10-3格林公式ppt課件

1、LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域單連通區(qū)域 ( 無(wú)無(wú)“洞洞區(qū)區(qū)域域 )復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域 ( 有有“洞洞區(qū)區(qū)域域 )域域D D的邊界曲線的邊界曲線L L的正向的正向: : 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí), ,區(qū)域區(qū)域D D總在他的左邊總在他的左邊. .一、 區(qū)域連通性的分類LD定理定理1. 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 L 圍成圍成,則有, ),(yxP),(yxQ LDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式 )函數(shù)在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),注：注：2. D2. D是閉區(qū)域，是閉區(qū)域，L L是閉回路，且是閉回路，且L L是是D D的取正向的取正向的邊

2、界曲線的邊界曲線 1. 公式中公式中D不要求是單連通，可以是復(fù)連通的不要求是單連通，可以是復(fù)連通的二、二、 格林格林(Green)公式公式3.格林公式揭示了格林公式揭示了D上的二重積分與上的二重積分與D的邊界的邊界曲線曲線L上的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的關(guān)系上的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的關(guān)系證明證明: 1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且 )()(:21xyxbxaD )()(:21yxydycD 那么yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcydd

3、cyxoECBAbaD即yxxQDddLyyxQd),(即yxxQDddLyyxQd),(同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQddddyxoL2) 若D不滿足以上條件, 則可通過(guò)加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢證畢例1. 設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令令,22xQyxP那么yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xx Dyxdd001. 1. 簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線

4、積分三、格林公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用三、格林公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用的的邊邊界界方方向向取取正正是是其其中中（計(jì)計(jì)算算例例9d)17(d)32224sin yxLyyxxeyLxyA xoL例例3. 計(jì)算計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域?yàn)镈 , 那么3648 注： 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,若積分路徑不是閉曲線可添加輔助線 一段曲線一段

5、曲線的的到到上從上從其中其中練習(xí)：計(jì)算練習(xí)：計(jì)算 32sin:,d)(d)3(22 xxxyLyxyxyxL解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 簡(jiǎn)化二重積分簡(jiǎn)化二重積分xyoAB11D則則 2yeyPxQ , BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.3. 3. 計(jì)算平面面積計(jì)算平面面積例如例如, 橢圓橢圓20,sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab四、小結(jié)四、小結(jié)1.1.連通區(qū)域的概念連通區(qū)域的概念; ;