出的角就是要求的角;(3)計算計算:求角的值求角的值,常利用解三角形常利用解三角形.可用可用“一作一作”“”“二證二證”“”“三計算三計算”來概括來概括.平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角的補角平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角的補角,要注意識別要注意識別這種情況這種情況.在初中只學(xué)習(xí)了解直角三角形在

8、初中只學(xué)習(xí)了解直角三角形,而兩異面直線所成角一般而兩異面直線所成角一般是放在斜三角形中是放在斜三角形中,因此受到解三角形的限制因此受到解三角形的限制,在本章中僅僅知道兩在本章中僅僅知道兩異面直線所成角即可異面直線所成角即可,不必在此過多糾纏不必在此過多糾纏,將來會在選修中學(xué)習(xí)兩異將來會在選修中學(xué)習(xí)兩異面直線所成角的求法面直線所成角的求法.典典 例例 剖剖 析析 (學(xué)生用書學(xué)生用書P27) 題型一題型一 平行公理的應(yīng)用平行公理的應(yīng)用例例1:已知正方體已知正方體ABCDA1B1C1D1,E F分別為分別為AA1 CC1的的中點中點,求證求證:BFD1E是平行四邊形是平行四邊形.分析分析:因為平行四

9、邊形是平面圖形因為平行四邊形是平面圖形,只要證明一組對邊平行且只要證明一組對邊平行且相等相等,或證兩組對邊分別平行即可或證兩組對邊分別平行即可.證明證明:如圖所示如圖所示,取取BB1的中點的中點G,連結(jié)連結(jié)GC1,GE.F為為CC1的中點的中點,BG FC1.四邊形四邊形BFC1G是平行四邊形是平行四邊形,BF GC1.又又EG A1B1,A1B1 C1D1,EG C1D1,四邊形四邊形EGC1D1是平行四邊形是平行四邊形.ED1 GC1.BF ED1.四邊形四邊形BFD1E是平行四邊形是平行四邊形. 規(guī)律技巧規(guī)律技巧:空間幾何問題空間幾何問題,常轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來作答常轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來

10、作答,正方正方體作為一種典型的立體幾何模型體作為一種典型的立體幾何模型,常是解答立體幾何問題常是解答立體幾何問題的有效工具的有效工具.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1:如圖如圖,已知在四面體已知在四面體ABCD中中,ACBD,E F G H分別是棱分別是棱 AB BC CD DA的中點的中點.求證求證:四邊形四邊形EFGH是矩形是矩形.證明證明:EF是是ABC的中位線的中位線,EFAC,且且同理同理,GHAC,且且.GHEF,且且GH=EF,四邊形四邊形EFGH是平行四邊形是平行四邊形.又又EFAC,FGBD,而而ACBD.EFFG,四邊形四邊形EFGH是矩形是矩形.1.2EFAC12GHAC題型二題型二

11、等角定理的應(yīng)用等角定理的應(yīng)用例例2:已知已知E E1分別是正方體分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱的棱AD A1D1的中點的中點.求證求證:BEC=B1E1C1.分析分析:解答本題要先證明角的兩邊分別平行解答本題要先證明角的兩邊分別平行,然后應(yīng)用等角定然后應(yīng)用等角定理得出結(jié)論理得出結(jié)論.證明證明:如圖如圖,連接連接EE1.E1 E分別為分別為A1D1,AD的中點的中點,A1E1 AE.A1E1EA為平行四邊形為平行四邊形,A1A E1E.又又A1A B1B,E1E B1B,四邊形四邊形E1EBB1是平行四邊形是平行四邊形.E1B1EB,同理同理E1C1EC.又又C1E1B1與與CEB方向

12、相同方向相同,C1E1B1=CEB. 規(guī)律技巧規(guī)律技巧:證明角的相等問題證明角的相等問題,等角定理及其推論是較常用的等角定理及其推論是較常用的方法方法.另外另外,通過證明三角形的相似或全等也可以完成角的通過證明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的證明相等的證明,如本例還可通過證明如本例還可通過證明B1C1E1與與BCE全等全等來證明角相等來證明角相等.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2:填空填空:(1)如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,并且方向并且方向相同相同,那么這兩個角那么這兩個角_.(2)如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行如果一個角的兩邊和另一個角

