等差等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1等差等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合等差等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合(zngh)應(yīng)用應(yīng)用第一頁(yè)，共40頁(yè)。 掌握等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如（）“成對(duì)”和或積相等問(wèn)題；（）等差數(shù)列求和S2n-1與中項(xiàng)an；能靈活運(yùn)用性質(zhì)解決(jiju)有關(guān)問(wèn)題.如分組求和技巧、整體運(yùn)算.第1頁(yè)/共40頁(yè)第二頁(yè)，共40頁(yè)。1.在等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn中，下列(xili)結(jié)論正確的是( )CA.a1+a9=a10,b1b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1b9=b4b6D.a1+a9=2a5,b1b9=2b5 當(dāng)m+n=p+q時(shí)，等差數(shù)列(dn ch sh li)中

2、有am+an=ap+aq,等比數(shù)列中有bmbn=bpbq.第2頁(yè)/共40頁(yè)第三頁(yè)，共40頁(yè)。2.已知等比數(shù)列(dn b sh li)an中，有a3a11=4a7，數(shù)列bn是等差數(shù)列,且b7=a7,則b5+b9等于（ ）CA.2 B.4 C.8 D.16 因?yàn)?yn wi)a3a11=a72=4a7，因?yàn)?yn wi)a70，所以a7=4，所以b7=4. 因?yàn)?yn wi)bn為等差數(shù)列，所以b5+b9=2b7=8，故選C.第3頁(yè)/共40頁(yè)第四頁(yè)，共40頁(yè)。3.命題:若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a1),則數(shù)列an是等比數(shù)列; 命題 :若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a0),則

3、數(shù)列an是等差數(shù)列(dn ch sh li); 命題 ：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na-n,則數(shù)列an既是等差數(shù)列(dn ch sh li)，又是等比數(shù)列.上述三個(gè)命題中，真命題有( )AA.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)第4頁(yè)/共40頁(yè)第五頁(yè)，共40頁(yè)。 由命題得，a1=a+b,當(dāng)n時(shí)，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1.若an是等比,數(shù)列則 =a即 =a,所以只有(zhyu)當(dāng)b=-1且a0時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列. 由命題得,a1=a+b+c,當(dāng)n時(shí)，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若an是等差數(shù)列，則a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有(zhyu)當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列

4、an才是等差數(shù)列. 由命題得，a1=a-1,當(dāng)n時(shí)，an=Sn-Sn-1=a-1,顯然an是一個(gè)常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有(zhyu)當(dāng)a-10，即a時(shí)，數(shù)列an才又是等比數(shù)列.21aa(1)a aab第5頁(yè)/共40頁(yè)第六頁(yè)，共40頁(yè)。4.(1)等差數(shù)列(dn ch sh li)的前n項(xiàng)的和為54，前2n項(xiàng)的和為60，則前3n項(xiàng)的和為 ； (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為54，前2n項(xiàng)的和為60，則前3n項(xiàng)的和為 .186023 (1)由等差數(shù)列(dn ch sh li)性質(zhì),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列(dn ch sh li)，則2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2

5、n，解得S3n=18.(2)由等比數(shù)列性質(zhì),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列,則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，解得S3n=60 .23第6頁(yè)/共40頁(yè)第七頁(yè)，共40頁(yè)。5.已知數(shù)列an、bn分別(fnbi)為等差、等比數(shù)列，且a1=b10，a3=b3，b1b3，則一定有a2 b2，a5 b5（填“”“0，b30，又b1b3，a2= = =|b2|，故a2b2；同理，a5=2a3-a1 =2b3-b1 ，b5= ，所以b5-a5= -(2b3-b1)= = 0,即b5a5.132aa132bb1 3bb231bb231bb22331112bb bbb2311()bbb第

6、7頁(yè)/共40頁(yè)第八頁(yè)，共40頁(yè)。(方法二)通項(xiàng)與函數(shù)關(guān)系(gun x).因?yàn)閍n=dn+(a1-d)為關(guān)于n的一次函數(shù)，bn=a1qn-1= qn為關(guān)于n的類(lèi)指數(shù)函數(shù).當(dāng)d0，如圖1；當(dāng)db2，a50d0，則lgan是等差數(shù)列.(5)在等差數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)(u sh)2n時(shí);S偶-S奇= ;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時(shí);S奇-S偶= ，S2n-1=(2n-1)an(這里的an即為中間項(xiàng));S奇 S偶=n (n-1).am+an=ap+aqndannaa第10頁(yè)/共40頁(yè)第十一頁(yè)，共40頁(yè)。(6)若等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為An、Bn,且 =f(n),則 = = =f(2n-1).(7)