13、的兩邊分別平行,并且方向并且方向相反相反,則這兩個角則這兩個角_.(3)如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,其中一組其中一組方向相同方向相同,另一組方向相反另一組方向相反,那么這兩個角那么這兩個角_.(4)如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩那么這兩組相交直線所成的角組相交直線所成的角_.相等相等相等相等互補互補相等或互補相等或互補題型三題型三 異面直線所成的角異面直線所成的角例例3:如圖所示如圖所示,A點是點是BCD所在平面外一點所在平面外一點,AD=BC,E F分別是分別是AB CD的中點的

14、中點,當(dāng)當(dāng)時時,求異面直求異面直線線AD和和BC所成的角所成的角.22EFAD解解:如圖如圖,設(shè)設(shè)G為為AC的中點的中點,連結(jié)連結(jié)EG FG.E,F分別為分別為AB CD的中點的中點,EGBC,且且BC;FGAD,且且又又AD=BC,EG與與GF所成的銳角所成的銳角(或直角或直角)即為即為AD與與CB所成的角所成的角.在在EFG中中,由于由于,又又,EG2+FG2=EF2,即即EGFG.EGF=90.故故AD與與BC所成角為所成角為90.1;2EGBC1.2FGAD1.2EGFGAD12EGFGAD22EFAD規(guī)律技巧規(guī)律技巧:求異面直線所成的角求異面直線所成的角,通常把異面直線平移到同一通常

15、把異面直線平移到同一個三角形中去個三角形中去,通過解三角形求得通過解三角形求得,但要注意異面直線所成但要注意異面直線所成角的范圍是角的范圍是(0,.2變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3:空間四邊形空間四邊形ABCD中中,AB=CD,AB與與CD成成30角角,E F分別是分別是BC AD的中點的中點,求求EF與與AB所成的角所成的角.變式變式訓(xùn)練訓(xùn)練3:空間四邊形空間四邊形ABCD中中,AB=CD,AB與與CD成成30角角,E F分別是分別是BC AD的中點的中點,求求EF與與AB所成的角所成的角.解解:如下圖所示如下圖所示,取取BD的中點的中點G,連結(jié)連結(jié)EG,FG,E F分別是分別是BC AD的中點的中點,

16、EGCD,GFAB,且且EGF(或其補角或其補角)為直線為直線AB與與CD所成的角所成的角.EGF=30.又又AB=CD,EG=GF.在等腰三角形在等腰三角形EGF中中,EFG=75即為即為EF與與AB所成的角所成的角.EF與與AB所成角為所成角為75.11,.22EGCD GFAB易錯探究易錯探究例例4:分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是( )A.相交相交 B.平行平行C.異面異面D.相交或異面相交或異面錯解錯解:C錯因分析錯因分析:本題中沒有限制交點的個數(shù)本題中沒有限制交點的個數(shù),因此應(yīng)分兩種情況解因此應(yīng)分兩種情況解答答.當(dāng)有四個交點時

17、當(dāng)有四個交點時,這兩條直線異面這兩條直線異面;當(dāng)有三個交點時當(dāng)有三個交點時,這兩這兩條直線相交條直線相交,如下圖所示如下圖所示.錯解中只考慮了有四個交點的情錯解中只考慮了有四個交點的情形形.正解正解:D技技 能能 演演 練練(學(xué)生用書學(xué)生用書P28) 基礎(chǔ)強化基礎(chǔ)強化1.若若AOB=A1O1B1,且且OAO1A1,OA與與O1A1的方向相同的方向相同,則下列結(jié)論中正確的是則下列結(jié)論中正確的是( )A.OBO1B1且方向相同且方向相同B.OBO1B1C.OB與與O1B1不平行不平行D.OB與與O1B1不一定平行不一定平行解析解析:可借見長方體找出反例可借見長方體找出反例.答案答案:D2.在正方體