7、“首正”的遞減等差數(shù)列中,前n項(xiàng)和的最大值是所有 之和;“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前n項(xiàng)和的最小值是所有 之和.(8)如果兩個(gè)(lin )等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).nnABnnab(21)(21)nnnanb2121nnAB非負(fù)項(xiàng)非正項(xiàng)第11頁(yè)/共40頁(yè)第十二頁(yè)，共40頁(yè)。2.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)當(dāng)m+n=p+q時(shí)，則有 ,特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，則有aman=ap2.(2)若an是等比數(shù)列，則kan成等比數(shù)列；若an、bn成等比數(shù)列，則anbn、 成等比數(shù)列;若an是等比數(shù)列,且公比(n b)q-1,

8、則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也是 數(shù)列.當(dāng)q=-1,且n為偶數(shù)時(shí),數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.aman=apaqnnab等比第12頁(yè)/共40頁(yè)第十三頁(yè)，共40頁(yè)。(3)若a10,q1,則an為 數(shù)列；若a11,則an為 數(shù)列;若a10,0q1,則an為遞減數(shù)列；若a10,0q1，則an為遞增數(shù)列；若q0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n(n3),則當(dāng)n1時(shí),log2a1+log2a3+log2a2n-1=( )A. n(2n-1) B. (n+1)2C. n2 D. (n-1)2 (1)因?yàn)?yn wi)1+8+15=2，且n成等差

9、數(shù)列，則1+15=28，故8= .于是tan(2+14)=tan28=tan = .23433C第16頁(yè)/共40頁(yè)第十七頁(yè)，共40頁(yè)。(2)因?yàn)?yn wi)a5a2n-5=22n(n3),且an成等比數(shù)列,則a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=22n=an2.令S=log2a1+log2a3+log2a2n-1，（可直接計(jì)算）則S=log2a2n-1+log2a3+log2a1,所以2S=log2(a1a2n-1)(a3a2n-3)(a2n-3a3)(a2n-1a1) =log2(22n)n,所以2S=2nn，所以 S=n2.第17頁(yè)/共40頁(yè)第十八頁(yè)，共40頁(yè)。 本題是等差、等

10、比的求值題，難點(diǎn)是找條件和目標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.解題時(shí)，根據(jù)(gnj)等差、等比數(shù)列的“成對(duì)下標(biāo)和”性質(zhì)，列出方程或多個(gè)恒等式是解題的關(guān)鍵.一般的，對(duì)于涉及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的條件求值題，合理利用通項(xiàng)或相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化歸是基本方法.第18頁(yè)/共40頁(yè)第十九頁(yè)，共40頁(yè)。 (2010湖北省模擬)設(shè)數(shù)列(shli)an、bn都是正項(xiàng)等比數(shù)列(shli)，Sn、Tn分別為數(shù)列(shli)lgan與lgbn的前n項(xiàng)和,且 = ,則logb5a5= .nnST21nn 由題知， = = = =logb5a5 logb5a5= .99ST129129lg()lg()a aab bb9595lglgab5

11、5lglgab919919第19頁(yè)/共40頁(yè)第二十頁(yè)，共40頁(yè)。例2 (1)等差數(shù)列(dn ch sh li)an中,a9+a10=a,a19+a20=b,求a99+a100.(2)在等比數(shù)列an中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.第20頁(yè)/共40頁(yè)第二十一頁(yè)，共40頁(yè)。 (1)將相鄰兩項(xiàng)和a1+a2,a3+a4,a5+a6,a99+a100分別記為b1,b2,b3,b50,可知bn成等差數(shù)列(dn ch sh li).此數(shù)列的公差d= = .a99+a100=b50=b5+45d=a+ 45=9b-8a.105105bb5ab5ab5ab5a

12、b第21頁(yè)/共40頁(yè)第二十二頁(yè)，共40頁(yè)。(2)(方法(fngf)一)a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3 =a14q6=1. a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 =a14q54=8. 得， =q48=8 q16=2.又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43=a14q166=a14q6q160=(a14q6)(q16)10=1210=1024.4541461aqaq第22頁(yè)/共40頁(yè)第二十三頁(yè)，共40頁(yè)。(方法二)由性質(zhì)可知(k zh)，依次項(xiàng)的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,T1=a1a2a3a4=1,T4=a13a14a15a16

13、=8,所以T4=T1q3=1q3=8 q=2,所以T11a41a42a43a44=T1q10=1024. 巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算，在有關(guān)等差、等比數(shù)列的計(jì)算(j sun)中非常重要.如（）（2）小題巧用性質(zhì)，構(gòu)造一個(gè)新的等差或等比數(shù)列求解.第23頁(yè)/共40頁(yè)第二十四頁(yè)，共40頁(yè)。例3 已知等比數(shù)列xn的各項(xiàng)為不等于的正數(shù)，數(shù)列yn滿(mǎn)足ynlogxna=2(a0,a1)，設(shè)y3=18,y6=12. (1)求數(shù)列yn的前多少項(xiàng)和最大,最大值為多少? (2)試判斷(pndun)是否存在自然數(shù)M，使當(dāng)nM時(shí)，xn1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)令an=logxnxn+1（n

14、13,nN*），試判斷(pndun)數(shù)列an的增減性？第24頁(yè)/共40頁(yè)第二十五頁(yè)，共40頁(yè)。 (1)由已知得，yn=2logaxn.設(shè)等比數(shù)列xn的公比(n b)為q(q)，由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga =2logaq,得yn為等差數(shù)列，設(shè)公差為d.因?yàn)閥3=18,y6=12,所以d=-2,所以yn=y3+(n-3)d=24-2n. yk+10 yk0所以前11項(xiàng)與前12項(xiàng)和為最大,其和為132.1nnxx設(shè)前k項(xiàng)和為最大,則11k12,y12=0,nnxx1第25頁(yè)/共40頁(yè)第二十六頁(yè)，共40頁(yè)。(2)xn=a12-n,nN*.若xn1，則a12-n1

15、.當(dāng)a1時(shí)，n12，顯然不成立；當(dāng)0a12,所以存在M=12,13,14,當(dāng)nM時(shí)，xn1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)= .因?yàn)閍n+1-an= - = ,又n13,所以an+113時(shí)，數(shù)列an為遞減數(shù)列.1112nn1011nn1112nn1(11)(12)nn 本小題主要考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)用方程、分類(lèi)討論等思想方法進(jìn)行分析、探索及解決問(wèn)題的能力.第26頁(yè)/共40頁(yè)第二十七頁(yè)，共40頁(yè)。 在數(shù)列an中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0). (1)設(shè)bn=an+1-an(nN*),證明：bn是等比數(shù)

16、列(dn b sh li)； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (3)若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對(duì)任意的nN*,an是an+3與an+6的等差中項(xiàng).第27頁(yè)/共40頁(yè)第二十八頁(yè)，共40頁(yè)。 (1)證明:由題設(shè)an+1=(1+q)an-qan-1(n2), 得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2.又b1=a2-a1=1,q0，所以bn是首項(xiàng)為1,公比(n b)為q的等比數(shù)列.第28頁(yè)/共40頁(yè)第二十九頁(yè)，共40頁(yè)。(2)由(1)知，a2-a1=1,a3-a2=q,an-an-1=qn-2(n).將以上各式相加,得an-a1=1+q+qn-2(n2).

17、1+ (q1) n (q=1).上式對(duì)n=1顯然(xinrn)成立.所以(suy)當(dāng)n2時(shí), an=111nqq第29頁(yè)/共40頁(yè)第三十頁(yè)，共40頁(yè)。(3)由(2)知，當(dāng)q=1時(shí)，顯然a3不是a6與a9的等差中項(xiàng)，故q1.由a3-a6=a9-a3，可得q5-q2=q2-q8,由q0，得q3-1=1-q6, 整理(zhngl)得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去).于是q=- .另一方面,an-an+3= = (q3-1),an+6-an= = (1-q6).由可得an-an+3=an+6-an(nN*).所以對(duì)任意的nN*,an是an+3與an+6的等差中項(xiàng).23211n

18、nqqq11nqq151nnqqq11nqq第30頁(yè)/共40頁(yè)第三十一頁(yè)，共40頁(yè)。(2009江蘇卷)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(dn b sh li)，|q|1，令bn=an+1(n=1,2,).若數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合-53,-23,19,37,82中，則6q= .-9第31頁(yè)/共40頁(yè)第三十二頁(yè)，共40頁(yè)。 因?yàn)閿?shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合-53,-23,19,37,82中，又an=bn+1，所以數(shù)列an有連續(xù)四項(xiàng)在集合-54,-24,18,36,81中,且必有正項(xiàng)、負(fù)項(xiàng)；又|q|1，所以q-1,因此ak,ak+1,ak+2,ak+3(kN*)正負(fù)相間，且|ak|，|ak+1|，|ak+2

19、|,|ak+3|單調(diào)遞增，故等比數(shù)列四項(xiàng)只能為-24,36,-54,81.此時(shí)(c sh)，公比為q=- ，6q=-9.32第32頁(yè)/共40頁(yè)第三十三頁(yè)，共40頁(yè)。學(xué)例1 (2009安徽卷)已知an為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示(biosh)an的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是( )BA. 21 B. 20C. 19 D. 18第33頁(yè)/共40頁(yè)第三十四頁(yè)，共40頁(yè)。 由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35. 由a2+a4+a6=99，得3a4=99，即a4=33. 則由-得d=-2，所以(suy)an=a4+(n-4)(-2)=41-2n. an0 an+1 20.5,又nN*,故n=20.令第34頁(yè)/共40頁(yè)第三十五頁(yè)，共40頁(yè)。 (2009江西卷)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an,a1=a,a2=b,且對(duì)滿(mǎn)足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q都有 = . (1)當(dāng)a= ,b= 時(shí)，求通項(xiàng)an; (2)證明:對(duì)任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)(chngsh)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n,都有 an.學(xué)例2(1)(1)mnmnaaaa(1)(1)pqpqaaaa12451第35頁(yè)/共40頁(yè)第三