18、在正方體ABCD-A1B1C1D1中中,與直線與直線BD異面且成異面且成60角的角的面對角線有面對角線有( )A.1條條 B.2條條C.3條條D.4條條解析解析:畫圖易知畫圖易知,它們是它們是AD1 AB1,CB1,CD1共四條共四條.答案答案:D3.“a,b是異面直線是異面直線”是指是指:ab=,且且a b;a平面平面,b平面平面,且且ab=;a平面平面,b平面平面,且且=;a平面平面,b平面平面;不存在平面不存在平面,使使a ,且且b成立成立.上述說法中上述說法中( )A.正確正確 B.正確正確C.正確正確D.正確正確解析解析:說法等價于說法等價于a與與b既不相交既不相交,又不平行又不平行

19、,所以所以a與與b為異面為異面直線直線.正確正確,說法等價于說法等價于a與與b不同在任何一個平面內(nèi)不同在任何一個平面內(nèi),即即a b異面異面,正確正確.答案答案:D4.一條直線和兩條異面直線的一條平行一條直線和兩條異面直線的一條平行,則它和另一條的位置則它和另一條的位置關(guān)系是關(guān)系是( )A.平行或異面平行或異面B.相交或異面相交或異面C.異面異面D.相交相交答案答案:B5.在空間在空間,下列命題中正確的個數(shù)為下列命題中正確的個數(shù)為( )有兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形有兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形;四邊相等的四邊形是菱形四邊相等的四邊形是菱形;平行于同一條直線的兩條直線平行平行于同一條直線

20、的兩條直線平行;有兩邊和它們夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等有兩邊和它們夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.A.1B.2C.3D.4解析解析: 不正確不正確, 正確正確.因此選因此選B.答案答案:B6.右圖是正方體的平面展開圖右圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中在這個正方體中,BM與與ED平行平行;CN與與BE是異面直線是異面直線;CN與與BM成成60角角;DM與與BN垂直垂直.以上四個命題中以上四個命題中,正確命題的序號是正確命題的序號是( )A.B.C.D.解析解析:把展開圖還原為正方體便知把展開圖還原為正方體便知, 正確正確.答案答案:C7.設(shè)設(shè)a,b,c表示直線表示直線,給出四個論給出四個論

21、斷斷:ab;bc;ac;ac.以其中任意兩個為條件以其中任意兩個為條件,另外的某一個為結(jié)論另外的某一個為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題寫出你認為正確的一個命題_. 8.如圖所示如圖所示,M N分別是正方體分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中中BB1 B1C1的中點的中點.(1)則則MN與與CD1所成角為所成角為._(2)則則MN與與AD所成的角為所成的角為._6045解析解析:(1)由圖易知由圖易知,MNAD1,ACD1構(gòu)成正三角形構(gòu)成正三角形.AD1與與CD1成成60角角,MN與與CD1成成60角角.(2)AD1與與AD成成45角角,而而MNAD1,MN與與AD成成45角角.能力提升能力

22、提升9.如圖所示如圖所示,在空間四邊形在空間四邊形ABCD中中,AD=BC=2,E F分別是分別是AB CD的中點的中點.若若求求AD BC所成的所成的角角.2,EF 解解:取取BD的中點的中點H,連結(jié)連結(jié)EH FH,因為因為E是是AB的中點的中點,且且AD=2,EHAD,EH=1.同理同理FHBC,FH=1,EHF是異面直線是異面直線AD BC所成的角所成的角,又因為又因為EFH是等腰直角三角形是等腰直角三角形,EF是斜是斜邊邊,EHF=90,即即AD BC所成的角是所成的角是90.2,EF 10.如圖如圖,直線直線a,b是異面直線是異面直線,A B C為直線為直線a上三點上三點,D E F是直線是直線b上三點上三點,A B C D E分別為分別為AD DB BE EC CF的中點的中點.求證求證:(1)ABC=CDE;(2)A B C D E共面共面.證明證明:(